精品解析：吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

吉林油田第十二中学2024—2025学年度第一学期 初三数学月考试卷 * 试卷满分120分 时间120分钟 * 一、选择题，看完四个选项后再做决定！（每题2分，共12分） 1. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，函数值有最小值 5. 若点A（﹣2，yl），B（0，y2），C（，y3）是二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，且a＜0）的图象上三点，则yl，y2，y3的大小关系为（　　） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 二、填空题，要注意认真审题呀！（每题3分，共24分） 7. 已知函数是二次函数，则m＝________． 8. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是_________． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 11. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是______． 12. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少______． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程为____． 三、简答题，要注意认真审题呀！（每题5分，共20分） 15. 解方程：（用配方法） 16. 用适当的方法解下列方程：． 17. 已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)． （1）确定此抛物线的解析式； （2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值． 18. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式． 四、简答题，相信自己，我能行！（每题7分，共计28分） 19. 如图，用一长为24米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，其中一面利用墙（墙的最大可用长度为15米）．如果要围成面积为45平方米的花圃，那么的长是多少米？ 20. 如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交与两点， （1）__________； （2）__________0； （3）方程的根__________； （4）抛物线与轴的另一个交点是__________； （5）__________0； （6）抛物线的解析式____________； （7）__________0． 21. 如图，抛物线的图象交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）此抛物线的顶点为，则点坐标为____________的面积是____________． 22. 关于的一元二次方程． （1）若，，求方程的两根； （2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况． 五、简答题，相信自己，我能行！（每题8分，共计16分） 23. 一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 六、简答题，相信自己，我能行！（每题10分，共计20分） 25. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 26. 如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2024—2025学年度第一学期 初三数学月考试卷 * 试卷满分120分 时间120分钟 * 一、选择题，看完四个选项后再做决定！（每题2分，共12分） 1. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边写成完全平方的形式． 【详解】解：移项得， 配方得，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 2. 下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、整理得：， ，该方程有两个不相等实数根，，故本选项不符合题意； B、，该方程实数根，故本选项不符合题意； C、整理得：，，该方程有两个不相等实数根，，故本选项符合题意； D、，该方程有两个不相等实数根，，故本选项符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 3. 把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题关键． 4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，函数值有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，函数值有最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5. 若点A（﹣2，yl），B（0，y2），C（，y3）是二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，且a＜0）的图象上三点，则yl，y2，y3的大小关系为（　　） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 【答案】C 【解析】 【分析】先出抛物线的对称轴，再求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案． 【详解】y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，且a＜0）， 对称轴是直线x＝﹣＝1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1， 即在对称轴的左侧y随x的增大而增大， C点关于直线x＝1的对称点是（2﹣，y3）， ∵﹣2＜0＜2﹣， ∴y3＞y2＞y1， 故选C． 【点睛】本题考查学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目，也是常考题目． 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】把代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴ ∴， ∴方程没有实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）=0，方程有两个相等的实数根；（3）＜0，方程没有实数根． 二、填空题，要注意认真审题呀！（每题3分，共24分） 7. 已知函数是二次函数，则m＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为． 8. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：=-7（不合题意，舍去），=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴即， ∴， 故答案为：2021． 11. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解． 【详解】解：由题意可得：当时，二次函数的图象与x轴只有一个交点， 即为，解得：； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点，当时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，当时，二次函数的图象与x轴没有交点． 12. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 13. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，设运动时间为秒，由题意得：，，则，根据题意列出一元二次方程，解方程得出，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设运动时间为秒， ∵（秒）， ∴， 如图，连接， ， 由题意得：，， ∴， ∵的面积是，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程为____． 【答案】(80+2x)(50+2x)=5400 【解析】 【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原矩形风景画的宽+2x），列出方程即可． 【详解】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x， ∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400． 故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400． 【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键． 三、简答题，要注意认真审题呀！（每题5分，共20分） 15. 解方程：（用配方法） 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查利用配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键．根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 16. 用适当的方法解下列方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用因式分解法即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 则2x-5=0或x-2=0， 解得 ，， 所以，原方程的解为 ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 17. 已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)． （1）确定此抛物线的解析式； （2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3；（2）当x=1时，y有最小值-4． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得|a|的值，因为抛物线开口向上，所以a＞0，进而得到抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变换成顶点式即可得到答案. 【详解】（1）由抛物线过（0，-3）， 得：-3=|a|-4， 解得|a|=1，即a=±1， ∵抛物线开口向上， ∴a=1， 故抛物线的解析式为y=x2 -2x-3； （2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4， ∴当x=1时，y有最小值-4． 18. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝x2－x－2 【解析】 【分析】由于抛物线与x轴相交，故可设抛物线的解析式为交点式形式：y＝a(x＋1)(x－2)，再把物线与y轴的交点坐标代入解析式中，即可求得a,从而求得解析式． 【详解】由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2) 把(0，－2)代入得－2＝－2a ∴a＝1 ∴y＝(x＋1)(x－2) 即y＝x2－x－2 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，这里根据题意用二次函数解析式的交点形式比较简单．常规解法是分别把三点的坐标分别代入解析式中，得到一个关于a、b、c的方程组，解方程组即可． 四、简答题，相信自己，我能行！（每题7分，共计28分） 19. 如图，用一长为24米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，其中一面利用墙（墙的最大可用长度为15米）．如果要围成面积为45平方米的花圃，那么的长是多少米？ 【答案】的长是3米或5米 【解析】 【分析】设的长为米，则米，根据长方形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设的长为米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，米，符合题意， 当时，米，符合题意， 的长是3米或5米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交与两点， （1）__________； （2）__________0； （3）方程的根__________； （4）抛物线与轴的另一个交点是__________； （5）__________0； （6）抛物线的解析式____________； （7）__________0． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由抛物线图象可得抛物线的对称轴为直线，从而得出，即，即可得解； （2）由抛物线图象可得抛物线开口向下，与轴交于正半轴，得出，，结合，即可得解； （3）由抛物线图象即可得出答案； （4）根据抛物线的对称性即可得出答案； （5）由抛物线函数图象即可得出答案； （6）利用待定系数法计算即可得解； （7）根据抛物线与轴有两个交点即可得解． 【小问1详解】 解：由抛物线图象可得：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由抛物线图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解： ∴方程，即的根为：； 【小问4详解】 解：∵抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是； 【小问5详解】 解：由抛物线图象可得，当时，； 【小问6详解】 解：∵抛物线，其顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问7详解】 解：由抛物线的图象可得，抛物线与轴有两个交点， ∴． 21. 如图，抛物线的图象交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）此抛物线的顶点为，则点坐标为____________的面积是____________． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先由抛物线解析式得出顶点的坐标为，，求出直线的解析式为，设与抛物线对称轴交于点，则，，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点的坐标为， 在中，令，则，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，设与抛物线对称轴交于点， ， 在中，当时，，即， ∴， ∴． 22. 关于的一元二次方程． （1）若，，求方程的两根； （2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况． 【答案】（1），； （2）原方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）由方程的系数以及可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根； 本题考查解一元二次方程以及一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，，则， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， 则， ， ， 原方程有两个不相等的实数根； 五、简答题，相信自己，我能行！（每题8分，共计16分） 23. 一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 【答案】方程的根为， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题目中的例子和换元法解方程的方法即可解答，解答本题的关键是理解题意，熟练掌握换元法． 【详解】解：设，原方程可变为， 解得：，， 当时，，解得，， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无实根， ∴方程的根为，． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】（1） 证明：． 方程有两个不相等的实数根； （2）或  【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想． （1）计算判别式的值得到即可证明； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． 六、简答题，相信自己，我能行！（每题10分，共计20分） 25. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 26. 如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 【答案】（1） （2） C在抛物线上，D不在抛物线上，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴不在抛物线上，在抛物线上。 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等： （1）根据对称轴计算公式得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用勾股定理求出，则由菱形的性质得到，，则，即可推出，再验证C、D是否在抛物线上即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点在直线上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $