第47课时 强化拓展 子数列问题 课件-2026届高三数学一轮复习

第47课时 强化拓展 子数列问题 1 子数列问题是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数 列，一般适用于某个由几个有规律的数列组合而成的数列，在具体 求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置以及在子数列中的 位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、 函数与方程的思想，能很好地考查学生的逻辑思维能力. 第47课时 强化拓展 子数列问题 2 类型一 奇数项与偶数项问题 典例1 （2025·广东深圳高三模拟）已知等差数列 满足 ， . （1）求 ； （2）若数列满足为数列的前 项 和，求 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 3 解析 （1）设等差数列的公差为 . 因为， ， 则 解得 所以 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 4 （2）由（1）可得， 则 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 方法总结 数列中的奇、偶项问题的常见类型 （1）数列中连续两项的和或积的问题<m></m>或 <m></m>； （2）含有<m></m>的类型； （3）含有<m></m>，<m></m>的类型. 第47课时 强化拓展 子数列问题 6 （2023·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列， 记，分别为数列，的前项和，， . （1）求 的通项公式. （2）证明：当时， . 练习 第47课时 强化拓展 子数列问题 7 解析 （1）设等差数列的公差为 . 因为 ， 所以,, ， 则解得, ， 则 ， 所以数列的通项公式为 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 8 （2）由（1）知， ， . 当为偶数时， ， ， 当时， ， 因此 . 当 为奇数时， 第47课时 强化拓展 子数列问题 ， 当时，，因此 . 故当时， . 第47课时 强化拓展 子数列问题 类型二 公共项问题 典例2.改编题 （人A选修②PT改编）已知2，6，10， ， 190及2，8，14， ，200两个等差数列，将这两个等差数列的公 共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和 为______. 解析 将2，6，10， ，190及2，8，14， ，200这两个等差数列 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38， 50， ，182是这两个数列的公共项，共有 项，也是 等差数列，它们的和为 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 11 方法总结 若两个等差数列的公共项是等差数列，则其公差是这两个等差 数列公差的最小公倍数.若两个等比数列的公共项是等比数列，则其 公比是这两个等比数列公比的最小公倍数. 第47课时 强化拓展 子数列问题 12 （2025·福建漳州高三模拟）若将数列与 的公共项按从 小到大的顺序排列得到数列，则 ______. 解析 数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，256， ， 经检验，数列中的奇数项都是数列 中的项， 即2，8，32，128， 可以写成 的形式，观察归纳可得 ， 所以 . 练习 第47课时 强化拓展 子数列问题 13 类型三 增减项问题 典例3 已知等差数列和等比数列满足 ， ， . （1）求数列和 的通项公式； （2）若在数列中，去掉与数列 相同的项后，将剩下的所有 项按原来的顺序排列构成一个新数列，求数列 的前20项和. 第47课时 强化拓展 子数列问题 14 解析 （1）设的公差为，的公比为 ， 由题意知,， ， 故，，， ， 所以, ， 消去,得 ， 所以，，所以， . 第47课时 强化拓展 子数列问题 15 （2）由，令，解得 ， 且，， ， 所以的前20项中只有两项与 相同，即3和27. 因为，均不在数列 中， 所以的前20项和为 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 方法总结 对于数列的中间插项或减项构成新数列的问题，我们要把握两 点：判断数列之间共插入（减少）了多少项（运用等差、等比数列 的求和公式或者项数公式判断）；利用题目给出的条件确定它包含 了哪些项. 第47课时 强化拓展 子数列问题 17 已知正项数列的前项和为，且， . （1）求 . （2）在数列的每相邻两项，之间依次插入， ， ，，得到数列，，，，，，，， ， ， .求的前20项和 . 练习 第47课时 强化拓展 子数列问题 18 解析 （1）对任意的，因为 ， 所以当 时， . 因为，所以，故 . 当时，满足 ， 所以， . 第47课时 强化拓展 子数列问题 19 （2）因为， ， 所以当时， ， 所以 所以数列 的前20项为1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2， 所以 的前20项是由6个1与14个2组成的. 故 . 第47课时 强化拓展 子数列问题 $$