4.1 正弦和余弦 同步练习 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

4.1 正弦和余弦 同步练习 2025-2026学年湘教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在正方形网格纸中的位置如图（一）所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为 (　　) A． B． C． D． 6．如图，菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点H，交于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为 (　　) A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则锐角 ． 10．计算： ． 11．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 12．如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 13．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 14．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么 ． 三、解答题 15．计算：． 16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AB⊥BC． （1）求sin∠ABD的值． （2）若∠BCD=120°，求CD的长． 17．如图所示，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的值． 18．如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：， 故选B． 2．【答案】D 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC是等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 3．【答案】D 【分析】由勾股定理得出．再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， , , 故选D． 4．【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4， 由勾股定理得，AB=， ∴， 故此题答案为：D． 【关键点拨】此题考查的是解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键． 5．【答案】D 【详解】∵小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,∴小正方形的边长为1,大正方形的边长为5.设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为a+1,其中a>0.由勾股定理得a2+(a+1)2=52,解得a1=3,a2=-4(舍去),∴a+1=4,∴cos α=,故选D. 6．【答案】A 【分析】延长交于G，可证明，得到，再证明，则可利用勾股定理得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 7．【答案】B 【分析】作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选B． 8．【答案】A 【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,DC=AB=6.∵把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,∴AF=AD=8,EF=DE,∴BF===2,∴CF=BC-BF=8-2.在Rt△EFC中,CE=DC-DE=6-EF,由勾股定理,得EF2=CE2+CF2,∴EF2=(6-EF)2+,∴EF=,∴CE=6-=,∴cos∠CEF===,故选A. 9．【答案】/60度 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴ 10．【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简计算得出答案． 【详解】解： . 11．【答案】/ 【分析】根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴， 所以． 12．【答案】 【分析】作轴于点，根据点的坐标特征求出点、的坐标，得到、的长，根据勾股定理求出，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，作轴于点， 由题意得，，， 由勾股定理得，， 则 13．【答案】/ 【分析】过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 14．【答案】 【分析】通过证明，可得，从而即可求解． 【详解】解：， ，， 点是的一个“布洛卡点”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．【答案】6 【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 16．【答案】（1）sin∠ABD=；（2）CD= 【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题； （2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题． 【详解】解：（1）作DE⊥AB于E，设AE=a． 在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a， ∴∠ADE=30°， ∴AD=2a，DE=a， ∵AD：AB=2：3， ∴AB=3a，EB=2a， 在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2， 解得a=1， ∴DE=，BE=2， ∴sin∠ABD=． （2）CF⊥DE于F． ∵CB⊥AB，CF⊥DE， ∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°， ∴四边形CFEB是矩形， ∴CF=EB=2，BC=EF， ∵∠DCB=120°，∠FCB=90°， ∴∠DCF=30°， ∴DF=CF•tan30°=， ∴CD=2DF=． 17．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形． （2）先求得，再求解，根据四边形是矩形，根据正弦的定义，求解，再结合平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ∴, ，，， 四边形是矩形， ，．， ∴，， ， ∴． 18．【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再结合，得，即可作答． （2）先由勾股定理算出，运用两组角相等证明，再分别求出，，运用勾股定理算出，再结合正弦的性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$