第5章 万有引力与宇宙航行(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2027年高中物理高考一轮总复习（粤教版）

该高中物理高考复习资料聚焦万有引力与宇宙航行专题，覆盖开普勒定律、万有引力定律、人造卫星、宇宙速度等核心考点，按“定律理解-应用计算-拓展模型”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练（含2024新课标等高考题）帮助学生突破天体计算、卫星参量分析等难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出科学思维与物理观念培养，如用“补偿法”解析非对称球体引力、结合嫦娥六号案例推导卫星变轨规律，设置基础巩固与能力提升分层练习。助力学生高效构建知识网络，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第五章　万有引力与宇宙航行 第1讲　万有引力定律及应用 ■目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并能用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。 考点1　开普勒行星运动定律 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 必|备|知|识 1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3.开普勒第三定律:所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 (1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点(√) (2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等(×) (3)根据开普勒第三定律，地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较，有=(×) 关|键|能|力 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.应用微元法，结合开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】　(多选)对于开普勒定律的理解，下列说法正确的是(AB) A.开普勒根据第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律 B.行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上 C.行星距离太阳越近，其运动速率越小 D.行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比 解析　开普勒通过观察和分析第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律，A项正确;由开普勒第一定律知，行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，B项正确;由开普勒第二定律知，行星距离太阳越近，其运动速率越大，C项错误;由开普勒第三定律知，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的平方成正比，D项错误。 【典例2】　如图所示是地球绕太阳运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴，运行的周期为T。则地球从A经C、B到D的运动过程中(D) A.地球运动到A点时速度最大 B.地球从A点到C点所用的时间等于 C.地球从A点到B点的过程中先做加速运动后做减速运动 D.地球从A点到B点所用时间等于 解析　根据开普勒第二定律，在相同时间内某一行星与恒星的连线所扫过的面积相等，可知在近日点B速度最大，在远日点A速度最小，A项错误;根据对称性可知，A→C→B与B→D→A的时间相等，均为，根据上述可知，A→C→B阶段，速率逐渐变大，即A到C的平均速率小于C到B的平均速率，所以从A点到C点所用的时间大于，B项错误，D项正确;地球从A点运动到B点运动，即向近日点运动，速度逐渐增大，做加速运动，C项错误。 考点2　万有引力定律 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 必|备|知|识 1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式:F=G，G为引力常量:G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 3.适用条件。 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。 (1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力(×) (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大(×) (3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 (√) 关|键|能|力 1.万有引力与重力的关系。 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上:G=mg1+mω2R。 (2)在两极上:G=mg0。 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。 2.星球上空的重力加速度g'。 星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g'，mg'=，得g'=，所以=。 考向1　万有引力定律的理解 【典例3】　潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(A) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 解析　根据万有引力公式F=G，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A项正确，B、C、D三项错误。 考向2　重力和万有引力的关系 【典例4】　设宇宙中有一自转角速度为ω，半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是(B) A.g2=g1 B.F=mω2R C.F=mω2R D.F=mω2R 解析　在极点处有F=mg1，在赤道处有F=mg2，根据万有引力和重力的关系有F-F=mω2R，解得g2=g1，F=mω2R，B项正确，A、C、D三项错误。 考向3　补偿法求万有引力 【典例5】　如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，现从球中挖去一个直径为R的小球放在相距为d=2R的A处，位置关系如图所示。引力常量为G，则放置于A处的小球与大球剩余部分间的万有引力为(D) A. B. C. D. 解析　根据公式m=ρπr3可知，挖去小球质量等于原大球的，则有m=M，设没挖去前，对小球的引力为F1===，挖去部分对小球的引力F2=G=，则放置于A处的小球与大球剩余部分的万有引力为F=F1-F2，联立解得F=，D项正确。 补偿法求非对称物体间的万有引力 球内挖去一部分后则变成非对称球，无法直接使用万有引力定律求解，此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维，即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上，使其成为规则的球体，再根据万有引力定律，分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到结果。 考向4　地球表面下万有引力的计算 【典例6】　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，对壳外物体的引力等于将所有质量全部集中在球心的质点对球外物体的引力。现以地心为原点O建立坐标轴，用r表示坐标轴上某点到地心的距离，地表处重力加速度为g0，则该直线上各点的重力加速度g随r变化的图像正确的是(A) 解析　在地球内部，根据题意有G=mg，地球可视为质量分布均匀的球体，则M'=ρV=ρπr3，联立解得g=πρGr∝r，地表重力加速度为g0;在地球外部，满足G=mg，即g=∝，A项正确。 星体内部万有引力的两个推论 (1)推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。 (2)推论2:在半径为R的匀质球体内部，距离球心r(r<R)处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对它的万有引力，即F=G。 考点3　天体质量和密度的计算 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 关|键|能|力 天体质量和密度的估算方法。 1.重力加速度法:利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.天体环绕法:测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=m得天体的质量M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1　“重力加速度法”计算天体质量和密度 【典例7】　航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求: (1)月球表面的自由落体加速度大小g月; (2)月球的质量M; (3)月球的密度ρ。 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h=g月t2， 解得月球表面的自由落体加速度大小 g月=。 (2)不考虑月球自转的影响，有 G=mg月， 解得月球的质量M=。 (3)月球的密度ρ=， 将M=和V=πR3代入解得 ρ=。 答案　(1)　(2)　(3) 考向2　“环绕法”计算天体质量和密度 【典例8】　(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(B) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 解析　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1;太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2;根据万有引力定律有G=m1r1，G=m2r2，联立解得=·，由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，解得≈0.1，B项正确。 命题特点:以天文学上的发现——红矮星的两颗行星绕其运动为载体考查天体质量的计算，且计算中需要与地球绕太阳运动相比较。 复习建议:重视行星绕中心天体运行的规律，了解各种典型问题的求解思路，能够更快地找到解题的思路。 第2讲　人造卫星　宇宙速度 ■目标要求 1.理解卫星围绕天体做匀速圆周运动的动力学规律，会比较卫星运动的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.会分析卫星的“追及”问题。 考点1　卫星运行参量的分析 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 必|备|知|识 1.卫星运动模型。 无论自然天体(如地球、月球)还是人造卫星在粗略计算中，可近似看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2.基本公式。 (1)线速度大小:由G=m得v=。 (2)角速度:由G=mω2r得ω=。 (3)周期:由G=mr得T=。 (4)向心加速度:由G=ma得a=G。 结论:同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大。 3.人造卫星。 (1)人造卫星的轨道:如图所示，卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道，同步卫星中的静止轨道是赤道轨道。 (2)极地轨道:极地轨道卫星运行时每圈都经过南北两极的上空，由于地球自转，极地轨道卫星可以实现全球覆盖，如气象卫星。 (3)同步卫星。 ①轨道平面与赤道共面，且与地球自转方向相同。 ②周期与地球自转周期相同，T=24 h。 ③高度固定不变，h=3.6×107 m。 ④运行速率均为3.1 km/s。 (4)近地卫星:轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度，运行周期约为85 min。 关|键|能|力 解答卫星运动问题常用的两个思路。 (1)万有引力提供向心力，即G=m=mω2r=mr=ma。 (2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即G=mg，整理得gR2=GM，在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 考向1　卫星的运行规律 【典例1】　(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(D) A.火星公转的线速度比地球的大 B.火星公转的角速度比地球的大 C.火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小 审题指导 序号 信息读取 信息加工 1 火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍 火星的公转周期大于地球的公转周期 2 火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动 做圆周运动的向心力由万有引力提供，根据需要，向心力的表达式可以写为F=m=mω2r=mr=ma 解析　根据开普勒第三定律得火星的公转周期大于地球的公转周期，则火星的公转半径大于地球的公转半径，C项错误;根据G=m可得v=，结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，A项错误;根据G=mω2r得ω=，可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，B项错误;根据G=ma可得a=，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，D项正确。 【类题演练】　(2024·江西卷)嫦娥六号探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是(A) A.== B.== C.== D.== 解析　月球对探测器的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，探测器的质量为m，半径为r1时，有G=m=mr1;半径为r2时，有G=m=mr2，再根据动能Ek=mv2，可得探测器在两个轨道上的动能和周期的比值分别为==，A项正确。 考向2　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行比较 【典例2】　(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是(AD) A.= B.= C.= D.= 解析　由题意根据向心加速度和角速度的关系有a1=r，a2=R，又ω1=ω2，故=，A项正确，B项错误;由万有引力提供向心力得G=，G=，解得=，C项错误，D项正确。 寻找相同点，巧妙比较各物理量 (1)近地卫星与同步卫星的运行原理相同，均由万有引力提供向心力，由于r近<r同，所以a近>a同，v近>v同，ω近>ω同，T近<T同。 (2)同步卫星与赤道上的物体周期(或角速度)相同，均等于地球自转周期(或角速度)，由于r物<r同，所以a物<a同，v物<v同。 (3)近地卫星和赤道上的物体的轨道半径相同，但两者的运行原理不同，前者由万有引力提供向心力，后者由万有引力的分力提供向心力。两者的加速度、线速度、角速度、周期等物理量可通过同步卫星间接比较。 考点2　宇宙速度 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 必|备|知|识 1.三种宇宙速度。 (1)第一宇宙速度:v1=7.9km/s，地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度。 (2)第二宇宙速度:v2=11.2km/s，物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 (3)第三宇宙速度:v3=16.7km/s，物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2.第一宇宙速度的计算方法。 (1)由G=m得v=。 (2)由mg=m得v=。 关|键|能|力 【典例3】　(2025·广州模拟)金星在中国古代被称为太白、明星或大器，早晨出现于东方称为启明，晚上出现于西方称为长庚。若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为(D) A. B. C. D. 解析　根据万有引力提供卫星绕行星做圆周运动所需的向心力有G=m，解得v1=，金星与地球的第一宇宙速度之比==，D项正确。 【典例4】　(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(BD) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 解析　返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G=m，其中在月球表面万有引力和重力的关系有G=mg月，联立解得v月=，由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得v地=，代入题中数据可得v月=v地，A项错误，B项正确;根据线速度和周期的关系有T=·r，根据以上分析可得T月=T地，C项错误，D项正确。 考点3　卫星的“追及”问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 关|键|能|力 　在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星(或卫星)，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体(或卫星)的“追及、相遇”现象。此类问题的两种情形(以同向转动为例): (1)相距最近。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到下一次相距最近，两卫星的运动关系满足:(ωA-ωB)t=2π或-=1。 (2)相距最远。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足:(ωA-ωB)t=π或-=。 【典例5】　如图，某侦察卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星离我国北斗三号系统中的地球静止轨道卫星的最近距离为r，最远距离为3r。则下列判断正确的是(B) A.该侦察卫星的轨道半径为2r B.该侦察卫星的运行周期为6 h C.该侦察卫星和地球静止轨道卫星前后两次相距最近的时间间隔为6 h D.该侦察卫星与地心连线和地球静止轨道卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为1∶1 解析　设侦察卫星的轨道半径为R1，地球静止轨道卫星的轨道半径为R2，根据题意R2-R1=r，R2+R1=3r，解得R1=r，R2=2r，A项错误;根据开普勒第三定律有=，解得T1=T2=6 h，B项正确;设该侦察卫星和地球静止轨道卫星前后两次相距最近的时间间隔为t，则有·t-·t=2π，解得t= h，C项错误;由G=mr，单位时间内卫星与地心连线扫过的面积S=，联立解得S=，因此该侦察卫星与地心连线和地球静止轨道卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为S1∶S2==1∶，D项错误。 培优课8　卫星变轨问题　双星模型 题型1　卫星的变轨和对接问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.卫星发射及变轨过程概述。 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.三个运行物理量的大小比较。 (1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度:因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 (3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T1<T2<T3。 【典例1】　(2025·广州模拟)航天飞机在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的是(C) A.在轨道Ⅱ上经过A的速度大于经过B的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A的动能等于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 解析　根据开普勒第二定律可知，远地点速度小于近地点速度，所以在轨道Ⅱ上，航天飞机从远地点A运动到近地点B，速度增大，A项错误;在轨道Ⅱ的A点加速后可以变轨到轨道Ⅰ上，故在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能，B项错误;由题图可知，轨道Ⅱ的半长轴比轨道Ⅰ的半径小，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C项正确;由牛顿第二定律得G=ma，解得a=G，无论在轨道Ⅱ上经过A点，还是在轨道Ⅰ上经过A点，距离地心距离都一样，故加速度相等，D项错误。 【典例2】　(2025·广州模拟)2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与天宫空间站完成自主快速交会对接，6名中国航天员在太空顺利会师。如图是飞船发射至对接的原理图，下列说法正确的是(D) A.火箭发射加速升空过程，载人飞船处于失重状态 B.飞船先进入轨道2，再加速即可完成对接 C.飞船从地面发射进入轨道1的速度应超过11.2 km/s D.飞船在轨道2的运行周期大于在轨道1的运行周期 解析　火箭发射加速升空过程，加速度向上，载人飞船处于超重状态，A项错误;飞船先进入轨道2，再加速，万有引力不足以提供向心力，飞船将做离心运动，无法实现对接，B项错误;飞船从地面发射进入轨道1的速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误;根据开普勒第三定律知，轨道半径越大，周期越大，飞船在轨道2的运行周期大于在轨道1的运行周期，D项正确。 题型2　双星和多星模型 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.双星模型。 (1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 (2)特点。 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。 ⑤双星的运动周期T=2π。 ⑥双星的总质量m1+m2=。 2.多星模型。 (1)定义:所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 (2)三星模型。 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 (3)四星模型。 一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。 另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。 考向1　双星模型 【典例3】　科学家威廉·赫歇尔首次提出了“双星”这个名词。现有由两颗中子星A、B组成的双星系统(不考虑其他星球的影响)，可抽象为如图所示绕O点做匀速圆周运动的模型。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，则下列说法正确的是(D) A.A的线速度大于B的线速度 B.A的质量小于B的质量 C.若M一定，则L越大，T越小 D.若L一定，则M越大，T越小 解析　因为双星的角速度相等，且rA<rB，由v=rω解得vA<vB，A项错误;由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由万有引力提供向心力有G=mArAω2，G=mBrBω2 ，联立解得mArA=mBrB，因为rA<rB，所以有mA>mB，其中rA+rB=L，mA+mB=M，T=，联立解得T=2π，由此式可知，若L一定，则M越大，T越小，若M一定，则L越大，T越大，B、C两项错误，D项正确。 　　(1)双星做圆周运动的圆心相同。 　　(2)双星做圆周运动的周期(或角速度)相同。 　　(3)双星做圆周运动的向心力大小相同，均等于彼此相互作用的万有引力。 考向2　多星模型 【典例4】　太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示):一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，两种系统的运动周期相同，引力常量为G，求三角形三星系统星体间的距离L。 解析　以左边的系统中的甲或者丙为研究对象，根据牛顿第二定律有 G+G=MR， 得T=4πR， 三星系统中任意星体所受合力为 F=2cos 30°G=G， 根据牛顿第二定律，有F=Mr， 根据题意，其周期与左边系统周期相同 T=4πR， 根据几何关系，轨道半径r与边长L的关系为L=r， 解得L=R。 答案　R 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$