21.4 二次函数的应用 同步练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.4 二次函数的应用 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 2.我们常用“随的增大而增大或减小”来表示两个变量之间的变化关系有这样一个情境：如图，小王从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他与路灯的距离随他与点之间的距离的变化而变化下列函数中与之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是(    ) A. B. C. D. 3.某商家代销一种产品，销售中发现每件售价元时，日销售量为件，当每件产品下降元时，日销售量增加件．已知每售出件产品，该商家需支付厂家和其他费用共元，设每件产品售价为元，商家每天的利润为元，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 4.某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知某种产品的成本价为元千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量千克与销售价元千克有如下关系：设这种产品每天的销售利润为元，则与之间的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 6.正方形的面积单位：与周长单位：之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 7.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 8.如图是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某商品原利润为元件，涨价元后利润为          元件，原来每月可卖出件，若每涨价元，每月就少出售件，涨价元后每月出售该商品的总利润元与之间的函数关系式为          ． 10.如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为          ． 11.某校九班共有名学生，在毕业典礼上每两名学生都握一次手，共握手次，试写出与之间的函数关系式为          它          填“是”或“不是”二次函数． 12.已知一个菱形两条对角线的长的和为，设其中一条对角线的长为，菱形的面积为，则与之间的函数关系式为          ，自变量的取值范围是          ． 13.某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为___________． 14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为          ． 15.用一根长厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为厘米，面积为平方厘米，则关于的函数解析式是______． 16.如图，在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动；点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，设点运动的时间为单位：秒，的面积为则关于的函数表达式为______． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知直角三角形的一个锐角是，写出它的面积与斜边长之间的函数表达式，并指出自变量可以取值的范围． 18.本小题分 设人民币一年定期储蓄的年利率是，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果本金是元，写出两年后的本息之和元与年利息之间的函数表达式． 19.本小题分 周长为的矩形，若它的一边长是，面积是 请用含的式子表示，并指出常量与变量； 当时，求的值． 20.本小题分 一块正方形草地的边长是，若将一边的长增加，另一边的长减少，得到一个新矩形，设新矩形的面积为． 写出与之间的函数关系式； 是的二次函数吗？若是，请写出二次项系数与一次项系数． 21.本小题分 如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为这时．拱高点到的距离为． 你能求出在图的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ 如果将直角坐标系建成如图所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？ 22.本小题分 某商店经销的一种进价为每件元的运动休闲衫热销据市场调查分析，若每件按元销售出件；销售单价每涨价元，月销售量就减少件针对这种运动休闲衫的销售情况，请解答以下问题： 设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与之间的函数关系式不必写出的取值范围； 商店想使月销售利润达到元，并使销售量尽量大，请问该休闲衫的销售单价应定为多少元？ 23.本小题分 如图，在矩形中，，，是边上一动点，以的速度从点出发，到停止运动；是边上一动点，以的速度从点出发，到点停止运动设动点运动的时间为，下的面积为求关于的函数表达式，并求自变量的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】解：由题意，得 从到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加． A、随的增加而减少，与题意不符，故A错误； B、随的增加而减少，与题意不符，故B错误； C、当时，随的增加而减少；当时，随的增加而增加，故C正确； D、当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减少，故D错误； 故选：． 根据从到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加，可得答案． 本题考查了函数的性质，熟记一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：由题意，每件产品售价为元， 每件盈利元， 又每天的销售量为件， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为米，则平行墙的边长为米， 面积， 故选：． 5.【答案】  【解析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出与之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：正方形的周长为 正方形的边长为， 正方形的面积， 故选：． 7.【答案】  【解析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：，， ， 设抛物线解析式为：， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：． 故选：． 直接根据题意得出点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案． 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确得出点坐标是解题关键． 9.【答案】    【解析】略 10.【答案】  【解析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长，由长方形面积即可得到函数式． 【详解】解：由题意知，， ； 故答案为：． 11.【答案】 是   【解析】解：设有人， 由题意可得：，是二次函数， 故答案为；是． 12.【答案】     【解析】略 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【解答】 解：根据题意得出： ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：由题意知，长方形的另一边长为厘米， 则面积， 故答案为： 易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积． 本题考查列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点． 16.【答案】  【解析】解：秒，秒， 点，同时到达终点， 当运动时间为秒时，，，， ， ， 即． 故答案为：． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点的时间，当运动时间为秒时，，，利用三角形的面积公式，即可得出关于的函数表达式． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数表达式是解题的关键． 17.【答案】解：如图所示，在中，， ，， ， ． ． 它的面积与斜边长之间的函数表达式为． 自变量可以取值的范围是．   【解析】见答案 18.【答案】解：元本金一年到期后的本息和是元，元本金一年到期后的本息和是元， ． 两年后的本息之和元与年利率之间的函数表达式是，其中．   【解析】见答案 19.【答案】【小题】 解：， 周长是常量；一边，面积是变量． 【小题】 当时， ．   【解析】  根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出与之间的关系式；   代入数值求的值． 20.【答案】解：根据题意得，； 是的二次函数，理由如下： ， 是的二次函数， 它的二次项系数为，一次项系数是．  【解析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式以及二次函数的定义，熟练掌握定义是关键． 直接根据题意列出函数关系式即可； 根据二次函数的定义解答即可． 21.【答案】解：设该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； 设该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， 解得：，． 该抛物线的解析式是， 与抛物线比较，形状不变、表达式有变化．  【解析】由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； 由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把，代入求出、的值即可． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 22.【答案】解：当销售单价定为每千克元时，月销售量为：件． 每件的销售利润是：元， 所以月销售利润为：， 与的函数解析式为：； 由题意得， 解得，． 因为要使使销售量尽量大，所以只能取， 答：销售单价应定为元．  【解析】根据“销售单价每涨元，月销售量就减少件”，可知：月销售量销售单价，然后根据月销售利润每件的利润销售的数量即可求出与之间的函数关系式； 将代入中所求的函数关系式，得到关于的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是能正确表示出月销售量． 23.【答案】解：当运动时间为时，，，，， 根据题意得： ， ， ， 关于的函数表达式为．  【解析】当运动时间为时，，，，，利用，可得出关于的函数关系式，再结合点，不重合及，非负，即可得出自变量的取值范围． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 第6页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$