第24章 解直角三角形 单元提优卷 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第24章 解直角三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆如图，它的影长五寸备注：丈尺，尺寸，问竹竿长多少？若设竹竿长尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：． 根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 2.用刻度尺单位：测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，，对应的刻度为和，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意得：， ，为边的中点， ， 故选：． 根据题意可得：，然后根据直角三角形斜边的中线性质进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解． 3.在中，，点在边上，，  (    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D  【解析】解：在中，，，， ， 如图，若，则是的平分线， ， ，故A选项错误； 如图，若时， ， ， ， ，此时，故选项B，C错误，选项D正确， 故选：． 由勾股定理求出的长，若，则是的平分线，由可知；若时，证明，可得，进而可得答案． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 4.如图，在中，，，则为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.如图，在中，，为边上的中线若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：为边上的中线，， ， 在中，，， ， ， 故选：． 先利用三角形的中线定义可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6.如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则、两港之间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径、画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，分别交，于点，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】利用勾股定理求出，再根据，解决问题即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ． 故选：． 8.如图，在正方形网格中，点，，为网格格点，，垂足为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 先由勾股定理求出，得到，再证明，即可得到的值． 此题考查了勾股定理，掌握求角的正弦值是解题的关键． 9.如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：作交的延长线于， 四边形为矩形，，， ，矩形的对边相等， ，， ，， ， ， ， ∽， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 作交的延长线于，由矩形的性质可得，，证明∽，得出，从而可得，设，则，，，再由勾股定理计算即可得解． 题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，利用相似是解题的关键． 10.如图，正方形中，以为边向正方形内部作等边连接，连接交于，下列结论：；的面积：的面积：，其中正确的结论有个． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： 为等边三角形 ， 四边形为正方形 在和中， ≌ 故正确 由知 由知， 故正确 过点作交于，如图 设，则， 则在中， 则 故正确 如图过点作交于，过作交于，得 由知， 故正确 故选：． 利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可 由可得到的度数，再利用正方形的性质即可得，即可判定 可利用含的直角三角形的性质即可分别求出，再与作比较即可 两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含的直角三角形的性质． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，身高的小华站在距路灯杆的点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______．   【答案】  【解析】解：，是的中点，， ， ， ． 点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为． 13.在如图所示的网格中，每个小正方的边长均为，点，，，都在格点上，且，相交于点，则 ______． 【答案】  【解析】解：如图，连接，，过点作于点， 在网格中可知， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 根据题意，得到，利用割补法求得的面积，从而求得该三角形的高，即可在中求出，从而得到结果． 本题考查了三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的计算是解题的关键． 14.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为______． 【答案】  【解析】解：在中，，， 则， ， ， 故答案为：． 根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 15.如图，在四边形中，，，，延长、交于点若，，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，和是两个边长不相等的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，与之间的函数关系如图所示，则的边长是          ． 【答案】  【解析】解：当点移动到点时，重叠部分的面积不再变化， 根据图象可知，， 过点作， 则为的高， 是等边三角形， ， ， ， ， 解得舍或， 当点移动到点时，重叠部分的面积开始变小， 根据图像可知， 的边长是， 故答案为． 在点到达之前，重叠部分的面积在增大，当点到达点以后，且点到达以前，重叠部分的面积不变，之后在到达之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出的长度为，的长度为，再根据的面积即可列出关于的方程，求出即可． 本题主要考查动点问题的函数图象，掌握函数图象与图形变化之间的关系是解题的关键． 18.如图，四边形中，，，，则的最小值为______． 【答案】  【解析】解：在上取一点，连接，使，连接． 则∽， ， ， ，，， ， 即的最小值为． 过点作于点． ， ， 设，则， 在中， 当时，取最小值． 故答案为：． 在上取一点，连接，使，连接则∽，由相似三角形的性质得，，，所以，即的最小值为过点作于点由，，设，则，在中，当时，取最小值． 本题考查了线段之和的最小值问题，正确利用已知条件构造相似三角形、利用勾股定理、利用二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知：如图，，垂足为，的中线的反向延长线交于点，． 求证：是的高线． 若是的中线，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)略  (2)是等腰直角三角形，理由略  【解析】 略  略 20.本小题分 如图，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在山海经中就有出现过，被叫做为虔池为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点，测得，，，请根据这些数据求河的宽度． 【答案】解：由题意得，，，，，， ， ，， ∽， ，即， ， 解得， 答：的长为．  【解析】先根据题意得出∽，再由三角形的对应边成比例即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出∽是解题的关键． 21.本小题分 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、，，是格点仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． 在图中先作的角平分线，得在上画点，使； 在图中，点是网格线上的点，先画出点关于点的对称点，再分别在边，上画点，，使经过点，且． 【答案】见解析；   见解析．  【解析】解：如图中，点、点即为所求． 证明：不妨设每个小正方形的边长为， 由作图可知：， ， 由作图可知：与互相平分，即是中点， 平分， 由作图可知：，，， ， 点、点即为所求； 解：如图中，点、线段即为所求． 证明：由作图可知：，，点关于点的对称点， 点是点关于点的对称点， 以、、、顶点四边形的平行四边形， 、是关于点的中心对称， 、是关于点的中心对称， ， 点、线段即为所求． 如图：取格点、，连接交于，连接即是的角平分线，取格点，连接，与网格线有一交点，连接交于点，连接，即； 连接并延长网格线点，则，所以点关于点的对称点，连接并延长网格线于点，则，连接交于点，连接并延长交于点，则即为所求． 本题主要考查作图应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、解直角三角形等知识点，理解题意、正确作出图形是解题的关键． 22.本小题分 如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，． 求的度数； 求漫步机的高度点到的距离． 参考数据：，，，，，，结果精确到 【答案】解：在中， ，， ； 过点作的平行线， ， ， ， ， 分别过点，作于，于， ，，，， ， ， 漫步机的高度为．  【解析】利用三角形内角和定理计算即可求解； 过点作的平行线，过点，作于，于，解直角三角形和直角三角形即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 23.本小题分 如图，在中，． 尺规作图：求作点，使得；不写作法，保留痕迹 在的条件下，若，，则 __． 【答案】解：如图，点为所作； ； 交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ∽， ， 设，则， ∽， ， 即， 解得， ． 故答案为：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于如图，则，，即，，于是，即同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素至少有一条边，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． 如图，中，，，，则          ；   如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上如图，求此时货轮距灯塔的距离． 在的条件下，试求的正弦值．结果保留根号 【答案】(1)20  (2)解：由题意得，∠ACB=60°，∠ABC=75°，BC=60×=30海里， ∴∠BAC=45°， ∵=， ∴=， ∴AB=15， 答货轮距灯塔A的距离AB=15；  (3)解：如图，过B作BD⊥AC于D， ​ ∵∠ACB=60°，BC=30， ∴CD=BC=15，BD=15， ∵∠CAB=45°， ∴AD=BD=15， ∴AC=AD+CD=15+15， ∵=， ∴=， ∴sin75°=．  【解析】 解：，， ， ， ，  由题意得到，，海里，根据正弦定理即可得到结论  过作于，解直角三角形得到，根据正弦定理即可得到结论． 25.本小题分 如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点． 求证：； 连接，若，，求的长． 【答案】【小问详解】 证明：由折叠的性质得， ， ， ， 过作于，如图所示： 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 【小问详解】 解：过作，交的延长线于，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：，即，解得或舍去， ，， ， ， ．   【解析】【分析】由折叠的性质得到，过作于，证，得，即可得出结论； 过作，交的延长线于，由折叠的性质得，，再证出，则，设，则，，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 26.本小题分 如图，在中，，为边上的高，点在线段上，连接交于点． 若平分． 求证：． 如图，过作交于，，求的值． 如图，，，过作交于当时，直接写出、满足的数量关系为______． 【答案】证明：如图中， ， ， ， ，， ， 平分， ， ，， ， ． 解：如图中，作于． ，， ， ，， ， ，设，，则， ，， ， ， ， ， ， ． 解：如图中，作于，于． ，，， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， 可以假设，则， ，， ∽， ． 故答案为：．  【解析】欲证明，只要证明即可． 如图中，作于证明，推出，设，，则，想办法求出即可解决问题． 如图中，作于，于首先证明≌，推出，由，可以假设，则，再证明∽，推出，即可得出结论． 本题考查相似三角形综合题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 第 24 章 解直角三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆 (如图)，它的影长五寸(备注：1 丈= 10 尺，1 尺= 10 寸)，问竹竿长多少？若设竹竿长�尺，则可列方程为 ( ) A. �15 = 0.5 1.5 B. � 15 = 1.5 0.5 C. � 1.5 = 0.5 15 D. � 0.5 = 15 1.5 2.用刻度尺(单位：��)测量某三角形部件的尺寸，如图，∠��� = 90°，�为边��的中点，�，�对应的刻度 为 1 和 6，则��的长为( ) A. 3.5�� B. 2.5�� C. 2�� D. 1.5�� 3.在�� △ ���中，∠� = 90°，点�在边��上，�� = 3，�� = 4 ( ) A.若∠��� = 45°，则�� = 52 B.若∠��� = ∠�，则�� = 5 2 C.若∠��� = 45°，则�� = 125 D.若∠��� = ∠�，则�� = 12 5 4.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，�� = 3��，则 sin�为 ( ) A. 13 B. 2 4 C. 10 10 D. 3 10 10 5.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，��为��边上的中线.若�� = 3，�� = 2，则����的值为( ) A. 34 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） 6.如图，一艘船由�港沿北偏东 65∘方向航行 30 2��至�港，然后再沿北偏西 40∘ 方向航行至�港，�港在�港北偏东 20∘方向，则�、�两港之间的距离为( ) A. 30 + 30 3 �� B. 30 + 10 3 �� C. 10 + 30 3 �� D. 30 3�� 第 2页，共 7页 7.如图，在▵���中，�� = 5，�� = 12，∠��� = 90 ∘，以点�为圆心，��长为半径、画弧，与��交于点�， 再分别以�，�为圆心，大于12��的长为半径画弧，两弧交于点�，�.作直线��，分别交��，��于点�，�， 则��的长度为( ) A. 133 B. 13 4 C. 13 5 D. 13 6 8.如图，在 4 × 4 正方形网格中，点�，�，�为网格格点，�� ⊥ ��，垂足为�，则 sin∠���的值为( ) A. 12 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 9.如图，在矩形����中，�� = 8，�� = 4，�� △ ���的顶点�在边��上，且∠��� = 90°，tan∠��� = 12， �� = 5，则��的长为( ) A. 2 B. 2 5 C. 1 D. 52 10.如图，正方形����中，以��为边向正方形内部作等边△ ���.连接��. ��，连接��交��于�，下列结论： ①∠��� = 150°② △ ���～ △ ���；③tan∠��� = ����④ △ ���的面积：△ ���的面积( 3 + 1)：2，其中 正确的结论有(    )个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 （第 7 题） （第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，身高 1.6 �的小华站在距路灯杆 5 �的�点处，测得她在灯光下的影长��为 2.5 �，则路灯的高度 ��为 ． 第 3页，共 7页 12.如图，在△ ���中，�� = 8，点�、�分别是边��、��的中点，点�是线段��上的一点且�� = 2，连接��、 ��，若∠��� = 90°，则线段��的长为______． 13.在如图所示的网格中，每个小正方的边长均为 1，点�，�，�，�都在格点上，且��，��相交于点�， 则 sin∠��� = ______． 14.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力�的方向竖直向下，支持力�1的方向与斜面垂直， 摩擦力�2的方向与斜面平行.若斜面的坡角� = 35°，则摩擦力�2与重力�方向的夹角�的度数为______． 15.如图，在四边形����中，�� = ��，∠��� = ∠���，tan∠��� = 43，延长��、��交于点�.若�� = 11 4， �� = 3��，则线段��的长为 ． （第 12 题） （第 13 题） （第 14 题） （第 15 题） 16.如图，在平面直角坐标系���中，射线��与�轴正半轴的夹角为�，如果�� = 5，tan� = 2，那么点� 的坐标是 ． 17.如图(1)，△ ���和△ �′�′�′是两个边长不相等的等边三角形，点�′、�′、�、�都在直线�上，△ ��� 固定不动，将△ �′�′�′在直线�上自左向右平移．开始时，点�′与点�重合，当点�′移动到与点�重合 时停止．设△ �′�′�′移动的距离为�，两个三角形重叠部分的面积为�，�与�之间的函数关系如图(2)所 示，则△ ���的边长是 ． （第 16 题） （第 17 题） （第 18 题） 18.如图，四边形����中，tan∠��� = 12，�� = 9，�� = 3，则�� + 1 3��的最小值为______． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 4页，共 7页 19.(本小题 8 分)已知：如图，�� ⊥ ��，垂足为�，△ ���的中线��的反向延长线 交��于点�，∠� = ∠�． (1)求证：��是△ ���的高线． (2)若��是△ ���的中线，判断△ ���的形状，并说明理由． 20.(本小题 8 分)如图 1，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达 到了 2.73 万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现 过，被叫做为虔池.为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标�，在近岸取点�和�，使点�、�、� 共线且与河垂直，接着在过点�且与直线��垂直的直线上选择适当的点�，确定��与过点�且与��垂直的直 线交点�，测得�� = 50�，�� = 120�，�� = 80�，请根据这些数据求河的宽度��． 21.(本小题 8 分)如图是由小正方形组成的 6 × 6 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、�，�，�是格点. 仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图(1)中先作△ ���的角平分线��，得在��上画点�，使 tan∠��� = 23； (2)在图(2)中，点�是网格线上的点，先画出点�关于点�的对称点�，再分别在边��，��上画点�，�，使�� 经过点�，且�� = ��． 第 5页，共 7页 22.(本小题 8 分)如图 1 是某校操场上的一种漫步机，图 2 是其侧面结构示意图，已知主支架��长为 120��， 且与水平地面基架��的夹角为 70°，前支架��与��所成的∠��� = 45°，扶手��长为 30��，∠��� = 135°． (1)求∠���的度数； (2)求漫步机的高度(点�到��的距离)． (参考数据：���70° ≈ 0.342，���70° ≈ 0.940，���70° ≈ 1.222，���25° ≈ 0.906，���25° ≈ 0.423，���25° ≈ 0.466，结果精确到 0.1��) 23.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，�� < ��． (1)尺规作图：求作点�，使得∠��� = ∠��� = ∠���；(不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，若�� = 8，tan∠��� = 34，则�� = __． 第 6页，共 7页 24.(本小题 8 分) 阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ ���中，∠�、∠�、∠�的对边分别是�、�、�， 过�作�� ⊥ ��于�(如图)，则���� = ��� ，���� = �� � ，即�� = �����，�� = �����，于是����� = �����， 即 � ���� = � ���� .同理有： � ���� = � ����， � ���� = � ����，所以 � ���� = � ���� = � ����． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条 边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． (1)如图，△ ���中，∠� = 75°，∠� = 45°，�� = 60，则�� = ； (2)如图，一货轮在�处测得灯塔�在货轮的北偏西 30°的方向上，随后货轮以 60 海里/时的速度按北偏东 30° 的方向航行，半小时后到达�处，此时又测得灯塔�在货轮的北偏西 75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔 �的距离��． (3)在(2)的条件下，试求 75°的正弦值．(结果保留根号) 第 7页，共 7页 25.(本小题 8 分)如图，在矩形����中，�� = 2��，�、�分别为��、��边上的动点，连接��，沿��将四 边形����翻折至四边形����，点�落在��上，��交��于点�，连接��交��于点�． (1)求证：�� = 2��； (2)连接��，若 cos∠��� = 45，�� = 2 10，求��的长． 26.(本小题 8 分)如图 1，在�� △ ���中，∠��� = 90°，��为��边上的高，点�在线段��上，连接��交�� 于�点． (1)若��平分∠���． ①求证：�� = ��． ②如图 2，过�作�� ⊥ ��交��于�，cos∠��� = 45，求 �� ��的值． (2)如图 3，�� = ���，�� = ���，过�作�� ⊥ ��交��于�.当�� = ��时，直接写出�、�满足的数量关系 为______． 第24章 解直角三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆如图，它的影长五寸备注：丈尺，尺寸，问竹竿长多少？若设竹竿长尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 2.用刻度尺单位：测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，，对应的刻度为和，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.在中，，点在边上，，  (    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.如图，在中，，，则为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，为边上的中线若，，则的值为(    ) A. B. C. D. （第2题） （第3题） （第4题） （第5题） 6.如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则、两港之间的距离为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径、画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，分别交，于点，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形网格中，点，，为网格格点，，垂足为，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形中，以为边向正方形内部作等边连接，连接交于，下列结论：；的面积：的面积：，其中正确的结论有个． A. B. C. D. （第7题） （第8题） （第9题） （第10题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，身高的小华站在距路灯杆的点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为          ． 12.如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______． 13.在如图所示的网格中，每个小正方的边长均为，点，，，都在格点上，且，相交于点，则 ______． 14.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为______． 15.如图，在四边形中，，，，延长、交于点若，，则线段的长为          ． （第12题） （第13题） （第14题） （第15题） 16.如图，在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是          ． 17.如图，和是两个边长不相等的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，与之间的函数关系如图所示，则的边长是          ． （第16题） （第17题） （第18题） 18.如图，四边形中，，，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分已知：如图，，垂足为，的中线的反向延长线交于点，． 求证：是的高线． 若是的中线，判断的形状，并说明理由． 20.本小题分如图，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在山海经中就有出现过，被叫做为虔池为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点，测得，，，请根据这些数据求河的宽度． 21.本小题分如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、，，是格点仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． 在图中先作的角平分线，得在上画点，使； 在图中，点是网格线上的点，先画出点关于点的对称点，再分别在边，上画点，，使经过点，且． 22.本小题分如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，． 求的度数； 求漫步机的高度点到的距离． 参考数据：，，，，，，结果精确到 23.本小题分 如图，在中，． 尺规作图：求作点，使得；不写作法，保留痕迹 在的条件下，若，，则 __． 24.本小题分 阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于如图，则，，即，，于是，即同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素至少有一条边，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． 如图，中，，，，则          ；   如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上如图，求此时货轮距灯塔的距离． 在的条件下，试求的正弦值．结果保留根号 25.本小题分如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点． 求证：； 连接，若，，求的长． 26.本小题分如图，在中，，为边上的高，点在线段上，连接交于点． 若平分． 求证：． 如图，过作交于，，求的值． 如图，，，过作交于当时，直接写出、满足的数量关系为______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$