解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 最值与范围问题 考点一 中线问题 1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江台州·期中·多选）在中，设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为12 B．外接圆的周长是 C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是 4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在中，角、、的对边分别为、、， 已知 边上的中线，相交于点， 则直线的夹角为 . 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 6．（24-25高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 8．（24-25高三上·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 9．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 10．（24-25高三上·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，，，且. (1)若，求角； (2)若，，求边的中线的长； (3)若角的内角平分线的长为2，求的最小值. 11．（24-25高一下·广东·阶段练习）记△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)判断△ABC的形状； (2)若，，求△ABC内切圆的直径； (3)设AD为BC边上的中线，若，，求a. 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，边上的中线长为，求的面积. 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 考点二 角平分线问题 1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（    ） A． B．25 C． D．24 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知在中，角和角的角平分线交点为到的距离为2，的周长为4，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）已知中D在BC上，AD平分下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ． 6．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 7．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 8．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 9．（24-25高三上·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． (1)求； (2)若平分，求． 10．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且为边上的一点，且平分. (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 11．（2025·河南·三模）记的内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若平分交于点，且，求的最大值. 12．（2025·四川·模拟预测）在中，内角的对边分别为的面积满足： (1)求； (2)若平分，且，求． 13．（2024·山东·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. (1)求角的大小； (2)若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 14．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 考点三 高线问题 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 . 5．（24-25高三上·河北唐山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 6．（2024·四川成都·三模）在中，． (1)求的长； (2)求边上的高． 7．（24-25高三上·广东中山·期中）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 8．（2025·河北·三模）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且. (1)当的面积时，求的长； (2)当时，求边上的高. 考点四 最值与范围问题 1．（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习·多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则该三角形有一解 B．若，则该三角形有一解 C．周长有最大值12 D．面积有最大值 6．（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 7．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ． 8．（25-26高三上·广东·开学考试）中，为边上靠近点的三等分点，且，则长度的取值范围为 ． 9．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 10．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 11．（2025·辽宁·一模）在中，角所对的边分别是，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 12．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 13．（2025·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的周长； (2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围. 14．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 15．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，点在边上，且，且． (1)记，求的取值范围； (2)若的面积为，求的最小值． 16．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 最值与范围问题 考点一 中线问题 1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 3．（24-25高一下·浙江台州·期中·多选）在中，设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为12 B．外接圆的周长是 C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是 【答案】ABC 【详解】对于A，，解得， 故，故边上的高为， 故的面积为，故A正确， 对于B，由余弦定理得，而为三角形内角， 所以，外接圆的周长是，故B正确； 对于C，因为， 故 ， 故，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故， 故，故D不正确. 故选：ABC. 4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在中，角、、的对边分别为、、， 已知 边上的中线，相交于点， 则直线的夹角为 . 【答案】/90° 【详解】 ， ， 因为， ， ， ，即. 故答案为： 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 【答案】 【详解】由,结合正弦定理边化角得： ， 再由三角形内角和定理得：， 即， 因为，所以，即可得， 又因为，所以, 在中，，，可知三角形的外接圆半径为， 故点B的轨迹是以为弦，所对角的圆弧，且是优弧， 由平面几何知识得，当边上的中线就是边上的高， 即当且仅当时，最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以， 即； （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得， ， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为. 8．（24-25高三上·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【详解】（1）（i）由题意知：，所以， 由， 解得；    （ii）设点是的中点，连接，则，， 则 .    （2）设， 由， 则根据余弦定理得，， 化简得：，① 在中，根据余弦定理得，，② 由①②得：，解得或（舍去）， 从而，即，由正弦定理可得，解得， 因为是三角形的内角，所以，则．    9．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1） 证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，，所以， 所以， 即，得证． （2）在中，由余弦定理得：， 在中由余弦定理得：，则． 10．（24-25高三上·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，，，且. (1)若，求角； (2)若，，求边的中线的长； (3)若角的内角平分线的长为2，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）由利用正弦定理可得； 又，因此可得， 又，可得； 由利用正弦定理可得； 即，因此， 即，可得； 所以. （2）设的外接圆半径为， 由可得； 即，又，因此可得； 由利用正弦定理可得，可得，如下图： 易知，且； 因此， 因此边的中线的长为 （3）若角的内角平分线的长为2， 由等面积法可得， 即，可得， 即， 又，所以； 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18. 11．（24-25高一下·广东·阶段练习）记△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)判断△ABC的形状； (2)若，，求△ABC内切圆的直径； (3)设AD为BC边上的中线，若，，求a. 【答案】(1)等腰三角形． (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可得， 又A，B，C为△ABC的内角，故． 代入可得， 也即，即. 又，，则，故△ABC为等腰三角形． （2）由正弦定理可得， 故， 故△ABC的周长，面积， 由等面积法可得其内切圆半径， 故△ABC内切圆的直径为. （3）在△ABC中，有， 化简得. 在△ABD中，有， 且， 即， 代入解得. 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，，所以， 又因为，，所以，. （2）在中，因为，， ，由余弦定理可得：， 即，解得，所以， 所以. 13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）设，则， 在中，， 在中，， 在中，为中线，则，， 则，化简可得， 由，则，解得， 所以. （2）由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，出余弦定理得 ， 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以． 故的长为2． 考点二 角平分线问题 1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（    ） A． B．25 C． D．24 【答案】A 【详解】由， 又， ， ， ， 当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值. 故选：A. 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设, ， 所以, 所以 故选：D. 3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知在中，角和角的角平分线交点为到的距离为2，的周长为4，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 角和角的角平分线交点为到的距离为2， 所以点为的内心，且点到各边的距离都为， 的周长为4，所以， 所以的面积为：， 又因为，所以，解得：， . 故选：A. 4．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）已知中D在BC上，AD平分下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，已知 因此，选项A正确； 对于B，由A知， 故故B正确； 对于C，根据角平分线定理，在中，若AD平分且交BC于D，则 已知代入得：⟹ 因此，C选项中是错误的．故C不正确； 对于D，由余弦定理可知： 平分 在中，由正弦定理可得： 故故D正确． 故选： 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ． 【答案】 / 【详解】由题意，平分交于且， 可得，即， 整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值， 因为，即， 又因为，所以，即， 因为，解得，因此． 故答案为：；.    6．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 7．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，垂足为， 在中，， 在中，， 因为AD平分， 所以，于是有， 因此有； （2）因为D为BC上靠近B的三等分点， 所以， 因为， 所以 8．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， ， 因为，所以， 化简得 由余弦定理得，又，所以. （2）由题意，，又，所以 则. 9．（24-25高三上·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． (1)求； (2)若平分，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 因为，所以，所以，即． 又因为，所以． （2）因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以． 由余弦定理得，所以． 10．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且为边上的一点，且平分. (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， ∵，∴， ∴，故，即， ∵，∴， ∴，故. （2） ∵为的平分线，∴. ∵，∴， ∵，∴， 由得，，由得，当且仅当时，等号成立，， 在中，由余弦定理得，， 令，则， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，，故， ∴周长的最小值为. 11．（2025·河南·三模）记的内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若平分交于点，且，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由正弦定理及， 得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以， 又，所以. （2）解：由平分，则， 因为， 即，整理可得， 又因为， 则， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 12．（2025·四川·模拟预测）在中，内角的对边分别为的面积满足： (1)求； (2)若平分，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，根据三角形面积公式，将其代入已知条件可得： 由正弦定理得： 因为，所以，，等式两边同时除以得 因为，所以，等式两边同时除以得： 即，所以.又因为，所以. （2）因为，所以. 又因为CD平分，所以. 根据三角形面积公式，可得，即. 在中，根据余弦定理，将，代入可得：，化简得 在中，根据余弦定理，将，代入可得：，即， 在中，根据余弦定理，将代入可得：，即， 因为，所以，即，则有： ，即，即， 解得.将代入可得，所以. 13．（2024·山东·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. (1)求角的大小； (2)若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选择①，则因为， 由正弦定理得， 所以，即， 从而， 因为，所以． 若选择②则：因为， 由正弦定理得， 又由余弦定理， 从而， ，所以． 若选择③则：因为，所以， 由正弦定理得， 整理得，所以 因为，所以， 所以，所以. （2）如图：在中，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以． 14．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得，即， 则，而，解得，又， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得，， 则，令，， 在中，由余弦定理得， 解得，因此，， 令，求导得，函数在上单调递减， 则，所以的最小值为. 考点三 高线问题 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. 2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得，，代入， 可得， 化简得， 两边同时除以得，， 一方面，， 其中，，当时等号成立； 另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立， 依题可得：，此时且， ，，，， ，， 由余弦定理，，又，， 联立解得，， 设边上的高为，则， 故，即边上的高为. 故选：B. 3．（2025·河南·模拟预测·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 【答案】AB 【详解】对A，已知，由正弦定理得到， 因为， 代入上式可得：， ，因为，所以，得到，则，故选项 A正确. 对B，由，且，因为，，所以， 可得，. 已知，由正弦定理得，则，. ， 因为，所以. 设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确. 对C，因为，，，根据勾股定理， 的周长为，故选项C错误. 对D，的面积，故选项D错误. 故选：AB. 4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 6 4 【详解】若，由， 所以，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为6. 若，，解得, 由余弦定理得， 整理得， ，当时，取得最大值4. 故答案为：6，4. 5．（24-25高三上·河北唐山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，结合正弦定理角化边得： 又由，代入，得：，解得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由的面积为，则，解得：， 又因为，代入解得：，，代入得，， 所以设边上的高为，则，解得：, 故边上的高为. 6．（2024·四川成都·三模）在中，． (1)求的长； (2)求边上的高． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）由题，，，，由余弦定理得， ，解得，即. （2）在中，，，设边上的高为， 则，即，解得. 所以边上的高为. 7．（24-25高三上·广东中山·期中）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， 由正余弦边角关系得，①， 又，②           由①②得，， ∴，∴ （2）由（1）得，， ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴，设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为． 8．（2025·河北·三模）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且. (1)当的面积时，求的长； (2)当时，求边上的高. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）， 由余弦定理得， 由，得， 解得或， 由题知， 当时，由余弦定理得， 则，即； 同理当时，， 综上所述，或. （2）， ， 即， 联立，可得，即， 解得边上的高为. 考点四 最值与范围问题 1．（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， ， 由解得. ， 由于三角形是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：A 2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据三角形三边关系可得， 即， 由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增； 即，可得,所以. 故选：B 3．（2024·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中， 由余弦定理可得： ，整理可得， 又，则， ，，则， 可得，则，即， 故选：C 4．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 5．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习·多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则该三角形有一解 B．若，则该三角形有一解 C．周长有最大值12 D．面积有最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得， 由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，A正确； 对于B，同理，由，可得， 由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，B错误； 对于C，由， 得． 故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为， 此时三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，由C推导过程知， 即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故D正确， 故选：ACD 6．（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 【答案】AB 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 7．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，则，故, 由是的内角，则, 所以, 由正弦定理，, 由是锐角三角形， 所以且, 解得或(舍去), 令,设, 当时，单调递增，故, 而,故. 故答案为：. 8．（25-26高三上·广东·开学考试）中，为边上靠近点的三等分点，且，则长度的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，则，，      又，即， 因为为边上靠近点的三等分点，设， 在中，根据正弦定理，即， 变形得：①，      在中，根据正弦定理，即， 变形得：②，      又， 由①②得，， 在中，由余弦定理, 在中，由余弦定理    , 又， 有，代入得： ， 在中，由余弦定理， ，       整理得：，      又， 所以 ，      令，      则， ， 而对勾函数在单调递增， 所以，那么， 则 即， 那么线段. 故答案为：. 9．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 10．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，即， ∴，则或（舍）， ∴， 当，由，可得. （2）由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 11．（2025·辽宁·一模）在中，角所对的边分别是，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. （2）由余弦定理得： ，代入得：， 根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立， 的面积为：，故面积的最大值为. （3） 令，则， 所以可化为： 因为， 由二次函数的图像性质得到， 当时，原式大于， 当时，原式取得最大值， 故的取值范围为 12．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 13．（2025·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的周长； (2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增， ，即的取值范围是. 14．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）因 ， 利用正弦定理：整理得 由于故 （2）由于利用余弦定理： ， 所以利用基本不等式： 整理得：，(当且仅当 时，等号成立） 所以 故三角形的周长的最大值为 15．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，点在边上，且，且． (1)记，求的取值范围； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以； （2）由余弦定理得， 因为，所以，因为，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值的最小值为8． 的最小值为 16．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得， 代入上式，可得， 因为，可得，所以， 又因为，所以． （2）①若，则即是高线又是角平分线，且， 所以等边三角形， 如图：延长交于. 因为为的垂心，所以也是的外心和重心. 因为，可得，，所以，所以. 所以的面积为. ②如图：延长交于，连接并延长交于. 因为为垂心，所以，. 又因为，所以，. 因为，且，则，， 又因为，， 则， 因为，可得， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以取得最大值. 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$