7.1　为什么要证明 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.1　为什么要证明 学习目标 1.知道通过观察、猜测得到的结论不一定正确 2.知道要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理 3.明白通过观察得到的结论不一定正确，初步了解推理的必要性 2 2.要点精析： (1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的； (2)图形的性质并不都是通过测量得出的； (3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立； (4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质． 总结归纳 3 核心知识点二 检验数学结论的常用方法 一、 实验验证法 线段a与线段b比较谁更长？ a b 解：视觉上看，我们感觉线段a比线段b长一点，但用直尺来测量两条线段的长度，我们发现线段a与线段b一样长. a 4 【解后思考】有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论． 5 二、举出反例法 我们知道：2×2＝4，2＋2＝4. 试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5，因为6≠5，所以不是对于任意数a与b，都有结论a×b＝a＋b. 【解后思考】通过举反例，找出使a×b＝a＋b不成立的a，b的值，就可以得出答案．举出反例是判断一个结论错误的最好方法． 6 验证结论的常用方法 (1)实验验证法; (2)举反例法; (3)推理论证法. 其中实验验证法用于检验一些比较简单的结论; 举反例用于说明结论不正确; 推理论证主要用于严格的推理证明. 总结归纳 7 知识点一：证明的必要性 1. (1)观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段； (2)直觉有时会产生错误；图形的性质并不都是通过测量得到；少数具体例子成立时，不一定一般情况下成立； (3)观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的________． 证明 自学自研 2. 先观察再验证(如图)： (1)图①中线段a和线段b哪个长？ (2)图②中实线是直的还是弯曲的？ (3)图③中两条线段a与b哪一条更长？ 解：观察可能得出的结论是： (1)a比b长 (2)图中的实线是弯曲的 (3)图中a更长一些 用科学的方法验证可发现： (1)a与b一样长 (2)图中的实线是直的 (3)a与b一样长 知识点二：检验数学结论常用的方法 3. (1)检验数学结论的常用方法有实验验证、举出反例、推理等； (2)要说明一个数学结论是正确的，需要严格的推理证明； (3)举反例可用于说明某个数学结论不正确． 4. 下列说法正确的是( ) A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系 C．对于自然数n，n2＋n＋3一定是质数 D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2 D 【典例导引】 5. 【例1】某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( ) A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多 C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定 C 导学导练 【变式训练】 6. 甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 D 7. 【例2】若要说明“若a＞b，则a2＞b2”是错误的，下列所举的例子正确的是( ) A．a＝2，b＝1    B．a＝－2，b＝－1 C．a＝－1，b＝－2    D．a＝－1，b＝1 C 8. 若要说明“若a＋b＜0，则a＜0，b＜0”是错误的，能说明它的例子是( )  A．a＝6，b＝8    B．a＝－6，b＝8 C．a＝6，b＝－8    D．a＝－6，b＝－8 C 9. 【例3】在学习中，小明发现： 当n＝1，2，3时，n2－4n的值都是负数， 于是小明猜想： 当n为任意正整数时，n2－4n的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 解：小明的猜想不正确， 理由：当n＝5时，n2－4n的值为5，就是非负数 10. 观察下列各式规律：①52－22＝3×7； ②72－42＝3×11； ③92－62＝3×15 …… 根据上面等式的规律： (1)写出第6和第n个等式； (2)你能用数学方法验证第n个等式的正确性吗？ 解：(1)第6个等式为：152－122＝3×27； 第n个等式为：(2n＋3)2－(2n)2＝3(4n＋3) (2)∵左边＝4n2＋12n＋9－4n2＝12n＋9＝3(4n＋3)＝右边， ∴第n个等式正确 课堂小结 为什么要证明 推理证明的必要性：数学的结论必须经过严格的论证 检验数学结论的常用方法： 实验验证 举出反例 推理论证 20 $$