22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 栏目导航 要点概览 探究新知 二次函数y=ax2+k的图象和性质 要点概览 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 　 　  增减性 当x>0时,y随x的增大而 　 　;当x<0时,y随x的增大而　 　  当x>0时,y随x的增大而　 　;当x<0时,y随x的增大而　 　  最值 当x=0时,y最小=　 　  当x=0时,y最大=　 　  (0,k) 增大 减小 减小 增大 k k 探究新知 探究点一　二次函数y=ax2+k的图象的平移 【例1】 如图所示,抛物线y=ax2+c经过点 A(0,2)、点B(-1,0). (1)求此抛物线对应的函数解析式; 5 解:(2)由(1)可求得抛物线对应的函数解析式为y=-2x2+2. ∴抛物线y=ax2对应的函数解析式为 y=-2x2. ∴抛物线y=ax2+c向下平移2个单位长度可以得到抛物线y=ax2. (2)求抛物线y=ax2+c经过怎样的平移可以得到抛物线y=ax2. 6 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象关系 抛物线y=ax2+k与y=ax2的大小形状完全相同,只是位置发生了上下平移.即抛物线y= ax2+k可由抛物线y=ax2平移得到,当k>0时,向上平移k个单位长度;当k<0时,向下平移|k|个单位长度.即“上加下减”. 7 1.将抛物线y=x2+1向下平移5个单位长度,所得抛物线的解析式是 　      　. 【新知巩固】 2.能否适当地上下平移函数y=- x2的图象,使得到的新图象过点(3,-18)?若能,说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由. y=x2-4 探究点二　二次函数y=ax2+k的图象和性质 【例2】 已知二次函数y=ax2-2的图象经过点(-1,-1). (1)求二次函数的解析式. (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. 解:(1)把(-1,-1)代入y=ax2-2, 得a-2=-1,解得a=1. ∴二次函数的解析式为y=x2-2. (2)抛物线的开口向上,顶点坐标为 (0,-2),对称轴为y轴. (3)求函数的最大值或最小值. (4)当x取何值时,y随x的增大而减小? 解:(3)∵a=1>0, ∴当x=0时,函数的最小值是-2. (4)∵a=1>0, ∴在对称轴的左侧,即x<0时,y随x的增大而减小. 当a>0时,函数y=ax2+k有最小值k,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大(左降右升);当a<0时,函数y=ax2+k有最大值k,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小(左升右降). 【新知巩固】 3.已知点A(-2,y1),点B(1,y2)在抛物线 y=3x2-2上,则y1,y2的大小关系是:y1　 　y2(选填“>”或“<”).  > 4.已知二次函数y=-x2-2,不画图象,回答下列问题. (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)当x取何值时,y有最大(小)值?最值是多少? (3)当x取何值时,y随x的增大而减小? 解:(1)开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-2). 4.已知二次函数y=- x2-2,不画图象,回答下列问题. (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)当x取何值时,y有最大(小)值?最值是多少? (3)当x取何值时,y随x的增大而减小? 解:(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-3x2的形状相同,∴a=±3. ∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-3x2的形状相同,且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为2,∴n=±2. 当a=3,n=-2和a=-3,n=2不符合题意.即a=3,n=2或a=-3,n=-2. 5.已知抛物线y=ax2+n(an>0)与抛物线 y=-3x2的形状相同,且图象上离x轴最近的点到x轴的距离为2. (1)求a,n的值; (2)指出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解:(2)当a=3时,抛物线为y=3x2, 开口向上,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0); 当a=-3时,抛物线为y=-3x2, 开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0). 谢谢观赏！ 16 解:(1)∵抛物线y=ax2+c经过点 A(0,2) 和点 B(-1,0). ∴解得 ∴此抛物线对应的函数解析式为y=-2x2+2. 解:能,向下平移6个单位长度.设平移后函数解析式为y=-x2+b, 将x=3,y=-18代入,得b=-6.故平移后的函数解析式为y=-x2-6. ∴需要把y=-x2的图象向下平移6个单位长度. (2)∵a=-<0,∴当x=0时,y有最大值,是-2. (3)∵-<0,∴在对称轴右侧,即当x>0时,y随x的增大而减小. $$第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 栏目导航 要点概览 探究新知 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 要点概览 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线　 　  顶点坐标 　 　  增减性 当x>h时,y随x的增大而 　 　;当x<h时,y随x的增大而　 　  当x>h时,y随x的增大而　 　;当x<h时,y随x的增大而　 　  最值 当x=h时,y最小=　 　  当x=h时,y最大=　 　  x=h (h,0) 增大 减小 减小 增大 0 0 探究新知 探究点一　二次函数y=a(x-h)2的图象的平移 5 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象关系 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的大小形状完全相同,只是位置发生了左右平移.即抛物线 y=a(x-h)2 可由抛物线y=ax2平移得到,当 h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移 |h| 个单位长度,即“左加右减”. 6 【新知巩固】 1.(2023张家口期中)在坐标系中,若使抛物线y=(x+2)2平移后经过原点O,则平移的方式可能是( ) A.向上平移2个单位长度 B.向下平移2个单位长度 C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度 D 3.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移3个单位长度后,得到抛物线y=2(x+ 1)2,求a,h的值. 解:∵抛物线y=a(x-h)2向右平移3个单位长度, ∴得到的抛物线解析式为y=a(x-h-3)2=2(x+1)2,即a=2. 又x-h-3=x+1,∴h=-4. 综上所述,a=2,h=-4. 4.已知抛物线y=2x2-8.将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,求m的值. 解:抛物线y=2x2-8向右平移m(m>0)个单位长度后的解析式为y=2(x-m)2-8, ∵平移后所得新抛物线经过坐标原点, 把(0,0)代入,得2m2-8=0, 解得m=±2. ∵m>0,∴m的值为2. 探究点二　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【例2】 在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=2x2,y=2(x+1)2, y=2(x-1)2的图象. (1)写出三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解:图象如图所示. (1) 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 向上 y轴 (0,0) y=2(x+1)2 向上 直线x=-1 (-1,0) y=2(x-1)2 向上 直线x=1 (1,0) (2)写出三个函数图象的相同点与不同点. (3)当x取何值时,这三条抛物线的y值都随x的增大而增大? 解:(2)相同点:它们的形状相同,开口方向相同,都开口向上.图象都有最低点. 不同点:对称轴不同,顶点坐标不同. (3)当x>1时,三条抛物线的y值都随x的增大而增大. 画二次函数图象的技巧 (1)确定开口方向、顶点坐标和对称轴; (2)画出对称轴一侧的图象; (3)根据对称性画出另一侧的图象. 【新知巩固】 D 1 0 x=-3 增大 解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值, ∴抛物线的解析式为y=a(x-2)2. ∵抛物线过点(1,-3), ∴-3=a(1-2)2,解得a=-3. ∴此抛物线的解析式为y=-3(x-2)2. 8.已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值,且抛物线过点(1,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)当x为何值时,y随x的增大而增大; (3)求抛物线与y轴的交点坐标. 解:(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线开口向下, ∴当x<2时,y随x的增大而增大. (3)当x=0时,y=-3(x-2)2=-12, ∴抛物线y=-3(x-2)2与y轴的交点坐标为(0,-12). 谢谢观赏！ 17 解:(1)抛物线y=-x2是由抛物线y=-(x-2)2向左平移2个单位长度得到的. 【例1】 已知抛物线y=-x2,y=-(x-2)2,y=-(x+3)2. (1)抛物线y=-x2是由y=-(x-2)2如何平移得到的? (2)抛物线y=-(x+3)2是由抛物线 y=-(x-2)2 如何平移得到的? (2)抛物线y=-(x+3)2是由抛物线 y=-(x-2)2 向左平移5个单位长度得到的. 2.(2023长春期中)将二次函数y=-(x+2)2的图象向左平移6个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为　 　. y=-(x+8)2 5.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A.y=(x-6)2 B.y=(x+6)2 C.y=-(x-6)2 D.y=-(x+6)2 6.已知二次函数y=2(x-1)2,当x=　 　时,y有最小值,最小值是　 　. 7.已知二次函数y=-(x+3)2,其图象的对称轴为直线　 　,当x<-3时,y随x的增大而　 　. $$