河南省周口市扶沟县高级中学2024-2025学年高三上学期第三次周测数学试题

扶沟高中2024-2025学年上期高三第三次周测 数学试题 2024.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{x|ax＝2，a∈N}，若A⊆N，则所有a的取值构成的集合为（　　） A．{1，2} B．{1} C．{0，1，2} D．N 2．复数z满足4z+3＝（3+i）z，则的虚部是（　　） A． B． C． D． 3．若，且tanα＝2tanβ，则sin（α+β）＝（　　） A． B． C． D． 4. 已知平面向量，，则下列说法不正确的是（　　） A．与共线的单位向量的坐标为或（，） B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为（，）或（，） D．若向量与向量垂直，则 5．在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的动点，若AD＝2DB，AE＝3EC， CD∩BE＝F，mn，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 6. 已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数 的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的 图象．若函数y＝f（x）为奇函数，则t的最小值是（　　） A． B． C． D． 7. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是 棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线 段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知a＞1，b＞0，若，则（　　） A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（　　） A．若sinA＞sinB，则a＞b B．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 C．若B＝30°，，c＝2，则符合条件的三角形有2个 D．若△ABC的面积，则 10．已知定义在(﹣∞，0)∪(0，+∞)上的函数f（x），满足f（xy）+2＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞2，则（　　） A．f（﹣1）＝1 B．f（x）为偶函数 C．f（2024）＞f（2023） D．若f（x+2）＜2，则﹣3＜x＜﹣1 11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，点P为线段A1G上的动点，则下列结论正确的是（　　） A．直线EF与A1G所成角的余弦值为 B．三棱锥P﹣AEF的体积为定值 C．平面AEF截正方体所得的截面周长为 D．直线AF与平面B1BCC1所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a＞0，b＞0，若命题：“存在x∈R，使得（x﹣a）（x+2b﹣1）＜0”为假命题，则的最小值为 　 　． 13． 已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆 心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在上， 且，则λ+μ的最大值为 　． 14． 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若b2﹣a2＝ac，则的取值范围为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （II）若函数h（x）＝f（x） t在上有两个不同的零点x1、x2，求实数t的取值范围，并计算tan（x1+x2）的值． 16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，PA＝PD，PB＝AB＝BD＝2． （I）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （II）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 17．（15分）已知函数f（x）＝ex（a+1）x． （I）讨论f（x）的单调性； （II）若f（x）＝ex（a+1）x≥b对于x∈R恒成立，求ba的最大值． 18．（17分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （I）若，求a； （II）点D是△ABC外一点，AC平分∠BAD，且，求△BCD的面积的取值范围． 19．（17分）当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由y＝3x，x∈R，得，通常用x表示自变量，则写成，我们称y＝3x，x∈R与互为反函数．已知函数f（x）与g（x）互为反函数，若A，B两点在曲线y＝f（x）上，C，D两点在曲线y＝g（x）上，以A，B，C，D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y＝x垂直，则我们称这个矩形为f（x）与g（x）的“关联矩形”． （I）若函数，且点在曲线y＝f（x）上． （ⅰ）求曲线y＝f（x）在点A处的切线方程； （ⅱ）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积． （II）若函数f（x）＝lnx，且f（x）与g（x）的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S．证明：．（参考数据：） 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$扶沟高中20242025学年上期高三第三次周测数学答案 123456于891 C DD C D B C D ACD BC ABC 8.解：当a=4时，Va+loga=b+logzb=4→b+logb-4=0, 函数g(x)=x+lgr-4是(0，+0)上的增函数， 因为g(2)g(4)=-1×2<0,因此b∈(2,4》→2be(4,8),显然0<2h, 因此迹项A不正确： 当a=16时，Va+1og20=b+l0gzbm8b+l0gzb-8■0， 函数h(x)=x+lgr-8是(0，+)上的增函数，因为h(4)g(8)=-2×3<0, 因此b∈(4,8)→2b∈(8,16)，最然a>2b,因此选项B不正确： 因为a>1,所以1og>0, 由ya+logza=√a+2lag2va>ya+lag2va→b+log2b>a+log2va 构造函数f()=xHHo吧￥(x>0),显然该函数单调递增， 由b+ogb>va+1ogva→f(b)>f(v同→b2va→b2>a, 因此迹项C不正确.达项D正确。故选：D. 二，多选愿（共3小题） 10.解：选项A,令xmy=1,则f(1)+2=f(1)f《1),即f(1》=2, 令x=y=-1,则f(1)+2=f(-1)f(-1),即f(-1)=2,故选项A错误 选项B,令y=-1,别f(-x)+2=f(x)+f(-1, 所以f(-x)+2=f(x)+2.即f(-x)=∫(x,所以f(x)是偶函数，即B正确： 达项C,设0<<，则皓>1，国为当>1时，f)≥2，所以f终)>2 由f()+2=f(x)+f(y),知f()-f(x)=f(y)-2 所以f6)-f)=/(-2>0.即f()>f(),所以f田在(0，+©) 土单调递增，因为2024>2023>0，所以f(2024)>f(2023),即选项C正确： 选项D,由选项B知，f(x)是偶函数，由选项C知，∫x)在(0，+o)上单调递增。 则f(x)在(-m,0)上单调递减。由于f(-1)=f(1)=2,若f(x+2)<2, 容案第1页 则叶2解得-3长<-1且法-2即选项D错误.故：C 11解：对于A,取B1C中点H,连接GH、A时、BC, 则由圈意可AH=A16=√AB2+BG, C1G=VB1+BG=V2+12=V2,且G诩MC∥EF, 所以∠AG讯是直线EF与AG所成角或补角： 且COSLA1GH=G46-4Y=写+2F=西 24:GG 2x6x2=0, 所以直线E即与G所戏角余弦值为西故A正确： 对于B,连接AD,FD 由正方体几何性质可如AB∥DC且AB=DC, 所以四边形ABCD1是平行四边形，故AD∥BC, 又C:∥EF,所以AD /EF,放AD与EF共面且过AD与F的雨有且只有一个， 故四边形ADFE是平面AEF截正方体所得的截面图形， 连接GF,划由G、P均为所在边的中点以及正方体性新得GF∥BC1∥AD,且GF= BC=AD,故AG∥DF,又DFC平面ADFE,AG年平面ADFE, 所以AG∥平面ADFE,故点P到平面AEF的距离即为G到平面AEF的距离， 所以VA=VaAr为定值，即三棱维P-AEF的体积为定值，故选项B正确： 对于C,由B可知平面AEF截正方体所得的截面图形为四边形ADFE, 又由上以及图意得AE=D,F=A1G=5,FE=VEC2+FC=V+1下=V2, AD =FE =2v2. 所以平面AEF载正方体所得的截面周长为AD1+DF+FE+AE=2V2+V5+V互+ D v5=3vW2+2v5,放C正确： 对于D,连接BF, 由正方体性质可知AB⊥平面B:CC, D 故∠AFB是直线AF与平面BBCC所成的角： 共4页 又AB=2,BF=VBC+FC=V2+平=5，所以AF=VAB+BF= 2 A(5..又因号+片+ 、hM+tn2-a+2cosA, 2245=3, 令=2c081,则f0)=t+2te(2,3) 所以stnzAFB=是-子做直线AF与平面BCC,所成角的正弦植 ,故D错. 根据对勾函数的性质，函数fc)=t+在(W2,V3)上单调递增， 故选：AC 所以f)∈（受，“）.则+的取值范国为（受，等）。 三，填空题（共3小题） 128 故答案为：(9,9)。 13,解：如图。以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线 四.解答题（共6小题） 为y轴建立平面直角坐标系，设P(cas6,inB),6∈[m,2x: 15.解：(Df()=4sm(x-)cos2(分)-sn2(+5=4m(x-cor+V 由题意：A(-1,2)B(-1,0,C(1,0),D(1,2), (stcox)o+=2inreogr-cncox 则AP=(cos8+1,sin0-2),AD=(2,0),AB=(0,-2) =2n(2r-. (3分) 由AP=AAD+ME,可得(cost1,n6-2)=元.(0，-2)p(2,0), ∴f(x)的周期T=π. (4分) 2 A= 由2-s2z-≤2孩m+(体eZ.特m-是≤x≤km+吕（∈Z,一(5分） (6分) 所t以+a-2"+-cos0-sm0+3)-v2cos0+月+3引 国数f)的单调递增区同为红-，kn+急，（∈Z). (D:函数h(x)=f(x)·上，六方程h(x)=0同解于f(x)= =44,(7分) 因为0e[x2,则6+e号，1 作出f(x)=2n(2-身在[0，]上的图象。如图所示，… (9分) 所以当0+片=2时，00+宁取得最大值1，期n的最大植为学放容案为： 由图象知，当且仅当∈[3,2)时， (11分) 14,解：在锐角△AC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b-=c: 耶b=ac+=d2+e2-2 accoeB,即a=c-2aeo8B. 方程fx)=1有两个不同的解和和且+-2×吕=号 由正弦定理品品-最2R可得，in4=i油C-2n4coB=imA+B》-2in4coaB ∴an6+o）=tm2s-t-月 4(13分》 =m(B-A), 16.解：(IDF明：设O是AD的中点，连结OP,OB. ,四边形ABCD是菱形，AB=D=2,.OB⊥AD,0B=3,...(1分) 所以A-BtH=2点或4+B-A=2元，keZ,文0<A<受0<B<令<A+B< 'PA=PD=V2,.OPLAD.OP=1,4n(2分》 Ae(0,) .PB=OPHOR4 24=B,2AE(0,.解得AE(g.AE(停，晋). .OPLOB,又OBnAD=O,且OB,ADc平面ABCD,.......(4分) 3Ae(经，m) .0PL平面ACD,又0P平面AD,《5分) 答案第2顶，共4页 .平面BAD上平面ABCD:. ..(6分) (I)由(I)得OB⊥AD,OP⊥QA,OP⊥OB, 以O为原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立如阁的空间直角坐 标系，则A(1,0,0),B(0.5.0),C(-2:5.oD(-1,0,0.P(00,1D, PA-1.0.-1AB-(-1,5.0)P0-(-2,3.-1,CD-(1,-5.0 ..(8分) 设=任1，y1,》是平面B的一个法向量， 8-。 m-AB=0 令-5，则m-〔5.1， 444(10分】 设i-(x,·)是平面PCD的一个法向量， 则iPC-0,即2-+五=0， .cD=0 x2-V3:=0 令为=1，则元=(W店，1，-V周，-(12分） a用品中 (14分) 平面HB与平面汇D的爽角的余弦值为号(15分) 17.解：(I)因为f(x)=g-(叶1)x所以f(x)=e-(叶1D.…(1分) 当a爸-1，广(x》>0,所以f(x)在R上单调递增。一(2分》 当a>-1,令f(x)>0.得x>b:(+1),令(x)<0,得x<m(t1), 所以f(x)在(-∞，加(a+1)1上单调运减， 在[b加(1)，十四)上单调运增。m(4分》 综上，当a≤-1时，fx)在R上为单增递增：当a>·1时，f(x)在(-m,(a1] 上单调递减，在i(1),+∞)上单调递增；………一(5分》 (I)由(1)知，当a<-1,f(x)在R上为单递增， 容案第3项 且x一-m,f(x)一-四，不合题意， (6分) 当a=-1,f(x)在R上单调逆增，且x一-∞，f(x)→0 所以b≤0，划b-a的最大值为1，an4tana(8分) 当a>·1,f(x)在(-o,加(a+1)1上单调递减，在n(1),+∞》上单调递增， 所以f(x)在x=前《叶1)处取得极小值，也是最小值，一…(9分) 因为f(加(a+1)-e产a-(+1)(at1)=(a+1)-(a+1)m(a+1), 由不等式g-(a+1)x≥b,可得〔+1)-(a+1)m(叶1)-b≥0，…(11分) 所以b-a≤1-(a+1》M(+1), 令F(x)=1-r(t>0),则F(x)=-b~1,(12分) 当0<x<时，F(x)>0,则F(x)在(0，)上单调递增， 当x>时，F”(x)<0,则F(x)在(，+m)上单翼遥减， 即Px)m=F(=1+ (14分) 即b-a≤1+此时方-a的最大值为1+ 综上，b~a的最大值为1+号 (15分) 18,解：D由正弦定理可知品=忘=品 所以===六= …(2分) 所以gac=d,即-d尔=c,由余弦定理得cosB=-方…4分) 2 因为B∈0，动所似B=子又C=总所以A=营a=点 …〔6分) (D由正弦定理，可得 AC C 5=2今BC=2 sinLBAC, AC cD=g=2今GD=2m∠DAC…(8分) 又AC平分∠BAD,所以∠B4C=∠DAC, 共4页 因为四边形ABCD的内角和为2，且∠B+∠ADC= 易知x-2∠B4C=∠BCD, 一1(9分》 f以SABCD=2BCCD·sinzBCD=;-2 stnzBAC.2st∠DAC·sm2BCD =2sm2∠aMC"simn(元-2∠R4C)=2ar2∠RAC-1n2∠RAC ■(1-c02∠84C)n2∠4C,…(11分》 设2∠B4C=为，则Sao=(1-cor)nr=ix-eo限n, 令f(x)=nr-C03l……… (12分》 Mf (x)=cosr-(-sin'oos) =-2cog'rteoax+I=(2cogr+1)(coxt+1), (13分) 因为在△MCD中，0<2DAC<行所以0<2∠BAC<号m (14分) 所以-<c0sx<1,所以了(x)>0恒成立， 且当eosx=-名即x=r时，f)= (15分) 当ox=,即x=0时，f(x)=0,则0<f)<尊所以0<5ac0平， (16分) 故△BCD的面积的取值范围是(0，平). (17分) 19.解：1(1”点A(好n)在曲线f网=上，为=“f(闭=左则f(=1 则曲线yf()在点4处的切线方程为广=1×(x之，即y=x+片…(3分) (i)爵数f(x)与g(x)互为反函数，∴g(x)=x2(x≥0)， … (4分》 根据对称性可设AD关于直线y=x对称，可符D(,，则AD= -2+G-沙-9k--1 (5分) 若ABLAD,则直线AB的方程为y=x+与曲线=∫(x)相切。不符合圈意. 若ACLAD,则直线AC的方程为y=x+子 y=x2, 联立方程组 =x+ ,消去y整理得-=0，解得x=载x=1三（舍去， 容案第4页 将x=代入=，可得) …(7分) 则c,4),Aq=-+(2a-少-5 …(8分) 则该“关联矩形”的面积S=AD14G=号×_型 14(9分) 8 (I)证明：血f(x)=,符g(x)=, (10分) 显然f(x)一g(x)<0,根据对称性可设A,D关于直线y=x对称，B,C关于直线 y=x对称，且AB⊥AD, 设A,):B(,xz),C(e),D(x4,e,其中n<粒，<，且 =r:=2 :“关联矩形”是正方形，，AB刷=V2(2-1)=V2(x3-的) IBCI=V2(xz-x).=BCl==D. 由m-加m期-可得e-2红1+x1=0,…(13分) 令为(x)=e-2+m,则n()=e+-2≥x+1+-2>0, 则h(x)在(0，+一)上单调递增。 由h(=VE-1-2<0,可得x>号 (15分) 5=BP=2x2-x)2=2(e4-x2.令m(x)=-x则p(x)=-1, 当x∈(0，+m)时，p(x)>0,.p(x)在(0，+∞)上单谓递增， p)=1-1->0,从而5=2(e1->2(-只.…(17分) 共4项高三数学 第 1页（共 2页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 扶沟高中 2024-2025学年上期高三第三次周测 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12.____________________ 13.____________________ 14.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（13分） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚， 并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题； 字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 班级 姓名 考场 座号 高三数学 第 2页（共 2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 1页（共 2页） 扶沟高中 2024-2025学年上期高三第三次周测 数学试题 2024.11 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A＝{x|ax＝2，a∈N}，若 A⊆N，则所有 a的取值构成的集合为（ ） A．{1，2} B．{1} C．{0，1，2} D．N 2．复数 z 满足 4z+3＝（3+i）z，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．若 ቚ벰 ቚ t ，且 tanα＝2tanβ，则 sin（α+β）＝（ ） A． B． C． D． 4. 已知平面向量 t 벰 ，， t 벰， ，则下列说法不正确的是（ ） A．与 共线的单位向量的坐标为벰 ， 或（ ， ） B． 在 方向上的投影向量为 C．与 垂直的单位向量的坐标为（ ， ）或（ ， ） D．若向量 与向量 垂直，则 t 5．在△ABC中，D、E分别为边 AB、AC上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC， CD∩BE＝F，t tm n ，则 m+n＝（ ） A． B． C． D． 6. 已知函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数 的图象向左平移 t（t＞0）个单位长度，得到函数 y＝f（x）的 图象．若函数 y＝f（x）为奇函数，则 t的最小值是（ ） A． B． C． D． 7. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，点 M，N分别是 棱 BC，C1D1的中点，点 P在平面 A1B1C1D1内，点 Q在线 段 A1N上，若 t ，则 PQ长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知 a＞1，b＞0，若 ᦙ䁡 t ᦙ䁡，则（ ） A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的是（ ） A．若 sinA＞sinB，则 a＞b B．若 sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 C．若 B＝30°， t ，c＝2，则符合条件的三角形有 2个 D．若△ABC的面积 t 벰 ，则 t 10．已知定义在(﹣∞，0)∪(0，+∞)上的函数 f（x），满足 f（xy）+2＝f（x）+f（y）， 且当 x＞1时，f（x）＞2，则（ ） A．f（﹣1）＝1 B．f（x）为偶函数 C．f（2024）＞f（2023） D．若 f（x+2）＜2，则﹣3＜x＜﹣1 11．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G分别为 BC，CC1，BB1的中点，点 P为线段 A1G上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．直线 EF与 A1G所成角的余弦值为 B．三棱锥 P﹣AEF的体积为定值 C．平面 AEF截正方体所得的截面周长为 D．直线 AF与平面 B1BCC1所成角的正弦值为 第 2页（共 2页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知 a＞0，b＞0，若命题：“存在 x∈R，使得（x﹣a）（x+2b﹣1）＜0”为假命题， 则 的最小值为 ． 13．已知正方形 ABCD的边长为 2，中心为 O，四个半圆的圆 心均为正方形 ABCD各边的中点（如图），若 P在上， 且 t ，则λ+μ的最大值为 ． 14．在锐角△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 若 b2﹣a2＝ac，则 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 벰 t ቚ벰 R䁡벰 ቚ벰 香 ． （I）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （II）若函数 h（x）＝f（x） t在R， 香上有两个不同的零点 x1、x2，求实数 t的取 值范围，并计算 tan（x1+x2）的值． 16．（15分）如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面 ABCD是菱形，PA＝PDt ，PB＝AB＝ BD＝2． （I）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （II）求平面 PAB与平面 PCD的夹角的余弦值． 17．（15分）已知函数 f（x）＝ex（a+1）x． （I）讨论 f（x）的单调性； （II）若 f（x）＝ex（a+1）x≥b对于 x∈R恒成立，求 ba的最大值． 18．（17分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 t ， ቚ벰ቚቚ t ． （I）若 t ，求 a； （II）点 D是△ABC外一点，AC平分∠BAD，且 t ，求△BCD的面积的取 值范围． 19．（17分）当一个函数值域内任意一个函数值 y都有且只有一个自变量 x与之对应时， 可以把这个函数的函数值 y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 x作 为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由 y＝3x，x∈R，得 t ， ∈ ，通常用 x表示自变量，则写成 t ， ∈ ，我们称 y＝3x，x∈R与 t ， ∈ 互为反函数．已知函数 f（x）与 g（x）互为反函数，若 A，B两点在曲线 y ＝f（x）上，C，D两点在曲线 y＝g（x）上，以 A，B，C，D四点为顶点构成的四 边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 y＝x垂直，则我们称这个矩形为 f（x） 与 g（x）的“关联矩形”． （I）若函数 벰 t ，且点 벰 ，在曲线 y＝f（x）上． （ⅰ）求曲线 y＝f（x）在点 A处的切线方程； （ⅱ）求以点 A为一个顶点的“关联矩形”的面积． （II）若函数 f（x）＝lnx，且 f（x）与 g（x）的“关联矩形”是正方形，记该“关 联矩形”的面积为 S．证明：＞벰 ．（参考数据： ᦙቚ＜） 扶沟高中2024-2025学年上期高三第三次周测数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D C D B C D ACD BC ABC 8．解：当a＝4时，， 函数g（x）＝x+log2x﹣4是（0，+∞）上的增函数， 因为g（2）g（4）＝﹣1×2＜0，因此b∈（2，4）⇒2b∈（4，8），显然a＜2b， 因此选项A不正确； 当a＝16时，， 函数h（x）＝x+log2x﹣8是（0，+∞）上的增函数，因为h（4）g（8）＝﹣2×3＜0， 因此b∈（4，8）⇒2b∈（8，16），显然a＞2b，因此选项B不正确； 因为a＞1，所以log2a＞0， 由， 构造函数f（x）＝x+log2x（x＞0），显然该函数单调递增， 由， 因此选项C不正确．选项D正确．故选：D． 二．多选题（共3小题） 10．解：选项A，令x＝y＝1，则f（1）+2＝f（1）+f（1），即f（1）＝2， 令x＝y＝﹣1，则f（1）+2＝f（﹣1）+f（﹣1），即f（﹣1）＝2，故选项A错误； 选项B，令y＝﹣1，则f（﹣x）+2＝f（x）+f（﹣1）， 所以f（﹣x）+2＝f（x）+2，即f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，即B正确； 选项C，设0＜x1＜x2，则，因为当x＞1时，f（x）＞2，所以f（）＞2， 由f（xy）+2＝f（x）+f（y），知f（xy）﹣f（x）＝f（y）﹣2， 所以f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣2＞0，即f（x2）＞f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为2024＞2023＞0，所以f（2024）＞f（2023），即选项C正确； 选项D，由选项B知，f（x）是偶函数，由选项C知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，由于f（﹣1）＝f（1）＝2，若f（x+2）＜2， 则，解得﹣3＜x＜﹣1且x≠﹣2，即选项D错误．故选：BC． 11.解：对于A，取B1C1中点H，连接GH、A1H、BC1， 则由题意可知， ，且GH∥BC1∥EF， 所以∠A1GH是直线EF与A1G所成角或补角， 且， 所以直线EF与A1G所成角余弦值为，故A正确； 对于B，连接AD1，FD1， 由正方体几何性质可知AB∥D1C1且AB＝D1C1， 所以四边形ABC1D1是平行四边形，故AD1∥BC1， 又BC1∥EF，所以AD1∥EF，故AD1与EF共面且过AD1与EF的面有且只有一个， 故四边形AD1FE是平面AEF截正方体所得的截面图形， 连接GF，则由G、F均为所在边的中点以及正方体性质得GF∥B1C1∥A1D1，且GF＝B1C1＝A1D1，故A1G∥D1F，又D1F⊂平面AD1FE，A1G⊄平面AD1FE， 所以A1G∥平面AD1FE，故点P到平面AEF的距离即为G到平面AEF的距离， 所以V三棱锥P﹣AEF＝V三棱锥G﹣AEF为定值，即三棱锥P﹣AEF的体积为定值，故选项B正确； 对于C，由B可知平面AEF截正方体所得的截面图形为四边形AD1FE， 又由上以及题意得，，， 所以平面AEF截正方体所得的截面周长为，故C正确； 对于D，连接BF， 由正方体性质可知AB⊥平面B1BCC1， 故∠AFB是直线AF与平面B1BCC1所成的角， 又，所以， 所以，故直线AF与平面B1BCC1所成角的正弦值为，故D错． 故选：ABC． 3． 填空题（共3小题） 12. 8 13． 解：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线 为y轴建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），θ∈[π，2π]， 由题意：A（﹣1，2），B（﹣1，0），C（1，0），D（1，2）， 则， 由，可得（cosθ+1，sinθ﹣2）＝λ（0，﹣2）+μ（2，0）， 即，解得， 所以， 因为θ∈[π，2π]，则， 所以当时，取得最大值1，则λ+μ的最大值为．故答案为：． 14．解：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2﹣a2＝ac， 则b2＝ac+a2＝a2+c2﹣2accosB，即a＝c﹣2acosB， 由正弦定理可得，sinA＝sinC﹣2sinAcosB＝sin（A+B）﹣2sinAcosB＝sin（B﹣A）， 所以A﹣B+A＝2kπ或A+B﹣A＝2kπ+π，k∈Z，又，，， ∴2A＝B，∴，解得，∴， ∴，又因为， 令t＝2cosA，则，， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递增， 所以，则的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题（共6小题） 15．解：（I）＝4sin（x）cosx ＝4（）cosx＝2sinxcosx﹣2cos2x＝sin2x ＝2sin（2x）． （3分） ∴f（x）的周期T＝π． （4分） 由2kπ，（k∈Z），得k，（k∈Z）， （5分） ∴函数f（x）的单调递增区间为[]，（k∈Z）． （6分） （II）∵函数h（x）＝f（x）﹣t，∴方程h（x）＝0同解于f（x）＝t， （7分） 作出f（x）＝2sin（2x）在[0，]上的图象，如图所示， （9分） 由图象知，当且仅当t∈[，2）时，................（11分） 方程f（x）＝t有两个不同的解x1，x2，且x1+x2＝2， ∴tan（x1+x2）＝tantan．................（13分） 16．解：（I）证明：设O是AD的中点，连结OP，OB， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝2，∴OB⊥AD，，…………………..（1分） ∵，∴OP⊥AD，OP＝1，…………………………………................（2分） ∴PB2＝OP2+OB2＝4， ∴OP⊥OB，又OB∩AD＝O，且OB，AD⊂平面ABCD，………………………（4分） ∴OP⊥平面ABCD，又OP⊂平面PAD，………………………………………….（5分） ∴平面PAD⊥平面ABCD；…………………………………………........................（6分） （II）由（I）得OB⊥AD，OP⊥OA，OP⊥OB， 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），P（0，0，1）， ，，，， ………（8分） 设是平面PAB的一个法向量， 则，即， 令，则，………………………（10分） 设是平面PCD的一个法向量， 则，即， 令y2＝1，则，……………………………………………….......（12分） ∴，…………………………………………………………（14分） ∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为．…………………………………..（15分） 17．解：（I）因为f（x）＝ex﹣（a+1）x，所以f′（x）＝ex﹣（a+1），..............（1分） 当a≤﹣1，f′（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增， （2分） 当a＞﹣1，令f′（x）＞0，得x＞ln（a+1），令f′（x）＜0，得x＜ln（a+1）， 所以f（x）在（﹣∞，ln（a+1）]上单调递减， 在[ln（a+1），+∞）上单调递增， （4分） 综上，当a≤﹣1时，f（x）在R上为单增递增；当a＞﹣1时，f（x）在（﹣∞，ln（a+1）]上单调递减，在[ln（a+1），+∞）上单调递增； （5分） （II）由（1）知，当a＜﹣1，f（x）在R上为单调递增， 且x→﹣∞，f（x）→﹣∞，不合题意， （6分） 当a＝﹣1，f（x）在R上单调递增，且x→﹣∞，f（x）→0 所以b≤0，则b﹣a的最大值为1， （8分） 当a＞﹣1，f（x）在（﹣∞，ln（a+1）]上单调递减，在[ln（a+1），+∞）上单调递增， 所以f（x）在x＝ln（a+1）处取得极小值，也是最小值， （9分） 因为f（ln（a+1））＝eln（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）， 由不等式ex﹣（a+1）x≥b，可得（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0， （11分） 所以b﹣a≤1﹣（a+1）ln（a+1）， 令F（x）＝1﹣xlnx（x＞0），则F′（x）＝﹣lnx﹣1， （12分） 当时，F′（x）＞0，则F（x）在上单调递增， 当时，F′（x）＜0，则F（x）在上单调递减， 即， （14分） 即，此时b﹣a的最大值为， 综上，b﹣a的最大值为． （15分） 18． 解：（I）由正弦定理可知， 所以， （2分） 所以a2﹣ac＝b2﹣c2，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得， （4分） 因为B∈[0，π]，所以，又，所以，； （6分） （II）由正弦定理，可得 ， ， （8分） 又AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC， 因为四边形ABCD的内角和为2π，且∠B+∠ADC＝π， 易知π﹣2∠BAC＝∠BCD， （9分） 所以 ＝2sin2∠BAC•sin（π﹣2∠BAC）＝2sin2∠BAC•sin2∠BAC ＝（1﹣cos2∠BAC）sin2∠BAC， （11分） 设2∠BAC＝x，则S△BCD＝（1﹣cosx）sinx＝sinx﹣cosxsinx， 令f（x）＝sinx﹣cosxsinx， （12分） 则f′（x）＝cosx﹣（﹣sin2x+cos2x） ＝﹣2cos2x+cosx+1＝（2cosx+1）（﹣cosx+1）， （13分） 因为在△ACD中，，所以， （14分） 所以，所以f′（x）＞0恒成立， 且当，即时，， （15分） 当cosx＝1，即x＝0时，f（x）＝0，则，所以， （16分） 故△BCD的面积的取值范围是． （17分） 19． 解：（I）（ⅰ）∵点在曲线上，∴．∵，则， 则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y1×（x），即． （3分） （ⅱ）∵函数f（x）与g（x）互为反函数，∴g（x）＝x2（x≥0）． （4分） 根据对称性可设A，D关于直线y＝x对称，可得，则． （5分） 若AB⊥AD，则直线AB的方程为，与曲线y＝f（x）相切，不符合题意． 若AC⊥AD，则直线AC的方程为， 联立方程组，消去y整理得x2﹣x0，解得或（舍去）， 将代入y＝x2，可得y， （7分） 则， （8分） 则该“关联矩形”的面积． （9分） （II）证明：由f（x）＝lnx，得g（x）＝ex． （10分） 显然f（x）﹣g（x）＜0，根据对称性可设A，D关于直线y＝x对称，B，C关于直线y＝x对称，且AB⊥AD． 设，其中x1＜x2，x4＜x3，且x4＝lnx1，x3＝lnx2． ∵“关联矩形”是正方形，∴ ．由|AB|＝|BC|，得x1＝x3＝lnx2． 由lnx2﹣lnx1＝x2﹣x3，可得． （13分） 令h（x）＝ex﹣2x+lnx，则， 则h（x）在（0，+∞）上单调递增． 由，可得． （15分） ．令φ（x）＝ex﹣x，则φ'（x）＝ex﹣1， 当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增， ，从而． （17分） 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 扶沟高中2024-2025学年上期高三第三次周测 ( 班级 姓名 考场 座号 )数学答题卡 ( 准考证号： 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多选题 （每小题 6 分 ，共18分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、 填空 题（ 每小题5分， 共 15 分） 12. ____________________ 13. ____________________ 14. ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 高三数学 第2页（共2页） 高三数学 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$