精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考 数学试题 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 函数在区间上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （　　） A. 5 B. C. D. 6. 如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ） A B. C. D. 1 7. （ ） A B. C. D. 8. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 二、多选题（每题 6 分，共 18 分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，为复数，则 C. 设，是非零向量，若，则 D. 设，为复数，若，则 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 若是空间中两条直线，平面，空间点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或与相交； B. 若，则无公共点； C. 若，则； D. 若，则. 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，则__________． 13. 已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上，，两点间的距离为5海里．某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时，两点间的距离为8海里，该时刻货船与灯塔间的距离为___________海里． 14. 函数的值域是_______；零点是_______. 四、解答题 15. 已知向量，，，. （1）若，求值； （2）若与垂直，求实数. 16. 已知在复平面内，复数，对应的点分别为，向量与实轴平行． （1）求b的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围． 17. 如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为． （1）用，表示； （2）若点E是边的中点，直线交于F点，求． 18. 已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120. （1）求三棱柱的高； （2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 19 已知函数. （1）若，，，且在区间上无零点，求值； （2）若是图象的对称中心，是图象的对称轴，且在区间上无零点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考 数学试题 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，根据，列出方程，计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，解得 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用平方关系求出，，再利用两角差的余弦公式将展开计算，根据余弦值及角的范围可得角的大小. 【详解】∵，，， ∴，， ∴. 又∵，∴， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题. 4. 函数在区间上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性排除AC；由的解判断BD. 【详解】令，，即函数为偶函数， 图象关于轴对称，故AC错误； 令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误； 故选：B 5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果. 详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 6. 如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可． 【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为， 由，可得，， 设，， 由，可得，，， 所以，整理得：， 则，其中， 所以当时，有最大值． 故选：A． 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，计算出函数值，代入相乘即可得出答案. 【详解】因为， ， ， 所以，. 故选：A. 8. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像平移的规则求解. 【详解】, 所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向右平移个单位. 故选：A 二、多选题（每题 6 分，共 18 分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，为复数，则 C. 设，是非零向量，若，则 D. 设，为复数，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量的模的运算及复数模的运算逐一判断即可. 【详解】对于A项，若，且，则，即：或，故A项错误； 对于B项，设，，（）， 则，故B项正确； 对于C项，因为、为非零向量，， 所以，即：， 所以，故C项正确； 对于D项，当，时，满足，但不满足，故D项错误. 故选：BC. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断C项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断D项. 【详解】对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：，，（为△ABC外接圆的半径）， 因为，所以，所以，故A项正确； 所以B项，因为，所以，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立； 对于C项，因为， 所以由正弦定理得：，即：， 所以或， 所以或， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立； 对于D项，因为△ABC为锐角三角形， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即：，故D项正确. 故选：AD. 11. 若是空间中两条直线，平面，空间点，则下列结论正确是（ ） A. 若，则或与相交； B. 若，则无公共点； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系逐项分析即得. 【详解】对于A，若，则或与相交，故A正确； 对于B，若，则可能相交、异面、平行，故B错误； 对于C，若，则或异面，故C错误； 对于D，若，则直线与相交，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入即可求解. 【详解】解：当时，， 故， 故. 故答案为：. 13. 已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上，，两点间的距离为5海里．某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时，两点间的距离为8海里，该时刻货船与灯塔间的距离为___________海里． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】根据题意，画出示意图，如图， 由已知可得，， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 故答案为：7 14. 函数的值域是_______；零点是_______. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，结合函数的值域、零点的意义求解作答. 【详解】由函数，知，而，因此， 则，有，所以函数的值域是； 由，即，解得或， 所以函数的零点是或. 故答案为：；或 四、解答题 15. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与垂直，求实数 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量的模长公式列出方程求解的值. （2）先求出的坐标，再根据垂直向量数量积等于0列出方程求解的值. 【小问1详解】 因为，. 所以； 所以，即； 解得或. 【小问2详解】 因； 又与垂直，； 所以，解得. 16. 已知在复平面内，复数，对应的点分别为，向量与实轴平行． （1）求b的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求 ,再因为与x轴平行列式求参即可； (2)先求z在复平面内对应的点, 再应用点在第三象限列不等式求解即得范围. 【小问1详解】 由题意知，，所以， 因为与x轴平行，所以， 解得． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为z在复平面内对应的点在第三象限， 所以 解得， 故实数m的取值范围是． 17. 如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为． （1）用，表示； （2）若点E是边的中点，直线交于F点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何图形，对向量做加减线性运算即可； （2）根据E，F，B三点共线，得，再设，通过平面向量基本定理求出，再根据向量的数量积即可求出答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 E，F，B三点共线， 存在实数使， 设， ，解得， ， 由，向量，的夹角为得， 18. 已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120. （1）求三棱柱的高； （2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 【答案】（1）10或5（2） 或 【解析】 【分析】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，根据相似比有，再根据正三棱柱的侧面积为120，有，两式联立求解. （2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解. 【详解】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示: 则 解得 又因为正三棱柱的侧面积为120. 所以 所以 解得 或 所以三棱柱的高是10或5. （2）因为面积之比等于相似比的平方， 所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或 . 【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题. 19. 已知函数. （1）若，，，且在区间上无零点，求的值； （2）若是图象的对称中心，是图象的对称轴，且在区间上无零点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，结合周期性即可得根据即可求解， （2）根据函数的对称性可得，，其中，即可求解. 【小问1详解】 由以及且在区间上无零点，可得 ，即， 解得 且，因此或， 当时，，此时，不符合，故舍去， 当，时，，此时，符合， 故， 【小问2详解】 由于，且是图象的对称轴，要是在区间上无零点，则，解得 由是图象的对称中心，是图象的对称轴得 ，其中,两式子相减得， 故当时，，故为最大值为 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$