第 46 课时 数列中的综合问题 课件-2026届高三数学一轮复习

第 46 课时 数列中的综合问题 关键考点·核心突破 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问 题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命 题，涉及数列对应函数的性质、通项公式、前 项和公式等. 第 46 课时 数列中的综合问题 关键考点·核心突破 考点一 等差、等比数列的交汇 例1 已知公差不为0的等差数列满足，，， 成等比 数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设，求数列的前项和 . 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 （1）设等差数列的公差为 . 由，，， 成等比数列， 得 解得或（舍去）， . 第 46 课时 数列中的综合问题 （2）由 ， 得 ， ① ， ② 由 ，得 ， . 第 46 课时 数列中的综合问题 方法总结 等差数列、等比数列综合问题的求解策略 （1）基本方法：求解等差数列、等比数列组成的综合问题,首 先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、 求和公式、数列的性质等建立方程（组）,确定基本量. （2）基本思路：注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等 比中项，以及证明数列为等差数列、等比数列的方法确定解题思路. 第 46 课时 数列中的综合问题 已知正项等比数列,,且,的等差中项为 . （1）求数列 的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列 满足 ，为数列的前项和，求 . 练习 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 （1）设等比数列的公比为 ， 由题意，得解得 . （2）由（1）得 ， ， ， . 第 46 课时 数列中的综合问题 考点二 数列与其他知识的交汇问题 热点考情:在高考中，数列常与函数结合，考查数列的通项与单 调性等；与不等式结合，证明不等式或求最值.此类题型综合度高， 注重考查学生的分析与综合运用能力. 第 46 课时 数列中的综合问题 考向1 数列与函数的交汇 例2 已知函数,记等差数列的前项和为 ,若 ,,则 ( ). A A. B. C.2 026 D.4 052 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 因为,所以 是奇函数. 因为, , 所以 , 所以,所以 , 所以 . 故选A. 第 46 课时 数列中的综合问题 考向2 数列与不等式的交汇 例3.改编题 （人A选修②PT改编）已知数列 的首项 ，且满足 . （1）求证：数列 为等比数列. （2）若，求满足条件的最大整数 . 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 （1）由题意，数列满足 ，可得 ， 所以，即 . 又，所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列. 第 46 课时 数列中的综合问题 （2）由（1）可得 ， 所以 . 设数列的前项和为 ， 则 . 若，则 . 因为函数在 上单调递增， 所以满足的最大整数 的值为99. 第 46 课时 数列中的综合问题 方法总结 求解数列与函数、不等式的综合问题，关键在于通过函数关系 寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前<m></m>项和公式，再利 用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等 式的证明. 第 46 课时 数列中的综合问题 1.已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列 是 等差数列， ，则 的值( ). A A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负 练习 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 因为函数是 上的奇函数且是严格增函数， 所以，且当时，，当时， . 因为数列是等差数列，，所以 . 由，得 ， 则，所以 . 同理，可得，， ， 故 . 故选A. 第 46 课时 数列中的综合问题 2.若不等式对于任意的正整数 恒成立，则实 数 的取值范围是( ). D A. B. C. D.， 解析 当为正奇数时， ， 即 恒成立. 因为，所以 ， 所以 ， 第 46 课时 数列中的综合问题 所以 . 当为正偶数时， 恒成立. 因为，所以 ， 所以，所以 . 综上所述， ， 即实数的取值范围是， . 故选D. 第 46 课时 数列中的综合问题 考点三 数学文化与数列的实际应用 例4 （2022·新高考Ⅱ卷）图1是中国古代建筑中的举架结构, , , , 是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是 某古代建筑屋顶截面的示意图,其中,,,是举,, , , 是相等的步,相邻桁的举和步的比值分别为, , ,.已知,,成公差为0.1的等差数列,且直线 的 斜率为,则 ( ). 第 46 课时 数列中的综合问题 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 √ 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 设,则, , , 依题意,有, , 且 , 所以,解得 .故选D. 第 46 课时 数列中的综合问题 方法总结 数列在实际应用中的常见模型 等差模 型 如果增加（或减少）的量是一个固定的数,那么该模型是等 差模型,这个固定的数就是公差 等比模 型 如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的非零常数,那 么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比 递推数 列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化 而变化,那么应考虑考查的是第项与第项 （或者相邻三项等）之间的递推关系还是前项和 与前 项和 之间的递推关系 第 46 课时 数列中的综合问题 （2023·北京卷节选）已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构 成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比 数列，且,,，则____，数列 所有项 的和为_____. 48 384 练习 第 46 课时 数列中的综合问题 解析 设前3项的公差为，后7项的公比为且 ， 则，可得 ， 则，即，可得 ， 故, ， 故 . 第 46 课时 数列中的综合问题 $$