22.3实际问题与二次函数 （销售问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 （销售问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 1．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下： 售价（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量（盒） 54 50 46 38 30 （1）分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式； （2）根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？ 2．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数． （1）求出与x的函数关系式； （2）若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？ 4．某直播平台为备战“618”，准备代销进价为10元/本的精美手账本，根据品牌方要求，销售价不低于进价、且不高于进价的2倍，试销期间的数据显示：若刚好以进价出售，日销量为60本，当价格每提升1元时，日销量则下降2本. （1）直接写出日销量y与销售单价x的函数解析式； （2）手账本销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少? 5．11月19日，2026年美加墨世界杯预选赛第三阶段第6轮，中国队迎战日本队，中国队虽最终不敌但也有不俗的表现，激发了广大球迷的观球热情．某体育用品店趁热经销一种学生足球，已知这种足球的成本价为50元/个．经调查发现，这种足球每天的销售量（个）与销售单价（元/个）有如下关系：（，为整数），设这种足球的销售利润为（元）． （1）若某天这种足球的销售利润为800元，求这天这种足球的销售单价； （2）这种足球的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 6．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第天销售的相关信息如下表所示： 销售量（件） 销售单价（元/件） 当时， 当时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件； （2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店元奖励，通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 7．某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 8．超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 9．根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 10．为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）． （1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 11．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的售量y（件）与每件情售价x（元的关系数据如下： x 30 32 33 34 y 40 36 34 32 （1）已知y与x之间满足一次函数关系，根据上表求y与x之间的关系式（不必要写出自变量x的取值范围）； （2）如果商店销售这种商品每天要获得的利润为192元，那么每件商品的销售价应定为多少元？ （3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？ 12． 草莓销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是元/千克和元/千克，一共销售了千克，销售总收入为元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和． 问题解决 任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？ 任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示． 任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为元，求的值． 13．某商家销售一种成本为元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元． （1）求出关于的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是元； （3）求出商家销售该商品每天获得的最大利润． 14．已知某工厂生产甲、乙两种不同规格的产品，生产1吨的甲产品需要2吨原材料A；生产1吨的乙产品需要3吨原材料A．根据市场调研，甲、乙两种产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间分别满足以下函数关系： 甲产品：．当时，；当时，． 乙产品：． （1）求甲产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间满足的函数关系． （2）若现原材料A共有20吨，应怎样将原材料分配给甲、乙两种规格的产品，才能使得利润最大？求出最大利润． 15．近年来，古城内的普洱咖啡受到越来越多游客的喜爱，其种植规模与销量均在逐年增加．一咖啡园现种植甲、乙两种咖啡树，其中种植x棵甲咖啡树，每年所获得的利润（元）与x（棵）之间的函数解析式为，且当时，（元），种植z棵乙咖啡树，已知乙咖啡树每年的成本y（元）与种植乙咖啡树数量z（棵）之间满足函数关系（，），若乙咖啡树每棵每年可收入800元，种植乙咖啡树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： Z（棵） 10 40 （元） 4920 7920 （1）求与x之间的函数解析式，并求的最大值； （2）求与z之间的函数解析式； （3）若该咖啡园计划种植甲咖啡树的数量是乙咖啡树数量的一半，求当种植多少棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大？最大利润是多少？ 16．某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售且x为整数)，单价y(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为 x为整数)，且日销售量m(千克)与时间x(天)之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x/天 1 3 6 10 　 日销售量m/千克 142 138 132 124 　 （1）填空：m与x的函数关系为　 　. （2）哪一天的销售利润最大?最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1千克商品就捐赠n 元利润(n<4)给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围. 17． 甲、乙两家汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两家公司经理的一段对话： 甲公司经理：“如果我公司每辆汽车的月租费为3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.” 乙公司经理：“我公司每辆汽车的月租费为3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.” 说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费一月维护费；③两家公司的月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润. 在两家公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每家公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　 　元；当每家公司租出的汽车为　 　辆时，两家公司的月利润相等. （2）求两家公司月利润差的最大值. （3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两家公司租出的汽车均为17 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围. 18．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； （2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； （3）求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 答案解析部分 1．【答案】（1） （2）售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元 2．【答案】（1） （2） （3）售价为元，最大利润为元 3．【答案】（1） （2）应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元 4．【答案】（1）解：根据题意可得，，其中， 即. （2）解：设利润为w元，则， 当时，w随x的增大而增大， 故当时，w有最大值，最大值是400. 答：手账本单价为20元/本时，所获日销售利润最大，最大利润是400元. 【解析】【分析】(1)当销售单价为x元时，日销量则下降2(x-10)本，故日销量为y=60-2(x-10)=80-2x. (2)设利润为w元，则，利用二次函数解析式的性质可得当时，w随x的增大而增大，又根据销售价不低于进价、且不高于进价的2倍可得当时，w有最大值，最大值是400. 5．【答案】（1）60元/个 （2）销售单价定为75元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元 6．【答案】（1）10或35；（2）第21天时获得最大利润，最大利润为725；（3）． 7．【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； （3）当时每天获得的利润不低于元． 8．【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 9．【答案】（1）；（2）当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元 10．【答案】（1），； （2）当时，有最大值，最大值为； （3）． 11．【答案】（1） （2）每件商品的销售价定为38元或42元时日利润为192元； （3），当销售单价为40元时获得的利润最大． 12．【答案】任务1：该草苺园今年4月第三周城区销千克，园区内销售千克；任务2：；任务3： 13．【答案】（1）；（2）销售单价定为40元；（3）该商品每天获得的最大利润为8960元． 14．【答案】（1）解：根据题意得，， 解得， ∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：； （2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨， 设甲、乙两种产品总的利润为w万元， 则， 整理得，， 即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大． 吨，吨， 答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为． 【解析】【分析】（1）将 当时，；当时，代入可得，再求出a、b的值即可； （2）设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，甲、乙两种产品总的利润为w万元，利用“总利润=甲的利润+乙的利润”列出函数解析式，最后利用二次函数的性质求解即可. （1）解：根据题意得， ， 解得， ∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：； （2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨， 设甲、乙两种产品总的利润为w万元，则 ， 整理得，， 即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大． 吨，吨， 答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为． 15．【答案】（1），的最大值为7140元 （2） （3）当种植17棵或18甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 16．【答案】（1）m=-2x+144(1≤x≤40且x为整数) （2）设日销售利润为 W 元，根据题意，得： 当1≤x≤20且x为整数时， W= ， 则当x=16时，取得最大日销售利润为1568元. 当20<x≤40且x为整数时，W=(35-20)(-2x+144)=-30x+2160， 则当x=21时，取得最大日销售利润W=-30×21+2160=1530(元). 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元 （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为 P，根据题意可得： P=-0.5x2+16x+1440-n(-2x+144)=-0.5x2+(16+2n)x+1440-144n，其所在抛物线的对称轴为直线x=16+2n. ∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要在直线x=19.5右侧， ∴16+2n>19.5，求得n>1.75. 又∵n<4，∴n的取值范围是1.75<n<4 【解析】【解答】解：（1）设m=kx+b，将x=1，m=142和x=3，m=138两组数据代入表达式，解得k=-2，b=144，∴m=-2x+144(1≤x≤40且x为整数) 故答案为：m=-2x+144(1≤x≤40且x为整数) 【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意找到等量关系式：日销售利润=（销售单价-单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可； （3）根据题意列出方程，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 17．【答案】（1）48000；37 （2）解：设两家公司的月利润分别为，，月利润差为，则，， 当甲公司的利润大于乙公司时， 当时，利润差最大，且为元； 当乙公司的利润大于甲公司时，， 抛物线开口向上，在对称轴的右侧，随的增大而增大 当时，利润差最大，且为元； 综上所述：两家公司的月利润差的最大值为33150元 （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为 对称轴为直线 ∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， 解得50<a<150 【解析】【解答】解：（1）[(50-10)×50+3000]×10-200×10=48000元，当每家公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元； 设每家公司租出的汽车为x辆，由题意可得[(50-x)×50+3000]x-200x=3500x-1850，解得x=37或x=-1(不合题意，舍去)， ∴当每家公司租出的汽车为37辆时，两家公司的月利润相等； 故答案为：48000；37. 【分析】(1)第一空：由于甲公司每辆车的月租费每增加50元则少租出1辆，因为共有50辆车，所以租出10辆时就少出租了40辆车，则每辆车的租金为(50-10)×50+3000，则月利润为10×[(50-10)×50+3000]-200×10； 第二空：若租出x辆车，则少出租（50-x）辆车，则每辆车的租金为(50-x)×50+3000，则x辆车的总租金为x[(50-10)×50+3000]，x辆车的维护费为200x，即甲公司的月利润为x[(50-10)×50+3000]-200x，而乙公司出租x辆车的月利润为3500x-1850，由题意联立方程并求解即可； （2）因为两家公司的月利润因出租车辆的数目不同而大小不同，因此需要分类讨论，即当甲公司的月利润大于乙公司时或乙公司的月利润大于甲公司时两种情况，此时可设利润差为y，当甲大于乙时，，则y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则函数有最大值；当乙大于甲时，，y也是关于x的二次函数，但二次项系数为正，则在对称轴右侧y随x的增大而增大，再依据抛物线的增减性求出这个最大值并与前面的计算结果进行比较即可； （3）由于甲公司每租出一辆汽车捐出a元，若出租x辆汽车，即甲公司的月利润减少了ax元，利润差随之减少ax元，另甲公司剩余的月利润大于乙，即可得利润差由于抛物线开口向下，且x=17时y最大，由于x是正整数，则对称轴只能在16.5和17.5之间，即再解不等式组即可. 18．【答案】（1）解：由题意得，（，且x为整数） ． （2）解：由题意得， ∴， 解得，， ∵民宿尽最大可能让利游客，， ∴每个房间的定价为（元）． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元． （3）， ∵， ∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元． 【解析】【分析】（1）根据题意，房间总量为20，无人居住房间为x，有游客居住的房间数为y，即可得出：，（，且x为整数）；再根据利润=每个房间的利润×房间数量，即可得出．； （2）由（1）得：中，先求出当w=9600时的x的值，再进一步求得（500+50x）即可； （3）由（1）得：，首先转化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出当时，W有最大值为9800元，进一步求得（500+50x）即可。 （1）解：由题意得，（，且x为整数） ． （2）由题意得， ∴， 解得，， ∵民宿尽最大可能让利游客，， ∴每个房间的定价为（元）． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元． （3）， ∵， ∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元． 学科网（北京）股份有限公司 $$