专题3.1 圆（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题3.1 圆 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆的定义 1 【题型1】圆中弦的条数 2 【题型2】直径是圆的最长的弦 2 知识点（二）圆的基本概念 3 【题型3】弦、弧辨析 3 知识点（三）同一平面内点和圆的位置关系 4 【题型4】判断点和圆的位置关系 4 【题型5】利用点和圆的位置求半径 4 知识点（四）确定圆的条件 5 【题型6】外接圆、外心辨析 6 【题型7】利用点和圆的位置求半径 6 知识点（五）三角形外心的位置 7 【题型8】三角形外心位置 7 【题型9】利用外心位置判断三角形形状或半径 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（16题）】 9 【能力提升（16题）】 11 【中考真题10题】 15 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆的定义 圆的定义：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做圆的半径.以点为圆心的圆，记做“⊙”，读做“圆”.如图1，连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，显然，直径是半径的2倍，而且直径是圆中最长的弦. 【题型1】圆中弦的条数 【例题1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【题型2】直径是圆的最长的弦 【例题2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【变式1】（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    知识点（二）圆的基本概念 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.小于半圆的弧叫做劣圆，劣弧用符号“”和弧两端的字母表示，如图1的劣弧记作，读做“弧”；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图2，为端点的优弧记做，读作“弧”. 等圆与等弧:半径相等的两个圆能够完全重合.我们把半径相等的两个圆叫做等圆.如图3，⊙与⊙就是两个等圆.类似地,我们把能够重合的圆弧称为相等的弧。 【题型3】弦、弧辨析 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 知识点（三）同一平面内点和圆的位置关系 一般地，如果用表示圆的半径，表示同一平面内点到圆心的距离，如图4所示：点和圆有三种位置关系： 点在圆外，如图，点A在圆外； 点在圆上，如图，点B在圆外； 点在圆内，如图，点C在圆内. 【题型4】判断点和圆的位置关系 【例题4】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【题型5】利用点和圆的位置求半径 【例题5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． （1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； （2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【变式2】（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点引入：经过一个已知点可以作多少个圆？经过两个已知点可以作多少个圆？经过不在同一直线上的三个点可以作多少个圆？ 如图5，图6，图7可知：经过一个已知点和两个已知点可以作无数个圆，经过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.由此我们得到以下的结论： 知识点（四）确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图7，是☉内接三角形，☉是外接圆，点是的外心. 【题型6】外接圆、外心辨析 【例题6】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 【题型7】利用点和圆的位置求半径 【例题7】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． （1）若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 知识点（五）三角形外心的位置 通过探究发现： 通过作图探究发现1.锐角三角形外心在三角形内部；2.直角三角形外心是斜边的中点；3.钝角三角形外心在三角形外. 图8 图9 图10 【题型8】三角形外心位置 【例题8】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【题型9】利用外心位置判断三角形形状或半径 【例题9】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 3．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 10．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    11．（2025·浙江宁波·模拟预测）等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则 ． 12．（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 14．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 16．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 5．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成．若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 6．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 9．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为 ． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点在正方形的边上，，点为正方形所在平面内一点，连接，．，的最大值为，的最小值为，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 14．（2025·河南·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． （1）请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． （1）以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 16．（2025·江西·模拟预测）课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 3．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 二、填空题 6．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 9．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 10．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 圆 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆的定义 1 【题型1】圆中弦的条数 2 【题型2】直径是圆的最长的弦 3 知识点（二）圆的基本概念 5 【题型3】弦、弧辨析 5 知识点（三）同一平面内点和圆的位置关系 7 【题型4】判断点和圆的位置关系 7 【题型5】利用点和圆的位置求半径 9 知识点（四）确定圆的条件 11 【题型6】外接圆、外心辨析 12 【题型7】利用点和圆的位置求半径 13 知识点（五）三角形外心的位置 15 【题型8】三角形外心位置 16 【题型9】利用外心位置判断三角形形状或半径 18 二. 同步练习 20 【基础巩固（16题）】 20 【能力提升（16题）】 30 【中考真题10题】 43 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆的定义 圆的定义：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做圆的半径.以点为圆心的圆，记做“⊙”，读做“圆”.如图1，连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，显然，直径是半径的2倍，而且直径是圆中最长的弦. 【题型1】圆中弦的条数 【例题1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 解：弦为、、． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【题型2】直径是圆的最长的弦 【例题2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【变式1】（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键． 根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答． 解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长， 由图（b）得，最长时为6，此时， ， ， 此时点路程为90度的弧， 点从点运动到点的弧度为270度， 运动时间为， 故选：B． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 解：取的中点O，连接，    ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 知识点（二）圆的基本概念 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.小于半圆的弧叫做劣圆，劣弧用符号“”和弧两端的字母表示，如图1的劣弧记作，读做“弧”；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图2，为端点的优弧记做，读作“弧”. 等圆与等弧:半径相等的两个圆能够完全重合.我们把半径相等的两个圆叫做等圆.如图3，⊙与⊙就是两个等圆.类似地,我们把能够重合的圆弧称为相等的弧。 【题型3】弦、弧辨析 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键．根据圆的相关概念逐项分析即可． 解：A．在同一个圆中，直径是最长的弦，正确；     B．能够重合的弧是等弧，故不正确； C．直径是弦，但弦不一定是直径，故不正确；     D．半圆是弧，弧不一定是半圆，故不正确； 故选A． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【答案】B 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 解：A、弦不一定是直径，原命题是假命题，不符合题意； B、直径是弦，是真命题，符合题意； C、弧不一定是半圆，原命题是假命题，不符合题意； D、半圆一定是弧，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 知识点（三）同一平面内点和圆的位置关系 一般地，如果用表示圆的半径，表示同一平面内点到圆心的距离，如图4所示：点和圆有三种位置关系： 点在圆外，如图，点A在圆外； 点在圆上，如图，点B在圆外； 点在圆内，如图，点C在圆内. 【题型4】判断点和圆的位置关系 【例题4】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】点D在内，点E在外；见分析 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，由，，，得，由，分别是，的中点，得，得点在内；由，得，得点在外，解题的关键是正确计算判断． 解：点D在内，点E在外，理由如下： ，，， ， ，分别是，的中点， ， 点在内； ， ， 点在外． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得． 解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴点在内， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在外 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用．注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 解： ， ， 解得， 点到圆心的距离， 的半径是4， 在外， 故答案为：在外． 【题型5】利用点和圆的位置求半径 【例题5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． （1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； （2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 解：（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 【变式2】（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 知识点引入：经过一个已知点可以作多少个圆？经过两个已知点可以作多少个圆？经过不在同一直线上的三个点可以作多少个圆？ 如图5，图6，图7可知：经过一个已知点和两个已知点可以作无数个圆，经过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.由此我们得到以下的结论： 知识点（四）确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图7，是☉内接三角形，☉是外接圆，点是的外心. 【题型6】外接圆、外心辨析 【例题6】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可． 解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确． 故选：C． 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆和圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆和三角形的外心是三边垂直平分线的交点求解即可． 解：A、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故一个三角形有且只有一个外接圆，正确； D、一个圆有无数个内接三角形，故错误． 故选：C． 【题型7】利用点和圆的位置求半径 【例题7】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的基本性质、点到圆的距离等知识，根据题意，结合点与圆的位置关系得到题目描述的情形，分类作出图形，数形结合，列式求解即可得到答案，熟记点与圆的位置关系是解决问题的关键． 解：根据点与圆的位置关系可知，当点在圆上时，点到圆的距离为， 平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为， 点不可能在圆上，即点在圆内或圆外， 当点在圆内时，如图所示： 圆的半径为； 当点在圆外时，如图所示： 圆的半径为； 综上所述，圆的半径为或， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 【变式2】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． （1）若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】（1）点在内，点在外，点在上；（2） 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 解：（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点拨】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 知识点（五）三角形外心的位置 通过探究发现： 通过作图探究发现1.锐角三角形外心在三角形内部；2.直角三角形外心是斜边的中点；3.钝角三角形外心在三角形外. 图8 图9 图10 【题型8】三角形外心位置 【例题8】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 【题型9】利用外心位置判断三角形形状或半径 【例题9】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 3．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 4．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 5．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质； 连接，求出半径，可得，，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案． 解：连接， ∵，， ∴， ∴, ∴，， ∴, 又∵， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可． 解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 10．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 11．（2025·浙江宁波·模拟预测）等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再分点D在上和点D在上两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 解：∵，， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 12．（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键． 连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解． 解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， 延长交于点，此时最大，， ∵，此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 三、解答题 13．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据直角三角形的两锐角互余即可得解。 ，从而得到答案． 解：连接． ， ． ， ． ． ， ． ，即． ． 14．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解． 解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点O作于点于点H，连接，则可证明，则，再证明，则，继而得以求证． 解：证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 16．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见分析 【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 解：证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义，三角形外形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义，三角形外形的性质一一判断即可． 解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意； ②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意； ③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误，符合题意； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误，符合题意； 故不正确的有①②③⑤， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 5．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成．若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出．得到，代入得到，则，即可求出答案． 解：由题意可得，． ∴, 将代入抛物线，， 解得， ∴, ∴ ． 故选：C 6．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可； 解：在矩形中， ∴ ∵点A在上， ∴的半径为5， ∵如果与相交， ∴的半径r满足， ∵点B在内， ∴， ∴ 【点拨】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点在正方形的边上，，点为正方形所在平面内一点，连接，．，的最大值为，的最小值为，则的值为 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，圆外一点与圆上各点之间距离的最值，勾股定理的应用，证明在以为圆心，为半径的上，当共线时，最短，最长；过作于，再进一步求解即可. 解：如图， ∵， ∴在以为圆心，为半径的上， 当共线时，最短，最长； 过作于， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了圆的概念与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．连接，，由，与平分可得相关角的关系，从而证得，根据全等三角形的性质即可求解． 解：证明：连接，，如图， ∵，， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·河南·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． （1）请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 【答案】（1）见分析；（2）圆形花坛的面积为平方米 【分析】本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径； （1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆； （2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积． 解：（1）解：如图，即为苗圃的位置． （2）∵，米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为米． ∴圆形花坛的面积为平方米． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． （1）以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】（1）点在圆A上，点在圆A内，在圆A外；（2） 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 解：（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 16．（2025·江西·模拟预测）课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 解：（1）．理由如下： 在和中， ， ． 又于点，于点，即分别是边上的高， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点拨】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 3．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点拨】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点拨】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题 9．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见详解；（2）证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 解：（1）解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点， ∴点即为所求点的位置； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 10．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 解：（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$