第 41 课时 等差数列 课件-2026届高三数学一轮复习

第 41 课时 等差数列 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1.理解等差数列的概 念，并掌握其通项公 式与前 项和公式. 2.能在具体的问题情境中 发现数列的等差关系,并 解决相应的问题. 3.体会等差数列的 通项公式与一元 一次函数的关系. 第 41 课时 等差数列 必备知识·逐点梳理 一、等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 ____________,那么这个数列就叫作等差数列,即 ,为常数 通项 公式 设是首项为,公差为的等差数列,则通项公式为 _____________ 同一个常数 第 41 课时 等差数列 等差 中项 由,, 三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数 列.这时,___叫作与 的等差中项.根据等差数列的定义可以 知道, ______ 前 项和 已知,,，则；已知,,，则 _ _____________ 续表 第 41 课时 等差数列 （1）若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列.( ) × （2）数列为等差数列的充要条件是对任意 ,都有 .( ) √ （3）数列为等差数列的充要条件是其通项公式是关于 的一次 函数.( ) × （4）数列为等差数列的充要条件是其前项和是关于 的二 次函数.( ) × 判断 第 41 课时 等差数列 提醒 （1）已知数列的通项公式是（其中， 为常 数），则数列一定是等差数列，且公差为 . （2）等差数列的前项和公式可变形为 .当 时,它是关于的二次函数,表示为,为常数 ， 这里公差 . （3）等差数列的单调性：当时,是递增数列;当 时,是递减数列;当时, 是常数列. （4）若,,则存在最大值;若,,则 存在最 小值. 第 41 课时 等差数列 二、等差数列的性质 1.通项公式的推广：__________ . 2.若为等差数列,且 ,则___________ _______. 3.若是等差数列,公差为,则,,, 是公 差为____的等差数列. 第 41 课时 等差数列 4.若为等差数列的前项和,则数列,,, 也是等差数列. 5.若,是等差数列,则 也是等差数列. 6.若是等差数列,则也成等差数列,其首项与 的首项相同, 其公差是的公差的 . 第 41 课时 等差数列 提醒 （1）在等差数列中，①若项数为,则 , ； ②若项数为,则,, , . （2）两个等差数列,的前项和, 之间的关系为 （其中, ）. 第 41 课时 等差数列 关键考点·核心突破 考点一 等差数列的基本量运算 题组1.改编题 （苏教选修①PT改编）已知等差数列 ， 其前项和为 . （1）若，，求 ； （2）若，求 ； （3）若，，求 ； （4）若，，，求 . 第 41 课时 等差数列 解析 （1）设等差数列的公差为 ， 则解得 所以 . （2）由，且 ， 得 . 第 41 课时 等差数列 （3）由题意知，，且 ， 则 . 设等差数列的公差为，则 ，可得 ， 所以 . （4）由，且， ， 得，可得 . 第 41 课时 等差数列 题组2（1）（2024·全国甲卷）已知等差数列的前项和为 ， 若，则 ( ). D A. B. C.1 D. 解析 设等差数列的公差为 ,根据等差数列的求和公式，得 ，即 ， 故 .故 选D. 第 41 课时 等差数列 （2）（2023·全国甲卷）记为等差数列的前 项和，若 ,,则 ( ). C A.25 B.22 C.20 D.15 解析 在等差数列中,,所以 . 又,所以 , 则, ,则 .故选C. 第 41 课时 等差数列 （3）（2024·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前 项和，若 ，，则 ____. 95 解析 因为数列 为等差数列，所以由题意得 解得 则 . 第 41 课时 等差数列 （4）（2022·全国乙卷）记为等差数列的前 项和，若 ,则公差___ 2 解析 因为,所以 ,化 简得,解得 . 第 41 课时 等差数列 方法总结 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差<m></m>或项数<m></m>在求解时,一般要运用方程思想. （2）求通项：<m></m>和<m></m>是等差数列的两个基本元素. （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质 求解. （4）求前<m></m>项和：利用等差数列的前<m></m>项和公式直接求解或利 用等差中项间接求解. 第 41 课时 等差数列 考点二 等差数列的判定与证明 例1.改编题 （人A选修②PT改编）已知 是等差数列 的前项和，证明: 是等差数列. 第 41 课时 等差数列 解析 设等差数列的首项为,公差为 . 因为,所以 , 所以 , 所以是以为首项, 为公差的等差数列. 第 41 课时 等差数列 例2 （2023·新高考Ⅰ卷）记为数列的前项和,设甲： 为等 差数列，乙： 为等差数列,则( ). C A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 第 41 课时 等差数列 解析 因为为等差数列,设其首项为,公差为 ,则 , 所以 ,所以 , 因此 为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之, 为等差数列, 第 41 课时 等差数列 即为常数,设为,即 , 则 , 则 , 两式相减,得 , 即,当 时也成立. 因此 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 故甲是乙的充要条件. 故选C. 第 41 课时 等差数列 方法总结 等差数列的判定方法 （1）定义法：对于数列<m></m>，<m></m>为同一 常数<m></m>是等差数列. （2）等差中项法：对于数列<m></m>, <m></m>成立<m></m>是等差数列. （3）通项公式法：<m></m>，<m></m>为常数<m></m>对任意的正整数 <m></m>都成立<m></m>是等差数列. 第 41 课时 等差数列 （4）前项和公式法：，为常数 对任意的 正整数都成立 是等差数列. 第 41 课时 等差数列 记为数列的前项和，为数列的前 项积. （1）若，，且数列{ }是等差数列，证明：数列 是等差数列. （2）若，证明：数列 是等差数列. 练习 第 41 课时 等差数列 解析 （1）设数列{}的公差为为常数 . 是等差数列， 当时， ， ， ， . ① 当时， ， ② 由①②得， ， ③ 经检验，当时，也满足③，， ， 第 41 课时 等差数列 当时， （常数）， 是等差数列. （2）由已知条件得， , ④ 则 . ⑤ 由④⑤得， . ⑥ 又 ， ⑦ 由⑥⑦得， . 令，由，得， 数列是以为首项， 为公差 的等差数列. 第 41 课时 等差数列 考点三 等差数列性质的应用 热点考情:等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查 等差数列知识的过程中无处不在,涉及条件的转化、式子的变形、数 值的运算等. 第 41 课时 等差数列 考向1 项的性质 例3（1）（2024·全国甲卷）记为等差数列的前 项和，已知 ，，则 ( ). B A. B. C. D. 解析 由，得 ， 则等差数列的公差 ， 故 .故选B. 第 41 课时 等差数列 （2）（多选题）若数列为等差数列，为其前 项和，若 , ，则下列说法正确的是( ). AC A.公差 B. C.的最大值为 D.使的最小正整数 为16 第 41 课时 等差数列 解析 因为,,所以 , 即,则 ，故A正确. ，故B错误. 由,得,则 . 因为,,所以数列为递减数列，且当时， , 当时，,所以的最大值为 ,故C正确. , 令,解得,所以使的 的最小值为17.故D错误.故选 . 第 41 课时 等差数列 考向2 和的性质 例4（1）设等差数列的前项和为,若, ,则 ( ). B A.63 B.45 C.36 D.27 解析 由是等差数列,得,, 为等差数列,即 ,得到 .故选B. 第 41 课时 等差数列 （2）设等差数列，的前项和分别是，.若 ， 则___;若，则 ___. 解析 因为等差数列，的前项和分别是， ，所以若 ，则 ；若 ，则 . 第 41 课时 等差数列 方法总结 等差数列的性质问题的求解策略 （1）抓关系:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系， 从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解. （2）用性质:数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质， 如单调性、周期性等，可利用函数的性质求解. 第 41 课时 等差数列 1.（多选题）（2025·四川成都高三模拟）已知等差数列的前 项和为,，且 ，则下列说法正确的是( ). AD A.当或时， 取得最大值 B. C.使成立的 的最大值为20 D. 练习 第 41 课时 等差数列 解析 因为，所以 ， 又数列为等差数列，所以 ， 可得，即 . 由，可知当时，；当时， . 对于A，由可知，所以当或时， 取得 最大值，故A正确. 对于B， ，故B错误. 第 41 课时 等差数列 对于C，由的符号可知,当时， 单调递增，则 ； 当时，单调递减，且，则当时， ， 当时， . 故使成立的 的最小值为20，故C错误. 对于D，因为,，所以 ，故D正确. 故选 . 第 41 课时 等差数列 2.（2025·河北衡水高三模拟）已知数列， 均为等差数列， 其前项和分别为，，满足 ，则 ( ). A A.2 B.3 C.5 D.6 解析 因为数列, 均为等差数列，所以 ，且 . 由，可得 . 因此 .故选A. 第 41 课时 等差数列 3.设是等差数列的前项和，若，则 ( ). A A. B. C. D. 解析 由等差数列的性质可知，，，， 成等 差数列. ，即， ， ， ， ，， .故选A. 第 41 课时 等差数列 $$