18.1勾股定理 教学设计2024-2025学年 沪科版八年级数学下册

《勾股定理》教学设计 教学内容及解析 （一）内容 沪科版义务教育教科书八年级下册，第 18 章第一节《勾股定理》。 （二）内容解析 1.内容的本质 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它从边的角度刻画了直角三角形的特征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 以此揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，从而将“数 ”与 “形 ”密切联系起来.它是反映自然界基本规律的一条非常重要的结论，在现实世界中也有广泛的应用。 2.蕴含的数学思想和方法 勾股定理的学习中蕴含着大量的数学思想：数形结合、特殊到一般、转化。 3.知识的上下位关系 本节课是在学生已经研究了一般三角形的边角性质和特殊三角形边角性质的基础上，再研究直角三角形三边之间的数量关系，对后续研究直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，以及四边形、圆等其他几何内容具有重要的奠基作用。 2 教学目标及解析 （一）教学目标 1.在网格纸中借助正方形的面积找到直角三角形三边平方之间的数量关系，经历由形到数、由特殊到一般的探究过程，发展数学抽象和几何直观，会用数学的眼光观察现实世界。 2.经历勾股定理推理验证的探究过程，体会其中蕴含的文化价值和数形结合的思想，发展逻辑推理能力，会用数学的思维思考现实世界。 3.通过例题的讲解，会运用勾股定理进行简单计算，发展应用意识，会用数学的语言表达现实世界。 （二） 目标解析 达成上述目标的标志是： 1.能够在网格中用割补法计算以直角三角形斜边为边长的正方形面积，转化为直角三角形三边平方之间的数量关系，并提出猜 想。 2.能在探究活动中合作交流，利用面积不变的关系验证勾股定理，从而理解用“割补法 ”验证勾股定理的思路；通过了解勾股定理相关史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。 3.能运用勾股定理进行简单计算，已知直角三角形的两边长求出第三边长。 3 三、教学重难点 （一）教学重点 探索、验证及掌握勾股定理，并能解决一些简单的实际问题。 （二）教学难点 建立边长的平方与面积的联系，探究割补法验证勾股定理的过程，并掌握代数推理。 教学策略分析 教法：本节课采用发现教学法、问题驱动法、直观演示法的教学策略，通过设置带有启发性和思考性的问题串，创设问题情境启发学生思维，结合多媒体软件、几何画板等让学生利用动手操作、自主探究、合作交流的学习方式，亲身经历勾股定理的探究过程，丰富数学活动经验，发展几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力以及分析问題、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值。 学法：学生通过自主探究，合作交流，充分经历勾股定理的“观察一发现一猜想一验证一应用”探索过程，培养数学思维。 4 教学过程 一、创设情景 导入新课 问题 1：请同学们回顾研究三角形性质是从哪些方面入手的呢？ 追问 1：等腰三角形是特殊的三角形，除了具有三角形性质外，还有其他什么特殊性质？ 追问 2：直角三角形也是特殊的三角形，那么它的角有什么特殊性质？ 预设：学生能够按照老师的引导复习旧知，梳理三角形、等腰三角形、直角三角形相关知识。 【设计意图】从学生已有的知识体系入手构建研究路径，不仅符合学生知识的最近发展区，还体现知识之间的上下位关系，更明确了本节课研究的目标。 问题 2：相传在 2500 年前，古希腊数学家毕达哥拉斯到朋友家做客 时在排列规则的地板砖上惊喜的发现了直角三角形三边之间的某种数量关系，究竟直角三角形三边之间存在怎样的数量关系呢?请大家在导学案上动手画一画，你是否也能跟大数学家一样有同样的发现呢？ 预设：学生能够找出等腰三角形三边平方之间的关系。 【设计意图】问题 2 以数学家的故事创设情景，激发学生的学习兴 5 趣，而后循着数学史中勾股定理发现的足迹展开追问，在数学史情境中启学。从地板图案中抽象出等腰直角三角形，以三边向外做正方形，发现 SA +SB =SC 关系，体会数学知识的发现过程，不断靠近数学本质，发展几何直观和数学抽象的素养，学会用数学的眼光观察现实世界。 二、实验归纳 探索定理 问题 3：如果你是毕达哥拉斯，你在发现等腰直角三角形三边有着这种特殊关系后，你还会继续研究什么问题？ 生：任意直角三角形，三边是否也有这种特殊关系。 预设：学生能够找出等腰三角形三边平方之间的关系。 【设计意图】问题 3 由数学史情境中直观的正方形面积关系，进一步抽象到直角三角形三边关系，用平方嫁接起边长和面积的联系，为验证思路的探寻埋下伏笔。将特殊的情形一般化，教学生怎样学、怎样研究问题，从而自主提出问题，助力从特殊到一般的研究思路的形成。 6 追问 1： 正方形 A 的面积是_______个单位面积； 正方形 B 的面积是_______个单位面积。 追问 2：如何计算正方形 C 的面积?请将你的计算方法书写到导学案上。 追问 3：通过计算正方形 A、B、C 的面积之间的关系，你能发现直角三边形的三边有怎样的数量关系？ 追问 4：如果改变直角三角形的直角边长度，上面所猜想的数量关系还成立吗? 请同学们计算填表。 (学生自主探究后，小组交流并派小组代表展示。) 追问 5：由上面的探索过程，你有什么猜想？ 师：利用几何画板验证勾股定理。 【设计意图】在活动中，以层层递进的追问引领学生思考，经历不同直角边长的验证过程。 7 问题 4：请你利用准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形。 (学生自主探究、合作交流后，由小组代表展示讲解。) 归纳勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 【设计意图】引导学生总结验证勾股定理的实质是构造，进而提炼构造的基本思路和策略。构造的基本思路是由形到数，转化为代数运算；策略是结合数学表达式的形式特征，构造正方形，再根据图形的面积建立等式。 师生共同欣赏勾股定理的一些经典证法，尤其是赵爽通过剪拼方式的介绍.让学生感受我国古代人民的聪明才智，弘扬我国古代的数学成就，培养学生的民族自豪感。 【设计意图】主要是介绍国内外的经典证法，一方面让学生初步感受从古至今古人对勾股定理的热爱和探究，另一方面也体现了我国古代学者的聪明才智，钻研精神以及弘扬我国古代数学的辉煌成就，培养学生的民族自豪感。 8 三、巩固新知 应用定理 例 1 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a=6，c=10，求 b； （2）已知 a=5，b=12，求 c； 例 2.从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 【设计意图】通过例题,使学生了解可以借助勾股定理求线段长，体会勾股定理的应用价值。 四、量化评价 反思提升 问题 5.1 我们研究了什么？ 问题 5.2 我们是按照怎样的路径研究的？ 问题 5.3 我们是用什么思想方法研究的？ 问题 5.4 我们还可以研究什么？ 预设：学生能够准确表达本节课的知识点、思想方法、研究思路。 【设计意图】让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，帮助学生在知识上巩固，在方法上凝练，在思想上升华，实现三者的融通.在回顾整合中，学生用数学语言交流，促进学生形成知识的图式结构和研究问题的基本思路。 9 五、作业反馈 能力提升 学生活动：按要求，认真完成作业任务单 【设计意图】采用了分层作业法，既面向全体又注重个体，也减轻了学生的学习负担，进行分类达标，这样学生无论能力高低，都能找到自己的立足点，从而获得对学习的信心。 板书设计 【设计意图】 1.知识再现，利于知识的回顾和掌握. 2.体现重点、难点，对知识体系化建构. 3.揭示基本内容的基础上，启发学生的思维，开拓思路. 分层作业设计 作业任务单 10 （一）基础性作业（必做题） 如图，在△ABC 中， ∠ACB=90°, AC＝4，BC＝3， CD 是 AB 上的高，你可以提出什么数学问题？你能解决所提出的问题吗？ （二）发展性作业（选做题） 自行查阅资料，学习一种新的勾股定理证明方法，课上分享。 作业评价表 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 11 学科网（北京）股份有限公司 $$