精品解析：浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期暑假返校联考数学试题

浙江省A9协作体暑假返校联考 高二数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 2. 设向量，若，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件列式求解即得. 【详解】由可得，解得. 故选：B. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面的相关性质判断即可. 详解】对于A，，可以平行也可以异面，故A错误； 对于B，，可以平行也可以异面，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 5. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据百分位数的计算得到的可能取值，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】因为，所以这个数的第百分位数是第个数与第个数的平均数， 又第百分位数是，所以第个数是，第个数是， 所以，即或， 而抛掷一枚骰子一次可能出现的点数有种情况， 所以或的概率， 即这个数的第百分位数是的概率为. 故选：C. 6. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 7. 已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质确定内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求解上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为， 所以，则半径， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 8. 给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件表示“抽到的数为偶数”，事件表示“抽到的数为3的倍数”．则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的正整数，事件和事件互斥 B. 存正整数，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可判断AD；根据古典概型的概率计算判断BC； 【详解】对于A，若抽取的数为6，则事件同时发生，A错误； 对于B，设表示不超过x的最大整数，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 不存在正整数，使得，B错误； 对于C，时，表示抽到的数既为偶数又是3的倍数， 这样的数的个数为， 而， 故，， 则，C正确； 对于D，不妨取，此时， 则不成立，D错误， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本答卷成绩的中位数为70 C. 样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D. 在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为1即可求，根据频率分布直方图里中位数、平均数的求法即可判断B、C，根据分层抽样相关概念即可判断D. 【详解】选项A：由频率之和为1，即：，可得，故A正确； 选项B：由于前两组频率之和恰好是0.5，所以中位数是70，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：由于成绩在、两组的人数分别为10人、5人，则在中应该抽取：人，故D正确； 故选：ABD. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ） A. 若，且有两解，则的取值范围为 B. 若，为中点，则的取值范围为 C. 若，且为钝角三角形，则的取值范围为 D. 的面积为，若，则为等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，由三角形有两解时范围，确定的范围；对于B，利用线段中点的向量关系和余弦定理得出与的关系，由基本不等式确定范围；对于C，分、、为钝角的三种情况，利用余弦定理和三角形三边关系可求的范围；对于D，将面积公式代入已知条件，结合余弦定理化简，判断三角形形状. 【详解】对于A，已知，，且有两解，由正弦定理可知，当，即时，有两解，解得，故A错误； 对于B，因为中点，则，两边平方得: . 由余弦定理,，即.则得. 又因（当且仅当时取等号），解得. 故，即，则，故B正确； 对于C，已知，，当为钝角时，，即，无解，即不可能为钝角； 当为钝角时，，即，解得； 当为钝角时，，即，解得. ，即，故，故C错误； 对于D，已知，，因，则，即. 由余弦定理，，代入上式，可得，解得，即，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为 C. 若，平面与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间之间坐标系，求解平面法向量，即可根据向量法判定AC,作出截面，利用三棱锥的体积公式，即可求解B,根据空间中两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，两两垂直，所以以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。则 设, 对A，若为的中点，设平面的法向量， 由，可得， 令解得，，则与平面不平行，则与平面不平行，故A错误. 对于B, 若为的中点，则， 延长交于,连接交于点,则平面截三棱柱，所得截面为四边形， 由于是的中点，则,故，由,进而可得,故, 故 故, , , 因此三棱柱被截面截得的上部分的体积为, 而三棱柱的体积为, 三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为，故B正确. 选项C, 若, 则 ，设平面的法向量， ，由得， 令， 平面的法向量, 设平面与平面所成角为，则, ,所以， 所以C正确. 对于D，设球心为，则,即,化简可得， 则，故， 由于，故，所以， 又为开口向上的二次函数，且对称轴为， 当，，当时， 故，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由斜二测画法进行求解即可． 【详解】在直观图中，等腰直角三角形，且斜边， 得，， 在原平面图形中，如图所示： 则， 则在原平面图形中，点到的距离为2. 故答案为：2 13. 已知复数为方程的两根，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得，则，再结合根与系数的关系可求得结果. 【详解】因为复数为方程的两根， 所以，， 所以. 故答案为：. 14. 在中，点为所在平面内一点，且满足，已知，分别为三角形的内心和外心，则当取得最大时，的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用余弦定理求出取最大时三角形形状，进而确定位置，利用等面积法求出的长. 【详解】在中，令内角所对边依次为， 由，得， 则，而，则， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，则，即当时，取得最大值， 此时，则是的中点，且，平分， 故点在上，且长为的内切圆半径， 由，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量满足． （1）求； （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将平方，再开方可得； （2）由题意可得，利用平面向量的数量积运算求出结果. 【小问1详解】 因为是单位向量,所以，又， 所以，所以； 【小问2详解】 因为与垂直，所以， 则， 又，， 所以，所以． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，且，平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）若为上的一点，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可证明结论； （2）求出到平面的距离，再利用等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面，所以； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以平面平面， 又，均在l上，平面，平面， 故平面， 故到平面即为P到平面的距离； 结合为等边三角形，且，则的高为， 即P到平面的距离为，则到平面的距离， 由题意知，为直角三角形，则， 所以． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦求解. （2）利用正弦定理边化角，再利用正切函数的性质及诱导公式求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 而，所以. 小问2详解】 由（1）知，，， 由正弦定理得， 由为锐角三角形，得，则， 因此，则， 则，所以的取值范围是． 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】（1） （2） （3）第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据规则有两种可能，一种是甲连胜两局，另一种是乙连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）根据规则也是有两种可能，一种是乙先胜一局再由甲连胜两局，另一种是丙先胜一局再由甲连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （3）根据规则也是有两种可能，一种是甲乙开局，甲连胜两局；或甲先胜第一局，再败一局，接下来乙胜一局，最后甲再胜一局；或甲第一局失败，第二局乙必须失败，第三局第四局甲必须连胜，另一种是甲丙开局，同理计算即可； 【小问1详解】 记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件 记比赛两局结束为事件，则 所以 ． 则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为． 【小问2详解】 记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则 所以 则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为； 【小问3详解】 由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得； （2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得； ②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； 【小问2详解】 ① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省A9协作体暑假返校联考 高二数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 设向量，若，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A B. C D. 4. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件表示“抽到的数为偶数”，事件表示“抽到的数为3的倍数”．则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的正整数，事件和事件互斥 B. 存在正整数，使得 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本答卷成绩的中位数为70 C. 样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D. 在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 10. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ） A. 若，且有两解，则的取值范围为 B. 若，为中点，则的取值范围为 C. 若，且为钝角三角形，则的取值范围为 D. 面积为，若，则为等腰三角形 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则平面 B. 若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为 C. 若，平面与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为___________． 13. 已知复数为方程的两根，则___________． 14. 在中，点为所在平面内一点，且满足，已知，分别为三角形的内心和外心，则当取得最大时，的长度为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量满足． （1）求； （2）当何值时，与垂直？ 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，且，平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）若为上的一点，求三棱锥的体积． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$