精品解析：江苏省南京市旭东中学2024-2025学年下学期八年级第二次月考数学试题

八年级数学5月核心素养作业单 一、选择题（本大题共8小题；每小题2分，共16分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论中正确的是（ ）． A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件 D. “打开电视，播放体育赛事”是必然事件 4. 当，下列分式的化简结果为的是（ ）． A. B. C. D. 5. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，，是的中位线，的平分线交于点F，则线段的长为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 8. 下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 10. 分式、的最简公分母是______． 11. 计算的结果是__________． 12. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 13. 柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为______．（精确到） 14. 点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系：______．（填“”、“”或“”） 15. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 16. 已知关于的分式方程有增根，则m的值为______． 17. 如图，在中，将顶点沿中位线翻折，使其恰好落在边上的点处，连接．下列结论：①；②是的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是面积的一半．其中所有正确结论的序号为__________． 18. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，列出频数分布表并画出了部分扇形统计图． 等车时间（） 频数 5 6 9 10 10 （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）补全扇形统计图； （3）若车站每天进站的旅客约有5万人，请估计其中等车时间超过20分钟的旅客人数． 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为__________． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为______； （3）若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 25. 常态化疫情防控以来，某社区核酸检测点数量由去年的2个增加到今年的6个，假设每个检测点的工作效率相同，该社区今年检测1200人的时间相比去年节省了2小时．求该社区一个检测点每小时可检测多少人？ 26. 已知，试说明． 27. 【探索发现】 （1）在中，是对角线，求证：，如图①，过点分别作，垂足为，设，，证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在中，是边上的中线． ①若，求的长；（用含的代数式表示） ②若是的中点，连接，当时，则______． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点，点和直线，在直线上求作一点，使的值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） 　　　　　　　　　　　　　 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学5月核心素养作业单 一、选择题（本大题共8小题；每小题2分，共16分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3. 下列结论中正确的是（ ）． A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件 D. “打开电视，播放体育赛事”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可． 【详解】解：A、为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取抽样调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意； B、嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意； C、“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件，结论正确，符合题意； D、“打开电视，播放体育赛事”是随机事件，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 4. 当，下列分式的化简结果为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； B．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 6. 如图，在中，，是的中位线，的平分线交于点F，则线段的长为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，等腰在三角形的判定．根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，利用勾股定理得到，利用折叠的性质可知于点，，进而得到，设，则，利用勾股定理建立等式求解，得到，再利用勾股定理算出，即可得到折痕的长． 【详解】解：连接交于点， 四边形为矩形，， ，，， ， ， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，于点， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．根据勾股定理列出方程是解题关键． 8. 下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查看函数图象，中心对称图形，画出函数的图象，再根据中心对称图形的定义判断即可求解，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】解：函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； ∴图象是中心对称图形的是， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 【答案】x≠-2． 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠-2， 则x的取值范围是：x≠-2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 10. 分式、的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为：． 11. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，原式先化简，，然后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为： 12. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，由可得，利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 13. 柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此可估计柑橘损坏率大约是． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右， 所以可估计柑橘损坏率大约是， 故答案为：． 14. 点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图像上，且， ∴． 故答案为： 15. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12厘米． ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB=6厘米． ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线． ∴EF=AB=3厘米． 故答案为：3 16. 已知关于的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，． 故答案为：4． 17. 如图，在中，将顶点沿中位线翻折，使其恰好落在边上的点处，连接．下列结论：①；②是的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是面积的一半．其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形中位线性质，菱形的判定，根据折叠的性质，菱形的判定，三角形中位线性质，以及三角形面积公式，逐条分析判断，即可解题． 【详解】解：记交于点， 由折叠的性质可知，于点， ， 是的中位线， ， ，即①正确； 是的中位线， ， ，， 四边形的面积是面积的一半．即④正确； 根据已知条件推不出②是的中位线；③四边形是菱形； 所有正确结论的序号为①④， 故答案为：①④． 18. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，可得，进而由的面积为得到，即可求出的值，再代入计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵轴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上 ∴， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次根式的运算法则进行计算即可； （）利用平方差公式进行计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式， ， ， ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值步骤是解题的关键．先根据分式的化简步骤化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 22. 某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，列出频数分布表并画出了部分扇形统计图． 等车时间（） 频数 5 6 9 10 10 （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）补全扇形统计图； （3）若车站每天进站的旅客约有5万人，请估计其中等车时间超过20分钟的旅客人数． 【答案】（1）40 （2） 补全扇形统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，画扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用的人数除以其所占百分比即可解题； （2）分别得到与的所占百分比，画出图形即可； （3）利用总人数乘以等车时间超过20分钟的所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 【小问3详解】 解：（人）， 答：其中等车时间超过20分钟的旅客有人． 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为__________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，于是得出，再根据得出四边形是平行四边形，于是问题得证； （2）连接与交于点F，先证是等边三角形，根据勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于对角线长的积的一半求出其面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接与交于点F， 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为______； （3）若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式和反比例函数解析式，利用交点求不等式取值范围，反比例函数图象和性质及几何结合问题． （1）把代入中得：，即，再将代入中得：，将，代入中即可求得一次函数解析式； （2）将反比例函数和一次函数联立求出交点坐标再结合图象即可得到本题答案； （3）设点，则点，则表示出的面积，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴把代入中得：，即， ∴反比例函数解析式为：， 再将代入中得：， ∴， 即： 将，代入中得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）得：和， ∴， 解得：或， ∵根据图像可知： 在交点的右侧符合，即， 在交点和轴之间符合，即， 综上所述：不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设点，则点， 则的面积为： ， 解得：或或， 再把上述的的值分别代入，算出的值分别是 即点的坐标为：． 25. 常态化疫情防控以来，某社区核酸检测点数量由去年的2个增加到今年的6个，假设每个检测点的工作效率相同，该社区今年检测1200人的时间相比去年节省了2小时．求该社区一个检测点每小时可检测多少人？ 【答案】200人 【解析】 【分析】设该社区一个检测点每小时可检测x人，根据等量关系：去年检测1200人的时间−今年检测1200人的时间=2，列出分式方程即可求解． 【详解】设该社区一个检测点每小时可检测x人． ，解得： 经检验，是所列方程的解且满足题意． 答：该社区一个检测点每小时可检测200人． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系并列出方程是本题的关键．注意方程要检验． 26. 已知，试说明． 【答案】 解：∵ ， 又，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】利用作差法，结合完全平方公式可得原式，再根据各部分的符号可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了分式的加减，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解答本题的关键． 27. 【探索发现】 （1）在中，是对角线，求证：，如图①，过点分别作，垂足为，设，，证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（用含的代数式表示） 【性质运用】 （2）如图②，在中，是边上的中线． ①若，求的长；（用含的代数式表示） ②若是的中点，连接，当时，则______． 【拓展探究】 （3）如图③，已知点，点和直线，在直线上求作一点，使的值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） 　　　　　　　　　　　　　 【答案】（1）；；；；（2）①；②4； （3）作点和点作直线的垂线，垂足为，再作线段的中点，则点即为所作， 设，，，，， 在中，，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，此时． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，平行四边形的性质结合全等三角形的判定和性质即可填空； （2）①延长至点，使，得到四边形是平行四边形，由（1）得，再代入数据计算即可求解； ②在中，由①的结论整理得，在中，由①的结论整理得，据此计算即可求解； （3）作点和点作直线的垂线，垂足为，再作线段的中点，则点即为所作，利用非负数的性质即可得解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）①延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； ②在中，是边上的中线， 由①得， ∴， 在中，是边上的中线， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （3）略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，全等三角形的判定和性质，完全平方公式．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $