专题17 统计与概率（河南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题17 统计与概率 考点一、扇形统计图的应用 1．（2023·河南·中考真题）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于的“无絮杨”品种苗约有 棵．    考点二、统计量的确定与应用 2．（2022·河南·中考真题）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（    ） A．5分 B．4分 C．3分 D．45% 3．（2024·河南·中考真题）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分．    4．（2021·河南·中考真题）某外贸公司要出口一批规格为克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取盒进行检测，测得它们的平均质量均为克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 ．（填“甲”或“乙”） 5．（2022·河南·中考真题）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ． 考点三、概率的应用 6．（2024·河南·中考真题）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南·中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（    ）        A． B． C． D． 8．（2021·河南·中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A． B． C． D． 考点四、统计问题的综合应用 9．（2023·河南·中考真题）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 乙：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 b．服务质量得分统计图（满分10分）：     c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 10．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 11．（2024·河南·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 12．（2022·河南·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在这一组的是（单位：分）： 70  71  72  72  74  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______． (2)这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 13．（2021·河南·中考真题）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选） A．校内课业负担重  B．校外学习任务重  C．学习效率低   D．其他 平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 考点五、统计概率有关的概念的辨析 14．（2025·河南南阳·三模）下列问题适合全面调查的是（   ） A．了解黄河的水质情况 B．了解全省九年级学生的视力情况 C．调查市场上某品牌电池的使用寿命 D．神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 15．（2025·河南周口·三模）以下调查中，适合全面调查的是（   ） A．了解全国中学生的健康情况 B．检测“神舟二十号”飞船的零部件是否合格 C．检测市场上新能源汽车的电池使用寿命 D．调查黄河的水质情况 16．（2025·河南驻马店·三模）为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（    ） A．在郑州调查100名游客 B．在开封调查500名游客 C．在三个城市一共调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 17．（2025·河南信阳·三模）下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 18．（2025·河南南阳·三模）下列说法错误的是（   ） A．检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B．样本中个体的数目称为样本容量 C．“三角形的内角和是”是必然事件 D．甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 19．（2025·河南焦作·二模）下列说法正确的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B．掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 20．（2025·河南省直辖县级单位·一模）下列说法正确的有（   ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A．个 B．个 C．个 D．个 专练一、统计图的应用 21．（2025·河南信阳·三模）为了调查全校学生对羽毛球、篮球、乒乓球、排球四类球类运动的喜欢情况，调查人员随机选取了120名学生进行调查，要求每名学生只选出一类自己最喜欢的球类运动，并根据调查结果绘制了如图的扇形统计图，下列说法不正确的是（    ） A．该调查采用的是抽样调查 B．估计全校最喜欢乒乓球的学生最多 C．“羽毛球”对应的圆心角为 D．估计全校最喜欢篮球的学生有36人 22．（2025·河南驻马店·三模）如图，是甲、乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，小华认为甲家庭的全年教育支出费用比乙家庭多，你同意他的看法吗？ （填写“同意”或者“不同意”）． 专练二、统计特征量的确定与应用 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）如下表，某排球社团19名成员身高数据的记录档案部分被污损，则该组数据不受影响的是（    ） 身高 180 185 188 190 192 频数 4 6 ■ ■ 2 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 24．（2025·河南周口·三模）学校评选先进文化建设班集体，从“黑板报”“室内桌椅摆放”“卫生”“班级稿件”四个方面考核打分，各项满分均为100，若依次按照的比例确定综合得分，九年级（2）班这四项得分依次为80，90，84，70，则该班四项综合得分为（   ） A．86 B．84 C． D． 25．（2025·河南驻马店·三模）如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为 ．（填“”“”或“”） 26．（2025·河南驻马店·三模）某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是 ． 27．（2025·河南驻马店·三模）如图，河南是我国的粮食大省，素有“中原粮仓”之称．某兴趣小组在甲、乙两个小麦品种中各随机抽取了五个样本进行统计分析，统计结果（千粒质量单位：）如图所示，其中产量较为稳定的是 品种． 28．（2025·河南周口·三模）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 ．（选填“>”“=”或“<”） 29．（2025·河南驻马店·三模）小明决定预约一所健身馆锻炼身体，现有甲、乙两所健身馆适合，小明收集了这两所健身馆过去10天的预约人数，并整理、描述、分析如下： ．甲健身馆： 日期 预约人数 ．乙健身馆： ．数据汇总统计表： 健身馆 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)综合以上信息，你认为小明应该预约哪所健身馆？请说明理由． 30．（2025·河南郑州·模拟预测）新学期开学后体育组老师为检测同学们在家锻炼情况，在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测，并对数据进行了整理、分析．下面给出了部分信息： 甲班 乙班成绩在中的数据是 整理数据： 成绩 班级 甲 乙 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1) (2)根据以上数据，你认为哪个班级在家体育锻炼的效果比较好，请说明理由(条理由即可)． (3)已知九年级共有名学生，请估计全年级体育成绩大于等于分的学生有多少人？ 31．（2025·河南驻马店·三模）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 (1)请求出的值． (2)______，______，圆心角______． (3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 32．（2025·河南安阳·三模）“杭州外卖”配送模式推出创新方案，引入电动滑板车作为新型配送工具供外卖员自行选择．家住配送站附近的外卖员小李，早晨送餐时分别尝试使用电动滑板车和电动车送餐．为对比两种配送方式的效率，小李记录了16个工作日的送餐用时（单位：分钟），其中8天使用电动滑板车，8天使用电动车，并将数据整理如下： 数据分析表 平均数 中位数 众数 方差 电动滑板车 33.5 35 9.5 电动车 33 33 11 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)通过上述分析，小李选择使用电动车送外卖，请你结合两种统计量说明理由； (3)在（2）的条件下，估算小李近两个月（60天）早餐送餐用时在34分钟内的天数． 33．（2025·河南周口·三模）某校为增强学生身体素质，开展了丰富多彩的体育训练活动，并对学生进行专项测试．抽取部分八年级学生引体向上测试的成绩，将抽取的数据进行整理，用表示每个人的成绩，分成，，，四组，绘制统计表如表： 组别 人数 （） （） （） （） B组的成绩为：6，5，5，7，8，8，7，9，6，7． 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的八年级学生引体向上成绩的中位数为 ； (2)八年级400人中，请你估计引体向上每分钟不低于10个的人数； (3)从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 34．（2025·河南驻马店·三模）河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生总数是______人， ______， ______； (2)小晶根据以上数据认为所抽取的部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； (3)小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 35．（2025·河南商丘·三模）为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，（满分10分，竞赛成绩均为整数，9分及以上为优秀）．并在两个年级中各随机抽取20名学生，相关数据整理如下：    七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a 8 众数 7 b 八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 成绩 4 6 7 8 9 10 个数 2 4 3 6 3 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)求a，b的值． (2)已知该校七、八年级共有800名学生，估计本次竞赛成绩达到优秀的人数． (3)你认为哪个年级学生对“人工智能”知识掌握的总体水平较好？请说明理由． 36．（2025·河南信阳·三模）某学校举办的我爱家长主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制整数）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 82 90 90 90 90 90 90 90 90 98 b．学生评委打分的频数分布直方图如图（每组数据包含最小值，不包含最大值）．其中91~94组的数据为： 91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 90 m 学生评委 91.4 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①_________， ________； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则x___________90 （填“>” “=” 或 “<” ）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制整数）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙两位选手的打分或分析如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 平均分 分，方差： 乙 90 94 90 94 k 若乙排序比甲靠前，则k需要满足什么条件？ 37．（2025·河南洛阳·三模）为了进一步丰富社区文化体育活动，强健民众体质，某社区组织篮球爱好者分甲、乙两组各推选10名队员进行投篮比赛．按照比赛规则，每人各投10个球，将两组队员的进球数绘制成如下统计图、表： 乙组投篮进球情况分析表 进球数（个） 10 9 8 7 4 3 人数（人） 1 1 2 4 1 1 甲、乙组投篮进球个数分析表： 平均数 中位数 方差 甲组 7 b 1.2 乙组 a 7 4 (1)表格中a的值为_______，b的值为_______； (2)从平均数、方差的角度看，_______组发挥得更稳定； (3)如果从这两组中选出一组代表社区参加市级的投篮比赛，要争取个人进球数进入市级前列你认为应该选择哪一组，请说明理由． 专练三、概率的应用 38．（2025·河南南阳·三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 39．（2025·河南驻马店·三模）两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在四张完全相同的卡片上依次写有四个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 42．（2025·河南商丘·三模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·河南信阳·模拟预测）十二种金属活动性顺序表如图所示．在化学实验室里，有四个看上去无差别的不透明容器，四个容器里分别放有镁，锌，铁和铜四种金属．从四个容器里随机选出两个容器，则两个容器中的金属都可以与稀硫酸反应生成氢气的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·河南信阳·三模）唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为 ． 45．（2025·河南驻马店·模拟预测）已有一根长为3的木棒，从长分别为1，2，3的三根同材质木棒中再任意抽取两根，三根木棒能组成三角形的概率是 ． 46．（2025·河南周口·三模）中国古代神话源远流长，现有4个古代神话故事：《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》．从中随机抽取2个，则抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为 ． 47．（2025·河南驻马店·三模）将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是 ． 48．（2025·河南信阳·三模）三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 专练四、用频率估计概率 49．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 50．（2025·河南周口·三模）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为 ． 51．（2025·河南南阳·二模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 52．（2025·河南郑州·模拟预测）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 专练五、统计与概率的综合问题 53．（2025·河南周口·二模）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． (2)将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 54．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：；：；：；：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． (1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生有多少人？ (3)若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 55．（2025·河南周口·三模）为了了解某校九年级学生某门课程的学习情况，分别对九年级（1）班和（2）班该门课程的期末成绩进行了调查分析． 对九年级（1）班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据如表： 分数段 九年级（1）班 7 5 10 3 分析数据如表： 统计量 平均数 中位数 众数 极差 方差 九年级（1）班 78 _______ 85 36 105．28 同样的方法对九年级（2）班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如表： 统计量 平均数 中位数 众数 极差 方差 九年级（2）班 75 76 73 44 146．80 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知九年级（1）班学生的成绩在这一组的数据为：85，87，87，81，82，85，83，86，86，85．根据分析数据，全班学生成绩的中位数是 ； (2)已知九年级（2）班学生的成绩在这一组的数据为：95，97，97，100．根据上述数据，若在该组学生中任选2人，成绩之差在2分之内（包括2分）的概率是多少？ (3)你认为该门课程哪个班级学生的成绩更为优异？请说明理由． 试卷第2页，共49页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 统计与概率 考点一、扇形统计图的应用 1．（2023·河南·中考真题）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于的“无絮杨”品种苗约有 棵．    【答案】280 【分析】利用1000棵乘以样本中不低于的百分比即可求解． 【详解】解：该基地高度不低于的“无絮杨”品种苗所占百分比为， 则不低于的“无絮杨”品种苗约为：棵， 故答案为：280． 【点睛】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键． 考点二、统计量的确定与应用 2．（2022·河南·中考真题）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（    ） A．5分 B．4分 C．3分 D．45% 【答案】B 【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可； 【详解】解：由扇形统计图可知： 1分所占百分比：5%； 2分所占百分比：10%； 3分所占百分比：25%； 4分所占百分比：45%； 5分所占百分比：15%； 可知，4分所占百分比最大，故4分出现的次数最多， ∴所打分数的众数为4； 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数的概念，扇形统计图，理解扇形统计图中最大百分比是所打分数的众数，这是解本题的关键． 3．（2024·河南·中考真题）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分．    【答案】9 【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数． 根据众数的概念求解即可． 【详解】解：根据得分情况图可知：9分的班级数最多，即得分的众数为9． 故答案为：9． 4．（2021·河南·中考真题）某外贸公司要出口一批规格为克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取盒进行检测，测得它们的平均质量均为克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】先由题干条件得出两厂红枣价格相同，品质也相近，平均质量相同，再根据方差判定它们的稳定性，越稳定的则越符合． 【详解】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为 200 克， 而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定， 因此甲厂产品更符合规格要求， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的应用，解决本题的关键是读懂题意和图形，能根据图形判定产品的波动性大小并进行比较等，本题较基础，考查了学生读题、审题以及观察图形的能力等． 5．（2022·河南·中考真题）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶ 一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种， 所以恰好选中甲和丙的概率为． 故答案为： 【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 考点三、概率的应用 6．（2024·河南·中考真题）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶D． 7．（2023·河南·中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（    ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下： 故相同的概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键． 8．（2021·河南·中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 考点四、统计问题的综合应用 9．（2023·河南·中考真题）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 乙：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 b．服务质量得分统计图（满分10分）：     c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】(1)7.5； (2)甲公司，理由见解析 (3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【详解】（1）由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； （2）∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 10．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】(1)7.5；8； (2)见解析 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【详解】（1）解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 八年级得分为8分的人数最多为23人， ∴众数； 八年级的得分优秀率为：， 故答案为：7.5；8；； （2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 11．（2024·河南·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】(1)甲  29 (2)甲 (3)乙队员表现更好 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【详解】（1）解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； （2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； （3）解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 12．（2022·河南·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在这一组的是（单位：分）： 70  71  72  72  74  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______． (2)这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】(1)， (2)不正确．理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）因为共50名学生参加测试，故中位数为第25、26名学生成绩的平均数，用成绩不低于80分的人数除以总人数即可求出所占百分比； （2）根据中位数的意义进行判断； （3）根据测试成绩合理评价即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：由成绩频数分布表和成绩在这一组的数据可知，排在第25、26名学生的成绩分别为78分，79分， 因此成绩的中位数是：分． 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为：， 故答案为：，； （2）解：不正确．因为甲的成绩77分低于中位数78.5，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． （3）解：成绩不低于80分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好． 【点睛】本题考查调查统计时中位数的计算方法，以及运用中位数做决策等知识点，利用成绩频数分布表和成绩在这一组的数据得出中位数是解题的关键． 13．（2021·河南·中考真题）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选） A．校内课业负担重  B．校外学习任务重  C．学习效率低   D．其他 平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）③；17％；（2）见解析 【分析】（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；利用达到9小时的学生数除以500即可得出其所占百分比； （2）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可． 【详解】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组； ∵达到9小时睡眠的人数为85人， ∴其所占百分比为：； 故答案为：③；17％． （2）该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时． 建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去； ②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）． 【点睛】本题考查了统计的应用，涉及到了中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议等内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力． 考点五、统计概率有关的概念的辨析 14．（2025·河南南阳·三模）下列问题适合全面调查的是（   ） A．了解黄河的水质情况 B．了解全省九年级学生的视力情况 C．调查市场上某品牌电池的使用寿命 D．神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 【答案】D 【分析】本题考查全面调查（普查）的适用情况．普查适用于精确度要求高、事关重大或范围较小的情况，而抽样调查适用于范围广、具有破坏性或无法全面调查的情形． 【详解】A．了解黄河水质情况：黄河范围广，全面调查成本过高，适合抽样调查，排除． B．了解全省九年级学生视力：全省人数众多，全面调查难度大，适合抽样调查，排除． C．调查某品牌电池使用寿命：测试具有破坏性（电池耗尽后无法使用），只能抽样，排除． D．神舟二十号飞船发射前设备检查：涉及重大安全性问题，必须逐一检查所有仪器，确保万无一失，适合全面调查． 故选D． 15．（2025·河南周口·三模）以下调查中，适合全面调查的是（   ） A．了解全国中学生的健康情况 B．检测“神舟二十号”飞船的零部件是否合格 C．检测市场上新能源汽车的电池使用寿命 D．调查黄河的水质情况 【答案】B 【分析】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．据此进行判断即可． 【详解】解：A. 全国中学生数量庞大，全面调查成本过高，适合抽样调查； B. 飞船零部件必须全部合格，否则存在安全隐患，需逐一检查，必须采用全面调查； C. 电池寿命测试可能具有破坏性，全面检测会导致所有电池报废，适合抽样调查； D. 黄河水质调查范围广，全面检测不现实，通常采用抽样调查； 故选B． 16．（2025·河南驻马店·三模）为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（    ） A．在郑州调查100名游客 B．在开封调查500名游客 C．在三个城市一共调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 【答案】D 【分析】本题考查数据收集方案的合理性，需考虑样本的代表性和全面性． 【详解】解：要比较三个城市的游客满意度，样本需覆盖所有城市且分配合理． 选项A：仅在郑州调查，无法反映开封、洛阳的情况，样本缺乏代表性． 选项B：仅在开封调查，样本量虽大但未涵盖其他城市，同样不具全面性． 选项C：三个城市共调查1000人，但未明确是否均匀分配．若分配不均（如某城市样本过少），可能导致结果偏差． 选项D：在三个城市各调查1000人，确保每个城市样本量充足且均匀，数据代表性最强，结果更可靠． 故选：D 17．（2025·河南信阳·三模）下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、事件的分类，根据抽样调查与全面调查以及事件的分类的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应进行抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行全面调查，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 18．（2025·河南南阳·三模）下列说法错误的是（   ） A．检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B．样本中个体的数目称为样本容量 C．“三角形的内角和是”是必然事件 D．甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【分析】本题考查统计调查方式、样本容量定义、必然事件判断及方差的意义，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、卫星零部件质量检测必须全面，故采用普查，原说法正确，不符合题意； B、样本容量即样本中个体数目，原说法正确，不符合题意； C、三角形内角和恒为，是必然事件，原说法正确，不符合题意； D、方差越小越稳定，乙方差更小，故发挥稳定的是乙，原说法错误，符合题意； 故选：D． 19．（2025·河南焦作·二模）下列说法正确的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B．掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，根据事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 掷一个矿泉水瓶盖时，矿泉水瓶盖结构不对称，正反面概率不均等，背面朝上的概率不一定为，故该选项不正确，不符合题意； C. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，故该选项正确，符合题意； D. 画树状图如图，记《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》分别为， 共有16种等可能结果，两次取的书不一样的有12种 ∴从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 20．（2025·河南省直辖县级单位·一模）下列说法正确的有（   ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数据的收集，概率和方差，根据普查的特点、样本的定义、概率的意义及方差的意义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）了解某市岁以上老年人的健康状况适合抽样调查，该选项说法错误； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本，该选项说法正确； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大，该选项说法正确； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，该选项说法错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 专练一、统计图的应用 21．（2025·河南信阳·三模）为了调查全校学生对羽毛球、篮球、乒乓球、排球四类球类运动的喜欢情况，调查人员随机选取了120名学生进行调查，要求每名学生只选出一类自己最喜欢的球类运动，并根据调查结果绘制了如图的扇形统计图，下列说法不正确的是（    ） A．该调查采用的是抽样调查 B．估计全校最喜欢乒乓球的学生最多 C．“羽毛球”对应的圆心角为 D．估计全校最喜欢篮球的学生有36人 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图，调查方式，用样本估计总体．根据题意可得调查分式，判断选项A；根据扇形统计图判断选项B；先求出“羽毛球”的百分比，再乘以即可判断选项C；根据样本估计总体判断选项D． 【详解】解：A、本次调查采用的是抽样调查．故本选项正确，不符合题意； B、样本中喜欢羽毛球的有， ∴喜欢乒乓球的学生最多，由此估计全校喜欢乒乓球的学生最大．故本选项正确，不符合题意； C、，∴“羽毛球”对应的圆心角为．故本选项正确，不符合题意； D、全校学生人数未知，无法估计全校最喜欢篮球的学生人数．故本选项错误，符合题意． 故选：D 22．（2025·河南驻马店·三模）如图，是甲、乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，小华认为甲家庭的全年教育支出费用比乙家庭多，你同意他的看法吗？ （填写“同意”或者“不同意”）． 【答案】不同意 【分析】本题考查扇形统计图，由于甲、乙两家全年支出未知，因此两家全年教育支出费用的多少也无法确定，即可得出结论． 【详解】解：由于甲、乙两家全年支出费用未知，因此两家全年教育支出费用的多少也无法确定，无法比较谁多谁少． 故答案为：不同意． 专练二、统计特征量的确定与应用 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）如下表，某排球社团19名成员身高数据的记录档案部分被污损，则该组数据不受影响的是（    ） 身高 180 185 188 190 192 频数 4 6 ■ ■ 2 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的性质，熟练掌握各统计量的概念是解题的关键．根据平均数，中位数，众数和方差逐一分析各选项是否受污损数据影响． 【详解】设身高为188和190的频数分别为x和y， ∵总人数为19， ∴， ∴， 平均数：需所有数据总和，而x、y未知，总和无法确定，故平均数受影响，排除A； 中位数：数据从小到大排列，第10个数为中位数． 前4个为180，第个为185，无论x、y如何分配，第10个数始终为185，故中位数不受影响，B正确； 众数：当前数据中频数最大为6（身高185cm）。由于，所以x或y的值可能大于或等于6，故众数可能变化，排除C； 方差：依赖数据与平均数的差值，因平均数受影响，方差也受影响，排除D． 故选：B． 24．（2025·河南周口·三模）学校评选先进文化建设班集体，从“黑板报”“室内桌椅摆放”“卫生”“班级稿件”四个方面考核打分，各项满分均为100，若依次按照的比例确定综合得分，九年级（2）班这四项得分依次为80，90，84，70，则该班四项综合得分为（   ） A．86 B．84 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的含义，会计算一组数据的加权平均数．根据题意，可以利用每项分数乘以权重，再求和计算出该班四项综合得分． 【详解】解：由题意可得， 该班四项综合得分为： （分）， 故选：D． 25．（2025·河南驻马店·三模）如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与其平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．根据折线统计图可知：乙地的平均气温波动较小． 【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的日平均气温波动较小，甲地的日平均气温波动较大； 故甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差， 则， 故答案为：． 26．（2025·河南驻马店·三模）某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是 ． 【答案】95分 【分析】本题主要考查众数，根据条形图及众数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由图可得：这名学生所得分数为分的人数最多，为人，则众数为分． 故答案为：分． 27．（2025·河南驻马店·三模）如图，河南是我国的粮食大省，素有“中原粮仓”之称．某兴趣小组在甲、乙两个小麦品种中各随机抽取了五个样本进行统计分析，统计结果（千粒质量单位：）如图所示，其中产量较为稳定的是 品种． 【答案】乙 【分析】本题考查了折线统计图，方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由图知，乙品种小麦质量波动幅度小， ∴乙品种小麦产量较为稳定， 故答案为：乙． 28．（2025·河南周口·三模）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 ．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了方差和算术平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为， ∵第10次投掷标枪的落点恰好在线上， ∴， ∴． 故答案为：＞． 29．（2025·河南驻马店·三模）小明决定预约一所健身馆锻炼身体，现有甲、乙两所健身馆适合，小明收集了这两所健身馆过去10天的预约人数，并整理、描述、分析如下： ．甲健身馆： 日期 预约人数 ．乙健身馆： ．数据汇总统计表： 健身馆 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)综合以上信息，你认为小明应该预约哪所健身馆？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)甲健身馆，理由见解析． 【分析】本题考查了中位数、众数和方差，掌握中位数、众数和方差有关定义是解题的关键． （）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （）根据平均数，中位数，众数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：乙健身馆预约人数的众数， 把甲健身馆预约人数按从小到大的顺序排列，第个和第个分别为和， ∴甲健身馆预约人数的中位数， 故答案为：，； （2）解：小明应该预约甲健身馆， 理由：两所健身馆的平均数接近，但甲健身馆预约人数的众数和中位数均超过乙，而方差却小于乙健身馆，大概率会有更好的健身设备，所以小明应该预约甲健身馆． 30．（2025·河南郑州·模拟预测）新学期开学后体育组老师为检测同学们在家锻炼情况，在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测，并对数据进行了整理、分析．下面给出了部分信息： 甲班 乙班成绩在中的数据是 整理数据： 成绩 班级 甲 乙 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1) (2)根据以上数据，你认为哪个班级在家体育锻炼的效果比较好，请说明理由(条理由即可)． (3)已知九年级共有名学生，请估计全年级体育成绩大于等于分的学生有多少人？ 【答案】(1)5；49；43.5 (2)甲班好一些，理由见解析 (3)950人 【分析】本题考查了中位数，众数的概念，运用平均数，中位数，众数做决策，以及样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据样本数据，和中位数，众数的概念可得出答案； （2）从平均成绩，中位数和众数的角度分析可得出答案； （3）利用样本估计总体的方法可得出答案． 【详解】（1）解：依题意， ∵甲班的数据中49出现的次数最多， 故众数是49，即， ∵在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测， ∴中位数是第10和11名之间， 分析表格数据，得乙班的数据中第10和11名都分布在这组， 根据题意可知中位数， 故答案为； （2）解：甲班体育水平好一些；理由如下： ∵甲班平均数大于乙班平均数；且甲班中位数，众数都大于乙班； ∴甲班体育水平高一些； （3）解：（人）， 答：全年级体育成绩大于等于分的有人． 31．（2025·河南驻马店·三模）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 (1)请求出的值． (2)______，______，圆心角______． (3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 【答案】(1)； (2)，，； (3)因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定，所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 【分析】本题考查了统计图，平均数、中位数、众数，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）根据算术平均数的计算公式可得的值； （）根据中位数的定义可得的值，用平均月收入千元总数即可求出的值，由用乘平均月收入千元所占比可得圆心角的度数； （）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【详解】（1）解：； （2）解：甲公司网约车司机收入从小到大排序后，中位数排在第，个司机的平均数， ∴（千元）， 乙公司网约车司机收入千元所占比， ， 故答案为：，，； （3）解：因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定， 所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 32．（2025·河南安阳·三模）“杭州外卖”配送模式推出创新方案，引入电动滑板车作为新型配送工具供外卖员自行选择．家住配送站附近的外卖员小李，早晨送餐时分别尝试使用电动滑板车和电动车送餐．为对比两种配送方式的效率，小李记录了16个工作日的送餐用时（单位：分钟），其中8天使用电动滑板车，8天使用电动车，并将数据整理如下： 数据分析表 平均数 中位数 众数 方差 电动滑板车 33.5 35 9.5 电动车 33 33 11 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)通过上述分析，小李选择使用电动车送外卖，请你结合两种统计量说明理由； (3)在（2）的条件下，估算小李近两个月（60天）早餐送餐用时在34分钟内的天数． 【答案】(1)34.5；33 (2)见解析 (3)45天 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）直接利用折线图数据结合中位数，众数的定义进行求解，即可作答． （2）比较平均数，众数，中位数，方差分别分析即可． （3）根据送餐用时在34分钟内的天数所占总天数的比例进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，电动滑板车一组有8个数据，则在从小到大排列后第4个数据和第5个数据的平均数即为中位数， 排列后数据：28，30，32，34，35，35，36，38． ∴， 结合图片中的数据可知，电动车组中的数据中33的数据的个数最多， ∴． （2）从平均数看，使用电动车送餐的平均时长33分钟低于使用电动滑板车的平均时长33.5分钟； 从众数看，使用电动车送餐时长33分钟低于使用电动滑板车的时长35分钟． （3）（天） 答：小李近两个月早餐送餐用时在34分钟内的天数约为45天． 33．（2025·河南周口·三模）某校为增强学生身体素质，开展了丰富多彩的体育训练活动，并对学生进行专项测试．抽取部分八年级学生引体向上测试的成绩，将抽取的数据进行整理，用表示每个人的成绩，分成，，，四组，绘制统计表如表： 组别 人数 （） （） （） （） B组的成绩为：6，5，5，7，8，8，7，9，6，7． 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的八年级学生引体向上成绩的中位数为 ； (2)八年级400人中，请你估计引体向上每分钟不低于10个的人数； (3)从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】(1) (2)人 (3)详见解析 【分析】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数解答即可． 【详解】（1）解：抽取的八年级学生人数为：（人） 把B组的成绩按大小顺序排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，8，9， 所以，第20，21个数据是8，8， 故中位数为， 故答案为：8； （2）解：（人） 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有 180人； （3）解：平均数表示抽取的40名学生的平均成绩； 众数表示抽取的40名学生中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示取的40名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩． 34．（2025·河南驻马店·三模）河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生总数是______人， ______， ______； (2)小晶根据以上数据认为所抽取的部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； (3)小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 【答案】(1)20，4，15 (2)不正确，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，求中位数，抽样调查的可靠性，熟知相关知识是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出a、m的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据题意可得小晶抽取的样本不具有随机性和代表性，据此可得答案． 【详解】（1）解：人， ∴所抽取的学生总数是20人， ∴， ∴； （2）解：小晶的说法不正确； 理由：将这20名学生的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列，中位数为第10位和第11位数据的平均数， 第10位和11位数据均在C组范围内， 所抽取的部分学生成绩的中位数在C组范围内， 即小晶的说法不正确； （3）解：估计不准确的原因：选取的样本不对，应该在全校参加比赛的学生中随机抽样，选取特定班级的样本，评估全校情况不具有代表性． 35．（2025·河南商丘·三模）为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，（满分10分，竞赛成绩均为整数，9分及以上为优秀）．并在两个年级中各随机抽取20名学生，相关数据整理如下：    七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a 8 众数 7 b 八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 成绩 4 6 7 8 9 10 个数 2 4 3 6 3 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)求a，b的值． (2)已知该校七、八年级共有800名学生，估计本次竞赛成绩达到优秀的人数． (3)你认为哪个年级学生对“人工智能”知识掌握的总体水平较好？请说明理由． 【答案】(1)；8 (2)约28人 (3)八年级总体水平较好，理由：中位数和优秀率更高 【分析】本题主要考查了条形统计图、中位数、众数、样本估计总体等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为抽取20名学生，成绩排序后取第10和11名的成绩的平均数，即为a的值；出现次数最多的成绩分数为众数，即为b的值； （2）先算出本次调查的各个年级的优秀率，再与800相乘即可解答； （3）运用中位数和众数进行分析即可解答． 【详解】（1）解：依题意，观察七年级的统计图，得出第10和11名的成绩分别为7和8分 ∴； 观察八年级的竞赛成绩统计表得出成绩为8的个数有6个，其他成绩的个数比6要少 ∴； （2）解：本次调查中，八年级的优秀率为； 七年级的优秀率为 ∴（人）． ∴估计本次竞赛成绩达到优秀的人数为200人． （3）解：八年级学生的总体水平较好，理由如下： ∵， ∴八年级的中位数和众数都比七年级的要高， ∴八年级学生的总体水平较好． 36．（2025·河南信阳·三模）某学校举办的我爱家长主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制整数）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 82 90 90 90 90 90 90 90 90 98 b．学生评委打分的频数分布直方图如图（每组数据包含最小值，不包含最大值）．其中91~94组的数据为： 91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 90 m 学生评委 91.4 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①_________， ________； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则x___________90 （填“>” “=” 或 “<” ）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制整数）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙两位选手的打分或分析如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 平均分 分，方差： 乙 90 94 90 94 k 若乙排序比甲靠前，则k需要满足什么条件？ 【答案】(1)①90；92；② (2) 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差的概念及计算，频数分布直方图实际应用．熟练掌握相对应的概念计算数值，并分类讨论平均数是否相等是解决本题的关键． （1）根据教师评委打分的分值中次数出现最多的即为众数可求解m的值，根据学生评委的人数可知第23个数为总位数，结合频数分布直方图可求解n的值，根据平均数的计算公式即可求解． （2）分类讨论甲乙的平均数的大小，当乙的平均数大于甲的平均数时，乙排序比甲靠前可求解k的取值范围；由甲乙的平均数的大小相等时，可求解k的值，再求解乙的方差比较大小即可得． 【详解】（1）解：①因为教师评委打分：82 90 90 90 90 90 90 90 90 98， 出现次数最多的为90，即， 因为学生评委共45人，则中位数为第23个数， 由频数分布直方图可知，前三组的频数和为， 所以中位数为与第四组，即数据为91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93， 所以； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，则 90 90 90 90 90 90 90 90 ， 所以． （2）解：乙选手的平均分为， ①当时，乙排序比甲靠前， 所以，解得：． ②当时， 则有，解得：． 所以， ，此时甲排序比乙靠前． 综上所述，若乙排序比甲靠前，则． 37．（2025·河南洛阳·三模）为了进一步丰富社区文化体育活动，强健民众体质，某社区组织篮球爱好者分甲、乙两组各推选10名队员进行投篮比赛．按照比赛规则，每人各投10个球，将两组队员的进球数绘制成如下统计图、表： 乙组投篮进球情况分析表 进球数（个） 10 9 8 7 4 3 人数（人） 1 1 2 4 1 1 甲、乙组投篮进球个数分析表： 平均数 中位数 方差 甲组 7 b 1.2 乙组 a 7 4 (1)表格中a的值为_______，b的值为_______； (2)从平均数、方差的角度看，_______组发挥得更稳定； (3)如果从这两组中选出一组代表社区参加市级的投篮比赛，要争取个人进球数进入市级前列你认为应该选择哪一组，请说明理由． 【答案】(1)7；7 (2)甲 (3)甲组，理由见解析 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数，方差的意义，根据题中的数据作决策，解题的关键是掌握平均数和中位数的求法，方差越小越稳定． （1）先计算出乙组一共投进球的个数，再除以10即可求出a的值；根据中位数的定义，将乙组中进球数从小到大排列后，求出处在第5，6位的数平均数即可求出b的值； （2）根据方差越小越稳定，即可得出结论； （3）分析题中数据可得：乙组个人成绩在8分以上的人数较多，出现高分的可能性较大，则可得出结论． 【详解】（1）解：；将甲组进球数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中间的两个数是7和7，所以． （2）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．因为甲组方差1.2＜乙组方差4，所以甲组发挥得更稳定． （3）应该选择甲组．理由：两组的平均数相同，而甲组方差小于乙组方差，说明甲组队员进球数更稳定，在市级比赛中更有可能稳定发挥，争取个人进球数进入市级前列． 专练三、概率的应用 38．（2025·河南南阳·三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴小灯泡发光的概率为． 故选：A． 39．（2025·河南驻马店·三模）两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两只蚂蚁选择同一条路的结果数有3种， ∴两只蚂蚁选择同一条路的概率是． 故选：B． 40．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在四张完全相同的卡片上依次写有四个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的求解，准确画出树状图是解题的关键． 根据题意准确画出树状图，确定总共12种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有2种，即可求解． 【详解】解：画树状图如图 共12种等可能性结果．抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有2种， ∴抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是． 故选D． 42．（2025·河南商丘·三模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与画树状图法求概率，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率． 【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，画树状图如下： 由图可得，一共有种等可能性的结果， 其中小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的可能性有种， ∴小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率是． 故选：D ． 43．（2025·河南信阳·模拟预测）十二种金属活动性顺序表如图所示．在化学实验室里，有四个看上去无差别的不透明容器，四个容器里分别放有镁，锌，铁和铜四种金属．从四个容器里随机选出两个容器，则两个容器中的金属都可以与稀硫酸反应生成氢气的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两个容器中的金属都可以与稀硫酸反应生成氢气的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示镁，锌，铁、铜，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，两个容器中的金属都可以与稀硫酸反应生成氢气的结果数有6种（镁，锌，铁可以与稀硫酸反应生产氢气，铜不行）， ∴两个容器中的金属都可以与稀硫酸反应生成氢气的概率为， 故选：C． 44．（2025·河南信阳·三模）唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】解：四张卡片中，范仲淹和陆游是宋代人，李白和白居易是唐代人， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的卡片作品来自不同朝代的情况有8种， 因此抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为， 故答案为：． 45．（2025·河南驻马店·模拟预测）已有一根长为3的木棒，从长分别为1，2，3的三根同材质木棒中再任意抽取两根，三根木棒能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等可能事件概率的求法，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据题意，确定等可能事件的个数，从中找出能与3构成三角形的事件个数，再求概率． 【详解】从长分别为1，2，3的三根同材质木棒中再任意抽取两根，有3种情况：1和2，1和3，2和3； 其中能与3构成三角形的有1和3，2和3两种，故所求概率， 故答案为：． 46．（2025·河南周口·三模）中国古代神话源远流长，现有4个古代神话故事：《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》．从中随机抽取2个，则抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，先画出相应的树状图，然后即可求得抽到的2个故事都是关于哪吒的概率． 【详解】解：将《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》分别记为A、B、C、D， 画树状图如下所示： 由上可得，共有12种等可能性的结果，其中抽到的2个故事都是关于哪吒的结果有2种， ∴抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为． 故答案为：． 47．（2025·河南驻马店·三模）将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，列举法求出概率即可． 【详解】解：摆出的三位数共有，共6种情况，其中摆出的三位数是4的倍数的结果有共2种， ∴； 故答案为：． 48．（2025·河南信阳·三模）三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据相关运算法则计算判断，记，这3张卡片分别为，列表得出所有等可能的结果数，以及抽取两张卡片上整式运算都正确的结果数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：，3个整式运算中正确的有，两个， 记，这3张卡片分别为， 根据题意列表如下： A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 由表中数据可知，总共有中情况，其中抽取两张卡片上整式运算都正确的有两种情况， 任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，列表法与树状图求概率，熟练掌握相关运算法则，列表法与树状图法求概率，以及概率公式是解答本题的关键． 专练四、用频率估计概率 49．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，再求得整个图形面积，进而可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在阴影部分的频率稳定在0.55附近， ∴随机地朝网格投掷飞镖，估计落在阴影部分的概率为0.55， 又整个图形面积为， ∴不规则图形的面积约为， 故选：C． 50．（2025·河南周口·三模）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为 ． 【答案】17 【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意得： ∴ 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为17个． 故答案为：17． 51．（2025·河南南阳·二模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1800 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，根据图形可以发现，频率在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.9， ∴这种树苗成活的概率为0.9， ∵移植这种树苗2000棵， ∴成活的大约有：（棵）， 故答案为：1800． 52．（2025·河南郑州·模拟预测）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率．解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为（）． 故答案为：． 专练五、统计与概率的综合问题 53．（2025·河南周口·二模）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． (2)将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】(1)①50，②28.8，③见解析 (2) 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论，②利用圆心角的意义解答即可；③根据条形统计图的特点，解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得（人）， 故答案为：50． D类所占圆心角为：， 故答案为：28.8． ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 补全图形如下： （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 54．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：；：；：；：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． (1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生有多少人？ (3)若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】(1)（人），补全图形见解析； (2)人； (3)． 【分析】根据条形统计图中组有人，扇形统计图中组人数占总人数的，计算出抽查的学生的总人数为人，用总人数减去组、组、组的人数，求出组的人数，根据组的人数补全条形统计图； 根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在到分钟的人数共有人，占被抽查的总人数的，利用样本估计总体，可得：全校参加家务劳动的时间在到分钟的人数有人； 利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如下图所示； （2）解：（人）， 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生约人； （3）解：由题意得，有名女生，名男生， 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种， 抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数据、列表法求概率．解决本题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计总体数据． 55．（2025·河南周口·三模）为了了解某校九年级学生某门课程的学习情况，分别对九年级（1）班和（2）班该门课程的期末成绩进行了调查分析． 对九年级（1）班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据如表： 分数段 九年级（1）班 7 5 10 3 分析数据如表： 统计量 平均数 中位数 众数 极差 方差 九年级（1）班 78 _______ 85 36 105．28 同样的方法对九年级（2）班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如表： 统计量 平均数 中位数 众数 极差 方差 九年级（2）班 75 76 73 44 146．80 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知九年级（1）班学生的成绩在这一组的数据为：85，87，87，81，82，85，83，86，86，85．根据分析数据，全班学生成绩的中位数是 ； (2)已知九年级（2）班学生的成绩在这一组的数据为：95，97，97，100．根据上述数据，若在该组学生中任选2人，成绩之差在2分之内（包括2分）的概率是多少？ (3)你认为该门课程哪个班级学生的成绩更为优异？请说明理由． 【答案】(1)81 (2) (3)九年级（1）班，理由见解析 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，平均数、众数、中位数、方差等统计量，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，成绩之差在2分之内（包括2分）的结果有6种，再由概率公式求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差进行说明即可． 【详解】（1）解：九年级（1）班学生的成绩的中位数是将成绩从小到大排序后的第13个成绩， ∵， ∴九年级（1）班学生的成绩的中位数为这一组中的最小数据81． 故答案为：81． （2）解：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，成绩之差在2分之内（包括2分）的结果有6种， ∴成绩之差在2分之内（包括2分）的概率为． （3）解：九年级（1）班学生的成绩更为优异，理由如下： ①九年级（1）班学生的成绩的平均数大于九年级2班学生的成绩的平均数； ②九年级（1）班学生的成绩的中位数大于九年级2班学生的成绩的中位数； ③九年级（1）班学生的成绩的方差小于九年级2班学生的成绩的方差，更稳定．（答案不唯一） 试卷第2页，共49页 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$