22.3 实际问题与二次函数课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 实际问题与二次函数 　——利润最大问题 栏目导航 要点概览 探究新知 最大利润问题中常见数量关系 (1)利润=售价-　 　.  (2)销售利润=销售总额-　 　=每件利润×　 　.  要点概览 进价 总成本 销售量 探究新知 探究点　利润问题 【例1】 (2024绵阳)随着国家乡村振兴政策的推进,某村农副产品越来越丰富.为增加该村村民收入,计划定价销售某土特产,他们把该土特产(每袋成本10元)进行4天试销售,日销量y(袋)和每袋售价x(元)记录如下: 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 4 若试销售和正常销售期间,日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同,解决下列问题: (1)求日销量y关于每袋售价x的函数解析式. 5 (2)请你帮村民设计,每袋售价定为多少元,才能使这种土特产每日销售的利润最大?并求出最大利润(利润=销售额-成本). 解:(2)依题意,设利润为w元. 得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400, 配方,得w=-(x-25)2+225, ∵-1<0,∴当x=25时,w取得最大值,最大值为225. 故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元. 6 解题的关键是要明确利润的意义,根据“每袋利润×日销量=总利润”建立解析式,在求最大值时要注意自变量的取值范围. 7 【例2】 某商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出 500 kg.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20 kg,设每千克涨价x元,总利润为W元. (1)求出W与x的函数关系式. 解:(1)W=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5 000. 8 (2)当每千克涨价多少元时,每天的盈利最多?最多是多少元? 解:(2)W=-20x2+300x+5 000=-20(x-7.5)2+6 125, ∵a=-20<0, ∴当x=7.5时,W最大值=6 125. 答:当每千克涨价7.5元时,每天的盈利最多,最多是6 125元. 9 10 【新知巩固】 1.已知某种产品的成本价为30元/kg,经市场调查发现,该产品每天的销售量y(kg)与销售价x(元/kg)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为( ) A.w=(x-30)(-2x+80) B.w=x(-2x+80) C.w=30(-2x+80) D.w=x(-2x+50) A 2.(2025鞍山)网络销售已经成为一种热门的销售方式,某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1 kg需向网络平台支付2元的相关费用,经过一段时间的直播销售发现,每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x的函数解析式. (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时,销售这种荔枝日获利最 大,最大利润为多少元? 解:(2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时,销售这种荔枝日获利为w元, 根据题意,得w=(x-6-2)(-100x+3 000)=-100x2+3 800x-24 000= -100(x-19)2+12 100, ∵a=-100<0,对称轴为直线x=19,销售价格不高于18元/kg, ∴当x=18时,w有最大值为12 000元. ∴当销售单价定为18元时,销售这种荔枝日获利最大,最大利润为 12 000元. 3.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨 1元,就会少售出10件玩具,若销售单价不得超过40元,超市要获得最大利润,则销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 解:设销售单价应定为x元,总利润为W元, 根据题意,可得 W=(x-20)[400-10(x-30)]=-10x2+900x-14 000=-10(x-45)2+6 250. ∵a=-10<0,∴当x≤40时,W随x的增大而增大. ∴x=40时利润最大.此时W最大值=-10(40-45)2+6 250=6 000. 故销售单价应定为40元,最大利润为 6 000 元. 谢谢观赏！ 16 解:(1)依题意,根据表格的数据,设日销量y(袋)与每袋售价x(元)的函数解析式为 y=kx+b,得 解得 故日销量y(袋)与每袋售价x(元)的函数解析式为y=-x+40. 求解最大利润问题时,要熟练掌握以下几个常见的数量关系:利润=售价-成本,总利润=每件商品的利润×销售量,利润率=×100%. 解:(1)设每日销售量y(kg)与销售价格 x(元/kg) 之间满足的一次函数关系为y=kx+b, ∴解得 ∴y与x的函数解析式为y=-100x+3 000. $$