第42 课时 等比数列 课件-2026届高三数学一轮复习

第 42 课时 等比数列 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 1.理解等比数列的概 念，并掌握其通项公 式与前 项和公式. 2.能在具体的问题情境中 发现数列的等比关系,并 解决相应的问题. 3.体会等比数列的 通项公式与指数 函数的关系. 第 42 课时 等比数列 2 必备知识·逐点梳理 3 一、等比数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于 ____________（不为零）,那么这个数列就叫作等比数列 通项 公式 设是首项为,公比为 的等比数列,则通项公式为 等比 中项 如果在与中间插入一个数,使,, 成等比数列,那么___ 叫作与的等比中项.此时, ____ 同一个常数 第 42 课时 等比数列 4 前 项和 已知,,，则；已知,, ，则 续表 第 42 课时 等比数列 （1）满足,为常数的数列 为等比数列.( ) × （2）,,三个数成等比数列的充分不必要条件是 .( ) × （3）常数列既是等差数列又是等比数列.( ) × （4）若数列的通项公式是 ，则数列 一定是等比数列.( ) × （5）若数列的前项和为 ，则数列 一定是等比数列.( ) × 判断 第 42 课时 等比数列 6 提醒（1）等比数列中不含有0项. （2）同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数. （3）在运用等比数列的前项和公式时,必须注意对与 分 类讨论,避免因忽略 这一特殊情形而导致解题错误. 第 42 课时 等比数列 7 二、等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 ,而 是一个不为0的常数与指数函数 的乘积,从图象上看,表示数列中的各项的点 是函数 的图象上一群孤立的点. 第 42 课时 等比数列 8 三、等比数列的性质 1.对任意的正整数,,,,若,则 .特 别地,若,则 . 2.若等比数列的前项和为,则,, 仍成等比数 列（公比 ）. 3.若数列是等比数列,则数列,是常数 也是______ 数列. 等比 第 42 课时 等比数列 9 4.若在等比数列 中,等距离取出的若干项也构成一个等比数列,即 ,,,, 为等比数列,则其公比为____. 5.等比数列 的单调性： 当,或,时,数列 是______数列; 当,或,时,数列 是______数列; 当时,数列 是____数列. 递增 递减 常 第 42 课时 等比数列 10 关键考点·核心突破 11 考点一 等比数列的基本量运算 题组1.改编题（人A选修②PT改编）已知数列 是等 比数列，其前项和为 . （1）若，，，求 ； （2）若，，，求 ； （3）若，，求与 ； （4）若，，求与 . 第 42 课时 等比数列 12 解析 （1）因为，， ，所以 . （2）因为，，且 ， 所以 . （3）设等比数列的公比为，由， ， 可得 ， 第 42 课时 等比数列 13 即，解得 ， 所以 . （4）设等比数列的公比为，因为， ， 所以当时，可得，此时 ，满足题意； 当时，可得解得, . 综上所述，,或, . 第 42 课时 等比数列 题组2（1）（2023·全国甲卷）设等比数列 的各项均为正数，前 项和为，若，，则 ( ). C A. B. C.15 D.40 解析 由题知 , 即,即 , 即 . 由题意知,所以，所以 .故选C. 第 42 课时 等比数列 15 （2）（2023·天津卷）已知数列的前项和为，若 , ，则 ( ). C A.16 B.32 C.54 D.162 解析 当,时，因为, ，所 以，即 . 当时，，所以数列 是首项为2，公 比为3的等比数列， 则 .故选C. 第 42 课时 等比数列 16 （3）（2024·全国甲卷）已知等比数列的前项和为 ，且 . ①求 的通项公式； 解析 因为,则 ， 所以，即 ，故等比数列的公 比 ， 故，故 ，故 . 第 42 课时 等比数列 17 ②求数列的前 项和. 解析 由等比数列的求和公式，得 ， 所以数列的前 项和 . 第 42 课时 等比数列 18 方法总结 解决等比数列有关问题的两种常用思想 （1）方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 基本问题,等比数列中有<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>五个量,一般可以知三求二,通过 列方程（组）便可迎刃而解. （2）分类讨论思想：等比数列的前<m></m>项和公式涉及对公比<m></m>的 分类讨论,当<m></m>时,<m></m>的前<m></m>项和<m></m>;当<m></m>时,<m></m>的前<m></m> 项和<m></m> 第 42 课时 等比数列 19 考点二 等比数列的判定与证明 例1 已知在数列中,且 , （1）求证：数列 为等比数列. （2）求数列 的通项公式. 第 42 课时 等比数列 20 解析 （1）因为 , 所以 , 所以 . 因为,所以数列是首项为 ,公比为3的等比 数列. （2）由（1）得, ,所以 . 第 42 课时 等比数列 21 方法总结 等比数列的判定方法 （1）定义法：若<m></m>为非零常数，且<m></m>，<m></m>， 则<m></m>是等比数列. （2）等比中项法：若在数列<m></m>中，<m></m>且 <m></m>，则<m></m>是等比数列. （3）通项公式法：若数列<m></m>的通项公式可写成 <m></m>，<m></m>均为非零常数，<m></m>，则<m></m>是等比数列. 第 42 课时 等比数列 22 （4）前项和公式法：若数列的前项和 为常数，且，,1，则 是等比数列. 第 42 课时 等比数列 23 已知在数列中，，且 . （1）求，，并证明 是等比数列； （2）求通项公式 . 练习 第 42 课时 等比数列 24 解析 （1）由， ， 得， . ， ， ， 是首项为1，公比为2的 等比数列. （2）由（1）知，， . 第 42 课时 等比数列 25 考点三 等比数列性质的应用 热点考情:等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其 考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、 条件转化等. 第 42 课时 等比数列 26 考向1 项的性质 例2（1）（2023·全国乙卷）已知 为等比数列， ，，则 ____. 解析 为等比数列， ， . 又，， . 第 42 课时 等比数列 27 （2）已知等比数列的各项均为正数,且 ,则 ____. 15 解析 因为是等比数列,所以 , 则,解得 , 所以 . 第 42 课时 等比数列 28 考向2 和的性质 例3（1）（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前 项和，若 ，，则 ( ). C A.120 B.85 C. D. 解析 设等比数列的公比为 ， 因为，，所以，否则 ， 从而,,, 成等比数列， 第 42 课时 等比数列 29 所以，解得或 . 当时，,,,，即,,, ， 易知，即 ； 当时， ， 与 矛盾，舍去. 故选C. 第 42 课时 等比数列 （2）已知等比数列共有项,其和为 ,且奇数项的和比偶 数项的和大80,则公比___ 2 解析 由题意,得解得 所以 . 第 42 课时 等比数列 31 方法总结 1.在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性 质，特别是“若<m></m>，则<m></m>”，可以减少运算量， 提高解题速度. 2.在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有 时需要进行适当变形.此外，解题时要注意设而不求思想的运用. 第 42 课时 等比数列 32 1.若在等比数列中,,是方程 的两根,则 ( ). B A. B.3 C. D. 解析 因为,是方程的两根,所以 , ,所以, . 又数列为等比数列,所以,且 , 所以,因此 .故选B. 练习 第 42 课时 等比数列 33 2. （2021·全国甲卷）记为等比数列的前 项和, 若,,则 ( ). A A.7 B.8 C.9 D.10 解析 （法一：基本量法）设数列的公比为,因为, , 则易知公比,所以由等比数列的前 项和公式,得 两式相除,得 ,所以 第 42 课时 等比数列 34 或 所以 . （法二：性质法）易知,, 构成等比数列,由等比中项 的性质得,即,所以 .故 选A. 第 42 课时 等比数列 $$