第40 课时 数列的概念 课件-2026届高三数学一轮复习

第 41 课时 数列的概念 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 1.了解数列的概念和 几种简单的表示方法 （列表、图象、通项 公式）. 2.了解数列是 自变量为正整 数的一类特殊 函数. 3.能够利用 与 的关系求 数列的通项公 式. 4.能根据数列 的递推关系求 数列的项或通 项公式. 第 41 课时 数列的概念 2 必备知识·逐点梳理 3 一、数列的有关概念 概念 含义 数列 按照____________排列的一列数 数列的项 数列中的__________ 数列的通项 数列的第项 通项公式 数列的第项 与_______之间的关系式 前 项和 在数列中, ________________ 确定的顺序 每一个数 序号 第 41 课时 数列的概念 4 二、数列的表示法 列表法 列表格表示与 的对应关系 图象法 把点_______画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项 公式 使用______表示数列的通项的方法 递推 公式 使用初始值和与的关系式或,和, , 的关系式等表示数列的方法 函数法 , 公式 第 41 课时 数列的概念 5 提醒 （1）并不是所有的数列都有通项公式. （2）数列的通项公式不唯一. （3）若数列的前项和为,通项公式为 ,则 第 41 课时 数列的概念 6 三、数列的分类 单 调 性 递增数列 ,__________ 递减数列 ,__________ 常数列 , 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 前一项的数列 周期性 ,存在正整数 ,使得 第 41 课时 数列的概念 7 （1）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) × （2）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( ) √ 判断 第 41 课时 数列的概念 8 提醒 （1）数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析 式在区间 上的单调性. （2）可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性. （3）在数列中,,若最大,则若 最小,则 第 41 课时 数列的概念 9 关键考点·核心突破 10 考点一 归纳通项公式 题组（1）改编题 （北师大选修②PT 改编）观察下图，并 阅读图形下面的文字，若像这样的10条直线相交，则交点的个数最 多是( ). B A.40 B.45 C.50 D.55 第 41 课时 数列的概念 11 解析 交点个数依次构成数列1,3,6,10, ，即，，， , ， 由此猜想此数列的通项公式 ，所以 .故选B. 第 41 课时 数列的概念 12 （2）改编题 （苏教选修①PT 改编）如 图，谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基于 1916年提出的一种无限分形图.它的美妙之处在于， 无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它 的构造方法如下：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形， 把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正 方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾 斯基地毯.前 次操作共抠除图形的面积为( ). 第 41 课时 数列的概念 13 A. B. C. D. 解析 √ 第 41 课时 数列的概念 14 观察图形的变化可知： 在图1中，第一次操作后，涂黑的正方形的面积为 ; 在图2中，第二次操作后，涂黑的正方形的面积为 ; 在图3中，第三次操作后，涂黑的正方形的面积为 ; 依此类推，可得第次操作后，涂黑的正方形的面积为 . 故前次操作共抠除图形的面积为 . 故选B. 第 41 课时 数列的概念 15 （3）改编题 （湘教选修①PT 改编）分别写出下列数列的 一个通项公式： ，，，，， ； ，，，，， ； ，66，666，，， ； ，0，2，0，2， . 答案 见解析 第 41 课时 数列的概念 16 解析 ①该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等 比数列，则 . ②该数列是正负交错的摆动数列，且被开方次数依次递增， 故 . ，99，999， 的一个通项公式为 ,故6，66，666, 的一个通项公式为 . ，，1，，1， 的一个通项公式为 ，故2， 0，2，0，2， 的一个通项公式为 . 第 41 课时 数列的概念 17 方法总结 由数列的前几项求通项公式的方法 （1）根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析, 抓住其四方面的特征：分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系 特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到 局部进行多角度观察、归纳、联想. （2）正、负符号的变化,可用<m></m>或<m></m>来调整. 第 41 课时 数列的概念 18 考点二 已知，或与的关系求 例1. 已知数列的前项和为 ，求下列数列的通 项公式. （1） ; （2） ; （3） ; （4）, . （提示:需利用等差数列的通项公式） 第 41 课时 数列的概念 19 解析 （1）当时,;当 时, . 综上, （2）当时,;当 时, . 又也满足上式，所以 . 第 41 课时 数列的概念 20 （3）当时, . 因为 , ① , ② 由得 , 所以,显然当 时,不满足上式. 故 第 41 课时 数列的概念 （4）由题意可得 ，两边同时除以 ，得 . 故数列是以为首项， 为公差的等差数列，则 ，所以 . 当时， . 故 第 41 课时 数列的概念 方法总结 已知<m></m>与<m></m>的关系求<m></m>的两种方法 （1）利用<m></m>消去<m></m>,转化为<m></m>与<m></m>的关 系再求<m></m>; （2）利用<m></m>消去<m></m>,转化为<m></m>与<m></m>的关 系,求出<m></m>后再求<m></m>. 注意：当<m></m>时，推出的关系不包含<m></m>的情况,因此需要验 证当<m></m>时是否成立,若成立,则合并表示,若不成立,则分段表示. 第 41 课时 数列的概念 23 1.已知在正项数列中,,则数列 的通项公式为________. 练习 解析 因为 , 所以 , 两式相减,得 , 所以 . 又当时,,即,满足 , 所以 . 第 41 课时 数列的概念 24 2.设数列的前项和为，若且当 时， ，则的通项公式 _ _________________________. 第 41 课时 数列的概念 25 解析 当时，由可得 ，即 . 因为，所以数列是首项为，公差为 的等差数列， 所以，所以 . 当时，，又因为 ，不满足 上式， 所以 第 41 课时 数列的概念 26 3.已知数列的前项和,求 的通项公式. 解析 当时, . 当时, . 当时,满足 , 所以, . 第 41 课时 数列的概念 27 当时,不满足 , 所以 综上所述,当时, ; 当时, 第 41 课时 数列的概念 28 考点三 由数列的递推关系求通项公式 例2 写出下列各数列 的通项公式. （1）改编题 （湘教选修①PT改编）（累加法） ， ； （2）（累乘法）， . 第 41 课时 数列的概念 29 解析 （1） ， 当时，， ， ， ，以上各式相加，得 ， ，当时，满足上式， . （2），，， ， . 当时，满足上式， . 第 41 课时 数列的概念 30 方法总结 1.形如<m></m>的数列，利用累加法即可求数列<m></m>的通项 公式. 2.形如<m></m>的数列，利用累乘法即可求数列<m></m>的通项公式. 第 41 课时 数列的概念 31 写出下列各数列 的通项公式. （1）， ； （2）， . 练习 第 41 课时 数列的概念 32 解析 （1）由题意得，， ， ， 以上各式相加，得 . ， 当时， 也满足上式， . 第 41 课时 数列的概念 33 （2）， ， 则 . 当时， 满足上式， . 第 41 课时 数列的概念 34 考点四 数列的性质及其应用 热点考情:数列可以看作是一类特殊的函数,因此可以用函数的 知识和思想方法来解决.数列的单调性、周期性是高考的常考内容， 涉及数列的最大项、最小项,数列的有界性问题均可借助数列的单调 性来解决. 第 41 课时 数列的概念 35 考向1 数列的周期性 例3 若数列满足，，其前项积为 ，则 ____, ____. 解析 由题意知，，， ， ，，， ，因此数列 是周期为4的周期数列，所以 ， . 第 41 课时 数列的概念 36 方法总结 对于数列的周期性问题，先根据给出的关系式求出数列的若干 项，再通过观察，归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前<m></m> 项和（积）. 第 41 课时 数列的概念 37 考向2 数列的单调性 例4 已知数列的通项公式为 . （1）若恒成立，求实数 的取值范围； （2）若数列仅第7项最小，求实数 的取值范围. 第 41 课时 数列的概念 38 解析 （1）由，令 ， 其图象的对称轴为直线 . 因为不等式恒成立，所以 ，所以 ，即实数的取值范围为 . （2）因为数列仅第7项最小，所以 ， 解得，即实数的取值范围为 . 第 41 课时 数列的概念 39 方法总结 解决数列的单调性问题的方法 （1）用作差比较法，根据<m></m>的符号判断数列<m></m>是递 增数列、递减数列还是常数列； （2）用作商比较法，根据<m></m>或<m></m>与1的大小关 系进行判断； （3）结合相应函数的图象直观判断. 第 41 课时 数列的概念 40 1.已知在数列中，，，则 ___. 1 解析 因为，所以 ， 所以 ， 所以 是以8为周期的周期数列. 又，所以 . 练习 第 41 课时 数列的概念 41 2.已知数列的通项公式为，，则数列 的前 20项中的最大项与最小项的值分别为______. 3, 解析 . 当时，，数列单调递减；当 时， ，数列单调递减. 故数列 的前20项中的最大项与最小项分别为第11项、第10项， 且， . 第 41 课时 数列的概念 42 $$