22.1.1　二次函数 课件 —2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.1　二次函数的图象和性质 22.1.1　二次函数 第二十二章　二次函数 栏目导航 要点概览 探究新知 1.二次函数的概念 一般地,形如　 　(a,b,c是常数,a　 　)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,　 　是二次项系数,　 　是一次项系数, 　 　是常数项.  2.解析式中自变量的取值范围 一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x的取值范围是一切实 数.如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量,那么它的取值范围要受到实际意义的限制. 要点概览 y=ax2+bx+c ≠0 a b c 探究新知 探究点一　二次函数的定义 【例1】 指出下列函数中哪些是二次函数,如果是二次函数,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=2x+1;　 (2)y=2x2+1; (3)y=x(2-x); 解:(1)y=2x+1不是二次函数,是一次函数. (2)y=2x2+1,是二次函数,二次项系数是2,一次项系数是0,常数项是1. (3)y=x(2-x)=-x2+2x,是二次函数,二次项系数是-1,一次项系数是2,常数项是0. 4 (6)y=x2(x-1)-1=x3-x2-1不是二次函数. 5 判断二次函数的条件 (1)函数的解析式是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不等于0. 6 【新知巩固】 A D 探究点二　函数值与自变量的计算 【例2】 已知函数y=-4x2. (1)求当x=-1时的函数值; (2)求函数图象上纵坐标为-8的点的坐标. 解:(1)把x=-1代入y=-4x2,得y=-4. 【新知巩固】 4.二次函数y=x2-2x-4,当x=3时,函数y的值为　 　;当x=　 　时,函数y的值为-1.  5.已知二次函数y=ax2+3x,当x=2时,y=14.当x=-2时,求y的值. -1 3或-1 解:把x=2,y=14代入y=ax2+3x,得 14=4a+6,解得a=2. ∴y=2x2+3x. 把x=-2代入y=2x2+3x,得y=2. 探究点三　从实际问题中抽象出二次函数 【例3】如图所示,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为 20 cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合, △ABC以2 cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,求重叠部分的面积y (cm2)与时间t(s)之间的函数解析式. 由△ABC是等腰直角三角形可推出重叠部分也是等腰直角三角形,根据三角形的面积公式列出等式,用含一个量的关系式表示另一个量,求出二次函数解析式.需注意AM的值的求法. 【新知巩固】 6.x支球队参加足球比赛,每两队之间进行两场比赛.比赛的场次数y与球队数x之间的函数关系式为　 　.  7.某工厂前年的生产总值为100万元,今年的总产值为y万元,这两年的年平均增长率为x. (1)求y关于x的函数解析式; y=x2-x 解:(1)依题意,得y=100(1+x)(1+x), 即y=100(1+x)2. (2)当今年的总产值为144万元时,求年增长率x. 解:(2)当y=144时,100×(1+x)2=144, 解得x1=0.2,x2=-2.2(不符合题意,舍去). 答:当今年的总产值为144万元时,年增长率为20%. 谢谢观赏！ 15 (4)y=(x-1)2-; (5)y=; (6)y=x2(x-1)-1. 解:(4)y=(x-1)2-=x2-x+-=x2-x-2,是二次函数,二次项系数是,一次项系数是-1,常数项是-2. (5)y=不是二次函数. 1.下列y关于x的函数中,是二次函数的是( ) A.y=5x2 B.y=22-2x C.y=2x2-3x3+1 D.y= 2.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数的条件是( ) A.a≠0,b≠0,c≠0 B.a<0,b≠0,c≠0 C.a>0,b≠0,c≠0 D.a≠0 3.函数y=(m+2)+2x-1是关于x的二次函数,求m的值. 解:由题意可知解得m=2. (2)当y=-8时,-8=-4x2, 解得x=±, ∴纵坐标为-8的点的坐标是(,-8)和(-,-8). 解:∵△ABC是等腰直角三角形,∴重叠部分也是等腰直角三角形. 又∵AN=2t,∴AM=MN-AN=20-2t.∴MH=AM=20-2t. ∴重叠部分的面积为y=(20-2t)2=2t2-40t+200. $$