21.2 解一元二次方程 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法（第1课时） 通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的方法，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。 学习目标 复习巩固 探究新知 新知讲解 典例分析 针对训练 探究新知 新知讲解 能力提升 针对训练 归纳小结 布置作业 感受中考 典例分析 当堂巩固 目录 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.任何数都有平方根吗？ 【提问】求下列各数的平方根 1） 2） 3）0.36 4） 2 解：(1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13． (2)因为(± )2= ，所以的平方根是± ． (3)因为(±)2 = ，所以的平方根是±． (4)因为(±)2 =2，所以的平方根是±． 负数没有平方根. 平方根 ± 复习巩固 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗? 六个面 60个面 设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2， 10×6x2=1500 ① 整理，得x2=25 根据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5 可以验证，x1=5和x2=﹣5是方程①的两个根 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm 用方程解决实际问题时，要考虑所求得结果在实际问题是否有意义。 探究新知 探究新知 一般地，对于方程x2＝p ①， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________； 2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝0 无 ≥ x1＝- , x2＝ 新知讲解 新知讲解 例1 方程9x2=16的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】 解得 故选C. 典例分析 典例分析 1．方程有实数根的条件是（ ） A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D．≥O 【详解】∵ax2=c，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0，∴.故选D. 2．方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝4 3．方程3x2+9=0的根为（ ） A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根 【详解】原方程可化为：， ∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.故选D. 针对训练 针对训练 数学转化思想 未知的、陌生的、复杂的问题 已知的、熟悉的、简单的问题 通过演绎归纳 解决 转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。 学会数学转化，有利于实现学习迁移，从而可以较快地提高学习质量和提升学习数学能力。 【问题】尝试解(x＋3)2＝5 我们刚才尝试求解形如x2=p（p≥0）的式子，针对形如(x＋a)2＝p（p≥0）的式子， 我们可以尝试用数学转化的思想进行求解。 探究新知 探究新知 【问题】尝试解方程：(x＋3)2＝5 令x+3=a，则原式变形为： a2=5 整理，得a= 即=-3 则方程两个根为=-3 (x＋a)2＝p（p≥0） x2＝p（p≥0） 变形为 探究新知 探究新知 将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。 【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？ 探究新知 探究新知 一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________； 2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程② _______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝ 无 ≥ x1＝ , x2 ＝ 新知讲解 新知讲解 例2 一元二次方程(x-1)2=9的解为（ ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．3或-3 【解析】∵(x-1)2=9，∴x-1=±3，则x= 4或x=-2。故选C. 例3 若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（　　） A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5 【详解】∵3（x+1）2-48=0，∴x+1=±4，则x=3或-5，故选B． 典例分析 典例分析 1. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ） A． B． -6=4 C． +6=4 D． +6=-4 针对训练 针对训练 解：移项，得2x2=50 二次项系数化为1，得x2=25 根据平方根的意义，得x=±5 即x1=5，x2=-5. 用直接开平方法解下列方程： 1）2x2-50=0 2）4x2+12x+9=1 解：整理，得(2x+3)2=1. 根据平方根的意义，得2x+3=±1. 解得x1=-1，x2=-2. 当堂巩固 当堂巩固 1．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（　　） ① x2=1；②（x﹣2）2=5；③（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1； ⑥y2﹣2y﹣3=0 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】 ①②③⑤都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选D． 能力提升 能力提升 2．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(     ) A．x= B．x＝±1 C．. D． 3. 若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4＝0，则a+b的值为(　　) A．2 B．±2 C． D．± 【详解】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1； 整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；开方得：x=±．故选C． 【详解】将原始变形为(a+b)2﹣1﹣4＝0，移项得(a+b)2＝5∴a+b=±．故选D． 能力提升 能力提升 1．一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．方程的根是_____． 【详解】∵，∴， 则，解得，故选C． 【详解】解：由原方程，得．解得． 故答案是：． 针对训练 直击中考 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：-1． 3．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 针对训练 直击中考 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 4．解方程： 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述如何通过直接开平方法解一元二次方程？ 2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？ 针对训练 归纳小结 P16：习题21.2： 第1题 针对训练 布置作业 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法（第2课时） 1. 掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤。 2. 通过配方法将一元二次方程变形,让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。 学习目标 复习巩固 探究新知 新知讲解 典例分析 知识归纳 针对训练 能力提升 归纳小结 感受中考 布置作业 目录 完全平方公式： = = +2ab+ - 2ab+ 【练习1】x2+6x+9 =__________________ 复习巩固 1) x2 + 2x+ = (x+ )2; 2) x2 + 12x+ = (x+ )2; 3) x2﹣4x+ = (x﹣ )2; 4)x2﹣6x+ = (x﹣ )2; 5)x2 +3x+ = (x+ )2; 6)x2﹣ x+ = (x﹣ )2. 【练习2】在下列等式内填上适当的数，使等式成立 2 6 12 1 32 3 3 2 ( )2 7 4 62 22 ( )2 复习巩固 【问题】已知长方形面积为12 平方米，长比宽多4米，求长方形的宽？ 设长方形的宽为x 米，则长为（x+4）米 x（x+4）=12 ① 整理，得x2+4x=12 【提问】尝试求方程x2+4x=12的解？ x2 + 4x=12 (x＋n)2＝p（p≥0） 变形为 探究新知 探究新知 两边加4，即()2使左边配成x2 +2bx+b2的形式 x2+4x+4 =12+4 使等式左边可以配成完全平方的形式 =16 降次 x+2= ，x+2= 解一元一次方程 【思考】为什么在方程两边同时加4？可以加其它数吗？ =2 =-6 尝试求方程x2+4x=12的解？ x2+4x=12 因为宽不能是负值，所以长方形的宽为2 m 探究新知 探究新知 尝试求方程x2+6x+4=0的解？ x2+6x+4=0 移项：把常数项移到方程的右边 x2+6x=﹣4 两边加9，即()2使左边配成x2 +2bx+b2的形式 x2+6x+9 =﹣4+9 使等式左边可以配成完全平方的形式 =5 降次 x+3= ，x+3= 解一元一次方程 =- = 尝试求方程x2+6x+4=0的解？ x2+6x+4=0 x2+6x=﹣4 探究新知 探究新知 将方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 用配方法解一元二次方程的关键： 将一元二次方程配成完全平方形式。 不能直接开平方 解的一元二次方程 可以直接开平方 解的一元二次方程 变形为 新知讲解 新知讲解 【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。 1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式； 5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解； 若p<0，原方程无实数根。 【注意】配方的关键：利用已知两项a22ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 . 新知讲解 新知讲解 例1 解下列一元二次方程: 1）x2﹣8x+1=0 2） 3x2﹣6x+4=0 解：移项，得: 配方，得: 由此可得: ∴ x1=4+ ，x2=4- x2﹣8x=﹣1 x2﹣8x+42=﹣1+42 （x﹣4)2=15 整理，得: x﹣4= 解：移项，得: 系数化为1，得: 3x2﹣6x=﹣4 x2﹣x=- 配方，得: x2﹣2x+=- 整理，得: （x﹣ )2=- 因为实数的平方不会是负数，所以无论x取何值时，(x﹣) 2都是非负数，因此方程不成立，原方程无实数根。 典例分析 典例分析 例1 解下列一元二次方程: 3）2x2﹣5x+2=0 解：移项，得: 配方，得: 由此可得: ∴ x1= ，x2=2 2x2﹣5x=﹣2 x2﹣ x+()2=﹣1 +()2 （x﹣ )2= 整理，得: x﹣ =± 系数化为1，得: x2﹣ x=﹣1 典例分析 典例分析 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ① 的形式，那么就有： 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个________________的实数根______________________； 2)当p＝0时，方程①有两个________________的实数根______________________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝-n 无 ≥ x1＝-n-，x2＝-n+ 知识归纳 知识归纳 1.用配方法解方程，变形结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】 根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1, 得：， 配方得， 即:，故本题选Ｄ． 针对训练 针对训练 2. 用配方法将方程变形为，则m的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】 解：， 配方得：， 即，则m=6.故选C. 针对训练 针对训练 1．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 2. 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____． 【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数， ∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5. 【详解】解：x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3， 因为3+3＝6，不能构成三角形， 所以等腰三角形的腰为6，底边长为3， 所以三角形的周长＝6+6+3＝15． 故答案为：15． 能力提升 能力提升 3．已知方程可以配方成，则（       ） A．1 B．－1 C．0 D．4 【详解】 解：由（x+m）2＝3，得： x2+2mx+m2﹣3＝0， ∴2m＝4，m2﹣3＝n， ∴m＝2，n＝1， ∴（m﹣n）2015＝1， 故选：A． 能力提升 能力提升 4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【详解】 ∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=−c， ∴x2+x=−，∴x2+x+=−+， ∴(x+)2=.故选A. 能力提升 能力提升 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 针对训练 直击中考 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 针对训练 直击中考 3．已知：是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于的方程． ∴关于的方程； ∴； ∴； ∴； ∴，． 【详解】解：∵5(a-2)+8<6(a-1)+7； ∴； ∴； ∴； ∵是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解， ∴； 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述配方法解一元二次方程的基本步骤吗？ 2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？ 针对训练 归纳小结 P9：练习2(5) (6) P17：习题21.2： 第3题 针对训练 布置作业 【课外思考】根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________； ②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． （3） x2－9x＋＝－8＋ (x－ )2＝ ∴x－＝±． ∴． 【详解】 ①； ②； ③． ①； ②． 针对训练 布置作业 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 1. 会用公式法解一元二次方程。 2. 理解用根的判别式判别根的情况。 3. 通过推导求根公式的过程,极强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力，体验类比、转化、降次的数学思想。 学习目标 复习巩固 探究新知 新知讲解 典例分析 知识归纳 典例分析 针对训练 直击中考 能力提升 归纳小结 布置作业 目录 【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。 1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式； 5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解； 若p<0，原方程无实数根。 【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 . 复习巩固 【问题】用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0)？ 二次项系数化为1，得 整理后，得 解：移项，得 配方，得 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论： ax2+bx=−c x2+x=− x2+x+=−+ (x+)2= 探究新知 探究新知 1）若b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根 将①直接开平方，得 (x+)2= ① x+=± 探究新知 探究新知 2）若b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根 则 =0 将①直接开平方，得 x1=x2=﹣ x+=0 (x+)2= ① 探究新知 探究新知 3）若b2－4ac＜0， 则 ＜ 0 而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. (x+)2= ① 探究新知 探究新知 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。 判别式概念： 表示： 通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac. 由前面的推导过程，可知： 1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。 2）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。 3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无 实根。 (x+)2== 新知讲解 新知讲解 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 探究新知 探究新知 注意：a，b，c的符号 解:(1)a=1,b=-4,c=-7 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=,x2= (2) a=2,b=- ,c=1 Δ=b2-4ac=(- )2-4×2×(1)=0 方程有两个相等的实数根 = 即x1=x2= 例1 1）x2 -4x-7=0 2）2x2-2x+1=0 典例分析 典例分析 例1 3)5x2-3x=x+1 4)x2+17=8x 注意：a，b，c的符号 (3)移项得， 5x2-4x-1=0 a=5,b=- ,c=-1 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0 方程有两个不相等的实数根 = 即x1=,x2=- (4)移项得， x2-8x+17=0 a=1,b=- ,c=17 Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0 方程无实数根 典例分析 典例分析 【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式。 【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。 1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值 【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。 2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。 4）最后求出原方程的解。 知识归纳 知识归纳 例2 一元二次方程的根的情况为（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【详解】 解：∵△＝（-2）2-4×（-1）×4＝4+16=20＞0 ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为D． 典例分析 典例分析 例3 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2 +2x-4=0 解：用公式法解方程得 即 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈ 1.24，x2≈ －3.24（舍） 所以雕像下部高度应设计为约1.24m 典例分析 典例分析 1．是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【详解】 A、的解为，不符合题意； B、的解为，不符合题意； C、的解为，符合题意； D、的解为，不符合题意； 故选：C． 针对训练 针对训练 2 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【详解】 A. △=62-4×9=36-36=0，方程有两个相等实数根； B .原式变形为x2-x=0，∴△=（-1）2-4×1×0=1＞0.方程有两个不相等实数根； C .原式变形为x2-2x+3=0，∴△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程无实根； D .原式变形为（x-1）2=-1，则方程无实根；故选B． 针对训练 针对训练 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（       ）． A． B． C． D． 【详解】 A.∵△=4-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B.∵△=16-4×1×（-1）=20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C.∵△=25-4×3×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D.∵△=16-4×2×3=-8＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确； 故选：D． 针对训练 针对训练 4 一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（　　） A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2 【详解】 ∵一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根， ∴△＝m2﹣4m×（﹣）＝m2+2m＝0， 解得：m＝0或m＝﹣2， 经检验m＝0不合题意，则m＝﹣2． 针对训练 针对训练 1.关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【详解】 1)， ∵无论m取何值时，，∴此方程总有两个实数根． （2）解：，． ． ∵此方程有一个根小于1，且．． ． 能力提升 能力提升 2.关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【详解】 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1， ∵m为正整数，∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1． 能力提升 能力提升 1．一元二次方程的解是（       ） A．， B．， C．， D．， 【详解】 解：∵中，a=1，b=-4，c=-8， ∴△=16-4×1×（-8）=48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴x=， 即，，故选B. 针对训练 直击中考 2．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【详解】 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 针对训练 直击中考 3．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故A正确． 故选：A． 针对训练 直击中考 【详解】（1）解：T==； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则T=． 4.已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述公式法解一元二次方程的基本步骤吗？ 2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？ 针对训练 归纳小结 P17：习题21.2：第4题（1）（4） 第5题（2）（3）（6） [选做]第13题 针对训练 布置作业 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 1.利用因式分解法解一元二次方程。 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。 3.通过学生讨论解一元二次方程的方法, 理解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。 学习目标 复习巩固 探究新知 新知讲解 典例分析 知识归纳 针对训练 归纳小结 能力提高 典例分析 直击中考 归纳小结 布置作业 目录 【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法? x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0) 直接开平方法 配方法 公式法 复习巩固 【提问】多项式因式分解的方法有哪些？ ① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c) ② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) ③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 ④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q) 复习巩固 【问题】 1.如果a×b=0，则a=_____或b=_______. 2.如果两个因式的________，那么这两个因式中_____________；反之，如果两个因式中_________为0，那么它们的_____________。 0 0 至少有一个等于0 积也等于0 积为0 任何一个 复习巩固 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 小球经过x s最终回到地面， 此时离地高度为0 设物体经过x秒落回地面，即 10x-4.9x2=0 ① 尝试用配方法和公式法求方程的解？ 探究新知 探究新知 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 设物体经过x秒落回地面，即 10x-4.9x2=0 ① 方法一：配方法 解：移项得， 4.9x2 -10x=0 系数化为1得，x2 -x=0 配方得，x2 -x+= 整理得， = 由此可得， =± 则= ≈2.04 这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 探究新知 探究新知 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 设物体经过x秒落回地面，即 10x-4.9x2=0 ① 方法二：公式法 这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 解：移项得， 4.9x2 -10x=0 a=4.9，b=-10，c=0 Δ=b2-4ac=100>0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=x2=≈2.04 探究新知 探究新知 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ① 【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？ 10x-4.9x2=0 x(10-4.9x)=0 因式分解 探究新知 探究新知 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ① 方法三：因式分解法 解：因式分解得 x(10-4.9x)=0 ∴x=0或10﹣4.9x=0 即x1=x2=≈2.04 这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 探究新知 探究新知 【提问】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 10x-4.9x2=0 x(10-4.9x)=0 先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 新知讲解 新知讲解 1) x1=0，x2=2； 2) x1=-2，x2=3 ； 3) x1=-2，x2=2； 4) x1=0，x2=1. 例1 解下列方程？ (1)x(x-2)=0 (2)(x+2)(x-3)=0 (3)(3x+6)(2x-4)=0 (4)x2=x 典例分析 典例分析 例2 解下列方程:(1) x(x﹣2)+x﹣2=0 (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+ 1)解: 因式分解得 (x﹣2)(x+1)=0 于是得x-2=0，或x+1=0 ∴x1=2，x2=﹣1 2) 移项、合并同类项得4x2﹣1=0 因式分解得 (2x+1)(2x-1)=0 于是得2x+1=0或2x﹣1=0 ∴x1=0.5，x2=﹣0.5 典例分析 典例分析 【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。 1.移项：使一元二次方程等式右边为0； 2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式； 3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。 归纳：左分解，右化零，两因式，各求解。 归纳小结 归纳小结 1．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（    ） A． B． C． D． 【详解】 若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4， 那么有：(x－3)(x－4)＝0， ∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)． 故选C. 针对训练 针对训练 2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．18 D．13或18 【详解】 解：解方程x2-13x+36=0，得x=9或4， 即第三边长为9或4． ∵边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形， ∴三角形的周长为3+4+6=13， 故选A． 针对训练 针对训练 1 已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ） A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2 【详解】 解：根据题意，设m=x2+y2， ∴原方程可化为：， ∴， 解得：或； ∵，∴，∴； 故选：C． 能力提升 能力提升 2．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三角形． 【详解】 解： x2﹣9x+20=0，解得：x=4或5， ∵AB=3，AC=5， ∴2＜BC＜7， ∵第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根， ∴BC=4或5， 当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形； 当BC=5时，BC=AC，△ABC是等腰三角形； 故答案为：直角或等腰． 能力提升 能力提升 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，解得：m＜2， ∵m为正整数，∴m＝1，则方程为x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3，故选C． 能力提升 能力提升 解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 适用范围 配方法 （基础） 先配方，再降次 所有一元二次方程 公式法 （基础） 利用求根公式 所有一元二次方程 因式分解法 （灵活掌握） 右化零，左分解，两因式，各求解 仅部分 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 新知讲解 新知讲解 例2 填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 1）适合运用直接开平方法 ； 2）适合运用因式分解法 ； 3）适合运用公式法 ； 4）适合运用配方法 . 【提示】每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！ 2、6 3、5、9 1、7、8 4 典例分析 典例分析 1 方程2x2+1=3x的解为________． 【详解】解：移项得： 2x2+1-3x=0， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 针对训练 直击中考 2．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ，解得：； ∴，∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？ 2. 解一元二次方程的基本思路是什么？ 3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？ 针对训练 归纳小结 P17：习题21.2：第6题、第10题、第11题 针对训练 布置作业 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.2 解一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。 学习目标 复习巩固 探究新知 新知讲解 典例分析 针对训练 新知讲解 典例分析 能力提高 针对训练 直击中考 归纳小结 布置作业 目录 1. 一元二次方程的一般形式? 2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 一元二次方程的求根公式是什么? ax2+bx+c=0（a≠0） △=b2-4ac0 复习巩固 【提问】解下列方程并完成填空： (1)=0 (2)2−2 =0 (3)2 2+3 -2=0 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 x2−2x=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 0 2 2 0 -2 -1 【小组讨论】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？ 探究新知 探究新知 【问题】从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋ px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? (x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)x +x1x2=0 x2+ px + q=0 x1+x2= -p x1x2= q 探究新知 探究新知 【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? 根据 x1+x2= + = x1x2 = × = = 即： x1+x2 x1x2 = 探究新知 探究新知 【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a,能否得出该结论 ？ 而 ax2+bx+c=a(x2++) 当时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2] 则a(x2++) =a[x2-(x1+x2)x+x1x2] 即： x1+x2 x1x2 = 探究新知 探究新知 当时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比， 即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x1+x2 x1x2 = 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。 【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。 2) Δ≥0。 新知讲解 新知讲解 例1 不解方程，求下列方程两个根的和与积 (1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8 解：(1)x1+x2 x1x2 = = (2)x1+x2 x1x2 = = (3) x1+x2 x1x2 = = 典例分析 典例分析 1.小明说:“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。” 你觉得他说的对吗？ 2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程无实数根。 【详解】设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3，故选C． 针对训练 针对训练 3 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若 ，则a的值为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 【详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解， ∴m +n =3，mn =a． ∵，即， ∴，解得：a=﹣4． 故选C． 针对训练 针对训练 4 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且， 则m的值为（ ） A． B． C． D．0 【详解】 解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=， 把x2= 代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=， 故选：A． 针对训练 针对训练 5. 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。 解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1×2=3k=-6 ∴ x1 ＝-3 则方程的另一个根是-3, k的值是-2。 针对训练 针对训练 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 新知讲解 新知讲解 例2 设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: 1）x1+x2= , 2) x1·x2= , 3) , 4) ， 5） + =_________， 4 1 14 6 4 典例分析 典例分析 1 已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　） A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2 【详解】 当 a =b 时，=1+1=2； 当 a≠ b 时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0， ∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根， ∴a + b =6，ab=2， ∴= =16．故选：D． 针对训练 针对训练 【详解】 ∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1, ∴=4-3(k-1)=13, 则k=-2. 2 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____. 针对训练 针对训练 【详解】 解：∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根， ∴，， 因此可得2α2=5α+1， 代入2α2+3αβ+5β =5α+1+3αβ+5β =5（α+β）+3αβ+1 =5×+3×（-）+1 =12； 故选B． 3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（    ） A．-13 B．12 C．14 D．15 能力提升 能力提升 【详解】解：①当a=b时，原式=2； ②当a ≠ b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解， ∴a + b=8，ab=5．则==， 把a + b=8，ab=5代入得： ==﹣20． 综上可得：的值为2或﹣20． 故选C． 4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（　　） A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D． 能力提升 能力提升 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 1．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 针对训练 直击中考 【详解】 解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 2．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 针对训练 直击中考 【详解】 （1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得k>． （2）解：由题意得：，解得或， 由（1）已得：k>，则的值为2． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 针对训练 直击中考 【详解】（1）， ∵，∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，， ∵，∴，∴， 解得：，，∴，即m=． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 针对训练 直击中考 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 根与系数的关系（韦达定理） 内容 应用 条件：∆≥0 内容 应用 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 针对训练 归纳小结 P17：习题21.2：第7题 P25：复习题21：第4题 针对训练 布置作业 $$