第 45 课时 数列求和（二） 课件-2026届高三数学一轮复习

第 45 课时 数列求和（二） 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法. 第 45 课时 数列求和（二） 2 必备知识·逐点梳理 3 一、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比 数列的前 项和公式就是用此法推导的. 第 45 课时 数列求和（二） 4 二、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和. 第 45 课时 数列求和（二） 5 提醒 常用的裂项公式： （1） ； （2） ； （3） ; （4） ; （5） . 第 45 课时 数列求和（二） 6 关键考点·核心突破 7 考点一 错位相减法求和 例1.改编题 （北师大选修②PT改编）设等差数列 的 公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知 ， ，， . （1）求数列， 的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和 . 第 45 课时 数列求和（二） 8 解析 （1）设，由题意可得 解得或 当时，， ； 当时，， . 第 45 课时 数列求和（二） 9 （2）当时，由（1）知 ， ， ， ， ， ， . 第 45 课时 数列求和（二） 方法总结 错位相减法求和的步骤 设<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>,其中数列<m></m>是公差为<m></m>的等差数列, 数列<m></m>是公比为<m></m>的等比数列，则错位相减法求和的步骤 如下： 因为<m></m>, 所以<m></m>. 两式相减，得 第 45 课时 数列求和（二） 11 <m></m>, 令<m></m>,则<m></m>. 第 45 课时 数列求和（二） （2024·全国甲卷）记为数列的前项和，且 . （1）求 的通项公式； （2）设，求数列的前项和 . 练习 第 45 课时 数列求和（二） 13 解析 （1）当时，，解得 . 当时， ，所以 ,即 ， 而，故，故 ， 所以数列是以4为首项， 为公比的等比数列， 所以 . （2）因为 , 第 45 课时 数列求和（二） 14 所以 ， ， 所以 ， 所以 . 第 45 课时 数列求和（二） 考点二 裂项相消法求和 例2.改编题 （湘教选修①PT改编）已知等比数列 的 各项均为正数，且, . （1）求数列 的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 第 45 课时 数列求和（二） 16 解析 （1）设数列的公比为,由得 ,所以 . 由条件可知，,故 . 由，得,所以 . 故数列的通项公式为 . 第 45 课时 数列求和（二） 17 （2） ， 故 . 因为 ， 所以数列的前项和为 . 第 45 课时 数列求和（二） 方法总结 裂项相消法的原则及规律 （1）裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发 现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩 第几项，后面就剩倒数第几项. 第 45 课时 数列求和（二） 19 （2022·新高考Ⅰ卷）记为数列的前项和，已知, 是 公差为 的等差数列. （1）求 的通项公式. （2）证明： . 练习 第 45 课时 数列求和（二） 20 解析 （1），, , 又是公差为的等差数列， , , 当时， ， , 整理得,即 , ， 第 45 课时 数列求和（二） 21 显然对于 也成立， 的通项公式为 . （2） , . 第 45 课时 数列求和（二） $$