02 常用逻辑用语专项训练-2026届高三数学一轮复习

2.1　常用逻辑用语（学生版）【练习卷】 一、单项选择题 1．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 3．已知命题p：，，q：，，则下列均是真命题的是（    ） A．p和q B．p和 C．和q D．和 4．已知单位向量，，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充分不必要条件 5．““是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 10．在△ABC中，，，，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 11．若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 三、填空题 12．“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 13．设，则是复数与复数相等的 条件． 14．设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 四、解答题 15．已知命题：“，不等式成立”是真命题． (1)求实数m的取值范围； (2)若是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 （2）设实数且，求证：；（可以使用公式：） （3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 18．若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ (2)对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 19．设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学·答题卡 姓 名 证 号 准 考 正确填涂 注 意 事 项 填 涂 样 例 答卷前，考生须在答题卡和试卷上规定的位置，准确填写本人姓名，准考证号，并核对准条形码上 的信息，确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清 楚。 考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 保持卡面清洁，不准折叠，不得损坏。 1. 2. 3. 4. 贴条形码区 考生 禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用 右面的缺考标记。2B铅笔涂 5 A B C D 6 7 8 A A A B B B C C C D D D 1 A B C D 2 3 4 A A A B B B C C C D D D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 9 A B C D 10 11 A A B B C C D D 12. 三、填空题（每小题5分，共15分） 14. 四、解答题 15.(13分) 16.(15分) 答题卡第一页 13. 二、多选题（共18分） 一、单选题（共40分） 请勿在此区域作答 2026届高三一轮复习·常用逻辑用语专题【练习卷】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 总分： 登分人： 复核人： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 答题卡第二页 19.(17分) 17.(15分) 答案第 1页，共 10页 2.1 常用逻辑用语（学生版）【练习卷】·答案 1．C 【分析】举例说明由 2 2 0x y  不能推出 0xy  ，再证明由 0xy  可推出 2 2 0x y  ，结合充 分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取 1x  ， 0y  ，可得 2 2 0x y  ，但 0xy  ，故由 2 2 0x y  不能推出 0xy  ． 由于 0xy  ，所以 x和 y均不为 0，所以可以推断 2 2 0x y  ． 综上，“ 2 2 0x y  ”是“ 0xy  ”的必要不充分条件． 故选：C 2．B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题 p：  ,x M p x  ，它的否定  0 0: ,p x M p x    . 所以对于命题 p： 0x  ，总有  1 e 1xx   ，根据全称命题的否定规则， 它的否定是： 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   . 故选：B. 3．B 【分析】利用基本不等式求最值即可判断. 【详解】 x R， e 0x  ， e 0x  ，则 e e 2 e e 2    x x x x ，当且仅当 0x  时等号成立， 则 p为真命题； 当  0,10x 时，  10 0,10x  ，则   1010 5 2 x xx x     ，等号成立时 5x  ， 则 q为假命题， q 为真命题． 故 p与 q 均为真命题． 故选：B 4．D 【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性. 【详解】由 2 2a b a b      ，得 2 2 2 24 4 4 4a b a b a b a b              ，解得 0a b   ，所以 a b  ， 答案第 2页，共 10页 充分性成立， 当 a b  时，得 0a b   ， 2 2 2 24 4 4 4a b a b a b a b              ，即 2 2a b a b      ，必要性成立， 故“ 2 2a b a b      ”是“ a b  ”的充要条件，A，C错误； 若 2 1a b   ，则 2 24 4 1a b a b       ，解得 1a b   ，则cos , 1 a ba b a b      ，所以 , 0a b   ，即 a b∥  ， 充分性成立， 当 a b∥  时，则 1a b   或 1 ，所以 2 1a b   或 2 3a b   ，必要性不成立， 故 2 1a b   是 a b∥  的充分不必要条件，B错误，D正确． 故选：D. 5．A 【分析】先由 ( )f x 为奇函数得到 1a   ，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得 到函数为奇函数的充要条件，即可得 1a  是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若   2 21 2 2 x x x a af x x x a a         为奇函数，则 ( ) ( ) 0f x f x- + = ， 即 2 2 0 2 2 x x x x a ax x a a           ，整理得    2 21 2 2 1 2 2 0 2 2 x x x x x x a a a a a a a a                  ， 即    22 2 0 2 2x x a a a     ，解得 1a   . 当 1a  时，函数 ( )f x 的定义域为{ 0}x x ∣ 关于原点对称，且 ( ) ( ) 0f x f x- + = ，所以 ( )f x 为 奇函数； 当 1a   时，函数 ( )f x 的定义域为R 关于原点对称，且 ( ) ( ) 0f x f x- + = ，所以 ( )f x 为奇函 数. 所以函数 ( )f x 为奇函数的充要条件是 1a  或 1a   . 所以“ 1a  ”是“函数 2( ) 1 2x af x x a     为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 6．B 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 答案第 3页，共 10页 【详解】若  | ( )P A B P B A ∣ ，则        P AB P AB P B P A  ， 若 ( ) 0P AB  ，则 ( ) ( )P A P B 不一定成立，则 ( ) ( ) 1P A P B  不一定成立， 如 B A ， ( ) 0.7, ( ) 0.2P A P B  时， ( ) 0P AB  ，满足 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P AB P B P A  ，但不满足 ( ) ( ) 1P A P B  ， 若 ( ) ( ) 1P A P B  ，则 ( ) ( )P A P B ，故         P AB P AB P B P A  ，即  | ( )P A B P B A ∣ ， 所以  | ( )P A B P B A ∣ 是 ( ) ( ) 1P A P B  的必要不充分条件， 故选：B. 7．A 【分析】根据题意利用等差数列的定义和 nS 与 na 的递推关系求解即可. 【详解】正项等差数列 na 中， 12d a ，则   21 1 1 2n n n S na d n a     ， 则 1nS n a ，即 1 1n nS S a   ，数列 nS 是等差数列，充分性成立； 设等差数列 nS 的公差为 d ， 0d   ，则  1 1nS a n d    ， 则有    2 21 12 1 1nS a n d a n d      ， 当 2n  时，   21 12 2 3n n na S S d a n d       ，即从第二项起，数列 na 为等差数列，公 差为 22d  ，要使得 na 为等差数列，则还需满足 22 1 2a a d   ， 即 2 2 1 12 2a d ad d     ，解得 1d a  ，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 8．B 【分析】根据题意，知对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数，再结合 指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合 S的指示函数   1, 0,S x S f x x S     ， 则对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数； 答案第 4页，共 10页 对于①，因为 A B ，所以若 x A ，则 x B ，此时 ( ) ( ) 1A Bf x f x  ， 若 x A ，但 x B ，此时 ( ) 0Af x  ， ( ) 1Bf x  ，此时 ( ) ( )A Bf x f x ， 若 x A ，且 x B ，此时 ( ) ( ) 0A Bf x f x  ，故始终有 ( ) ( )A Bf x f x ，①正确； 对于②，当 A U 时，由指示函数的意义知，次数 ( ) ( )A A x A x U f x f x     ，②错误； 对于③， ( )A B x U f x   表示属于 A B 中的元素个数， ( ( ) ( ) ( ) ( ))A B A B x U f x f x f x f x    表示A中元素个数加 B中元素个数再减去 A B 中的元素个 数，即 A B 中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当 x A ，且 x B 时， (1 ( ))(1 ( )) 1A Bf x f x   ， 否则 (1 ( ))(1 ( )) 0A Bf x f x   ， 所以 (1 ( ))(1 ( ))A B x U f x f x    表示U中既不在A中又不在 B中的元素个数， 即 ( )UC A B 中的元素个数， (1 ( ) ( ))A B x U f x f x    表示U中元素个数减去A中元素个数再减去 B中元素个数， 相较左边多减了 1次 A B 中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为 2． 故选：B 9．AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断 AB；举例说明判断 CD. 【详解】对于 A，由 | | | | | | | |A B A B A B     及 | | | | | |A B A B U ，得 | | 0A B A B    ，A正确； 对于 B，由 A B ，得 | | | |A B ， A B 的必要条件是 | | | |A B ，B正确； 对于 C，取 {1, 4}, {1, 2,3}A B  ，满足 | | | |A B ，而 A B ，C错误； 对于 D，取 {1, 2}, {3, 4}A B  ，满足 | | | |A B ，而 A B ，D错误. 故选：AB. 10．AC 答案第 5页，共 10页 【分析】由正弦定理求得 1sinC m  ，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得 sin sinC A AB BC  ，即 1sinC m  ． 对于 A，当 1m  时， sin 1C  ，可得 π 2 C  ，故得 3AC  ，解唯一，故 A正确； 对于 B，当 3 2 m  时， 2sin 3 C  ，因 AB BC ，则 6 C A   ，角C有两解，解不唯一，故 B 错误； 对于 C，当 2m  时，则 2AB BC  ，则C A ，故 π 6 A C  ，则 2π 3 B  ，解唯一，故 C 正确； 对于 D，当 3m  时， 3sin 3 C  ，因 AB BC ，则 6 C A   ，角C有两解，解不唯一，故 D错误. 故选：AC． 11．AB 【分析】结合函数单调性分 0 00, 0x x  讨论即可判单 A；由不等式性质可判断 B；举例即 可判断 C，举例说明可判断 D. 【详解】对于 A，因为  f x 是定义域为 R 的单调递增函数且  0 0f  ， 所以当 0 0x  时，  0 0f x  恒成立，当 0 0x  时，  0 0f x  恒成立， 所以 0 0x  ，  0 0 0x f x  恒成立，故 A正确； 对于 B， 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，都有    1 2f x f x ， 所以    1 1 2 2f x x f x x   ，故 B正确； 对于 C，设  f x x ，则 1x ， 2x R 都有    1 1 2 2 0f x x f x x    ，故 C错误； 对于 D，例如   3f x x 在定义域为 R 的单调递增函数，但  0 0f   所以 0x R，  0 0f x  ，故 D错误. 故选：AB 12．必要不充分 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 答案第 6页，共 10页 【详解】由  1 0x x   可得 0x  或 1x  ， 即由  1 0x x   不一定有 1x  成立，但由 1x  能推出  1 0x x   成立． 故“  1 0x x   ”是“ 1x  ”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 13．必要不充分 【分析】根据复数相等的定义得 1 2 1 2,a a b b  ，即验证 1 2a a 是否能推出复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等，反之，复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等是否能推出 1 2a a 即可求解. 【详解】由复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等有 1 2 1 2,a a b b  ， 所以 1 2a a  复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等，反之，复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等 1 2a a  ， 所以 1 2a a 是复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 14． 4k  【分析】由题意分析出区间  , 2a a  至少包含一个完整的周期，才能保证 ( )f x 能取到 Rx 时 的所有函数值，再利用周期的公式求出 k的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数 ( ) 2sin( )f x kx   ，要使{ ( ) 2} { ( ) R}f x a x a f x x    ∣ ∣ ， 则周期 2π 2T k   ，即 π 3.14k   ， 因为 Nk ，所以一个充分条件是 4k  ， 故答案为： 4k  15．(1)  2, (2) 6, 【分析】（1）由题意知 2m x x  在 1 1x   上恒成立，根据恒成立的条件只需  2 maxm x x  ， 1 1x   ，进而利用二次函数的性质即可求出实数 m的取值范围； （2）先求 q中m的取值范围，再根据充分条件和必要条件确定 q是 p的真子集，进而求解 即可． 【详解】（1）由题意知 2m x x  在 1 1x   上恒成立， 答案第 7页，共 10页 所以  2 maxm x x  ， 1 1x   因为 2 2 1 1 2 4 x x x        ， 1 1x   所以 21 2 4 x x    ，即  2 max 2x x  ， 所以 2m  ，即实数m的取值范围是  2, ． （2）由 q得 4 4a m a    ， 又 q是 p的充分不必要条件，即 q是 p的真子集， 又由（1）有 2m  ， 所以 4 2a   ，解得 6a  ， 所以实数 a的取值范围是 6, ． 16．(1)  2,3 (2)   8, , 3   【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合 ,A B，根据 A B  R ，即可得到 a 满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据 x A 是 x B 的必要不充分条件，可得 B是A的真子集， 然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知， 2 61 1 2 x x A x             ，   6log 1B x x a   ， 令 2 61 1 2 x x        ，可得 2 6 0x x   ，解得 3x  或 2x   ， 令  6 1log x a  ，解得0 6x a   ， 6a x a    ， 则  3A x x  或 2x   ，  6B x a x a     ， 若 A B  R ，则 2 6 3 a a       ，解得 2 3a  ， 即实数 a的取值范围为  2,3 . （2）由（1）知，  3A x x  或 2x   ，  6B x a x a      ， 答案第 8页，共 10页 若 x A 是 x B 的必要不充分条件，则 B是A的真子集， 所以6 2a   或 3a  ， 解得 8a  或 3a   ， 即实数 a的取值范围为    8, , 3   . 17．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格. （2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得. （3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得. 【详解】（1）“五点法”作函数  sin , 0,2πy x x  的图象的 5个关键点的横坐标为 π 3π0, , π, , 2π 2 2 ， 所以表格如下： x 0 π 2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 1 0 1 sinx 1 0 1 2 1 （2）实数 0a  且 1a  ，则 ln lne e xx a x aa   ， 因此 ln ln( ) (e ) e ( ln ) lnx x a x a xa x a a a      ， 所以 ( ) lnx xa a a  . （3） 2 1 22 1 21 3 3)( ) ) [ ( ) ] )( ( (x x x x xx x x x x x x x x     3 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2( ) ( )x x x x x x x x x x x xx x x x      3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x x        ， 依题意， 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 ( ) ( )x x x x x x x x x x xx ax bx x x x xc         对任意实数 x恒成 立， 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 ( )a x x x x x x a b x x x x x x x x x x x x b c x x x x x x c                         ， 所以等式 3 2 1 2 3( )( )( )x ax bx c x x x x x x       对任意实数 x恒成立的充要条件是 答案第 9页，共 10页 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 x x x a x x x x x x b x x x c            . 18．(1) ( ,1) (3, )  (2) ( , 1 3] [2, )    【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题 ,p q均为假命题时 a的取值范围，再求出其补集即 可； （2）先得 2 min2 [ 1 2 ] 1x ax a b b       ，然后该不等式左边为关于 a的一次函数，所以 只要把 1a  和 1a   代入上式不等式可求得结果. 【详解】（1）考虑补集思想，命题 ,p q中至少有一个真命题的反面为：命题 ,p q均为假命题，   2: 1, 2 , 3 0p x x x a       ，则 2 3a x x   恒成立， 故  2 min3 3a x x    ，   2: 1, 2 , 2 1 0q x x ax      ，则 2 1 12 xa x x x     有解， 1 12 2x x x x     ，当且仅当 1x  时取等号， 故 min 12 2 1a x a x          ， 故1 3a  ，再取补集： a的取值范围为 ( ,1) (3, )  （2）先研究b，不等式 2 2 1 2x ax a b b      对于  0,2b 有解， 故： 2 min2 [ 1 2 ] 1x ax a b b       ，当且仅当1 2b  时， 1 2b b   取得最小值 1， 再研究 a，将 a视为主元，则该不等式左边为关于 a的一次函数，故只须在 1,1 的值均满足 条件即可， 则 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x x         ，得 2 0 1 3 1 3 x x x x          或 或 ，解得 1 3x    或 2x  故 x的取值范围为 ( , 1 3] [2, )    19．(1)证明见解析 (2) | |z a (3) 1 3iz   或 3 iz   ． 答案第 10页，共 10页 【分析】（1）（必要性）设 i( 0)z x y y   ，带入 1z z  中，化简为标准形式，再由实数的定 义即可得到 | | 1z  ；（充分性）由 | | 1z  ，得出 1z z  ，带入 1z z  中即可得到 1z z  为实数. （2）设  i 0 ,z x y y  带入 az z  中，再由实数的定义可知虚部为零，得到 2 2| | ( 0)z x y a a    ，即可知 az z  为实数的充要条件是 | |z a . （3）由题设知，z为虚数，由（2）知 | | 10z  ，设 0 0iz x y  ，带入 10z z  中，可得 0 10 2 ,z x z   由题意即可求得 0x 的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数 z . 【详解】（1）（必要性）设 i( 0)z x y y   ，知 2 2 2 2 2 2 1 1 i 1 1i i 1 1 i i x yz x y x y x y z x y x y x y x y                         为实数，则 2 2 11 0y x y       ，即 2 2 1x y  易得 2 2| | 1z x y   ． （充分性）反之，若 2 1| | 1 | | 1,z zz z z z      ， ∴ z  1 z z z   为实数． （2）设   2 2 2 2i 0 , 1 1 iz a a ay z x y z x y y x y x                    为实数． 易得 2 21 0 a x y    ，即 2 2| | ( 0)z x y a a    ． 反之，由 2| | , | |z a zz z a   得 az z z z    为实数． ∴ az z  为实数的充要条件是 | |z a ． （3）由题设知， z为虚数，否则不等式 101 6z z    不成立，且 10z z  为实数． 由（2）知， | | 10z  ， 设 0 0iz x y  ，则由 0 02 2 0 0 10 1 2 ,az x x z x y         知 0 0 11 2 6, 3 2 x x    ．取 0 1x  或 2或 3，及 | | 10z  ，易得相应的 0 3, 6, 1y     ． ∴ 1 3iz   或 3 iz   ． 试卷第 1页，共 14页 2.1 常用逻辑用语（教师版）【练习卷】 1．已知 ,x y均为实数，则“ 2 2 0x y  ”是“ 0xy  ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由 2 2 0x y  不能推出 0xy  ，再证明由 0xy  可推出 2 2 0x y  ，结合充 分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取 1x  ， 0y  ，可得 2 2 0x y  ，但 0xy  ，故由 2 2 0x y  不能推出 0xy  ． 由于 0xy  ，所以 x和 y均不为 0，所以可以推断 2 2 0x y  ． 综上，“ 2 2 0x y  ”是“ 0xy  ”的必要不充分条件． 故选：C 2．已知命题 p： 0x  ，总有  1 e 1xx   ，则命题 p的否定为（ ） A． 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   B． 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   C． 0x  ，总有  1 e 1xx   D． 0x  ，总有  1 e 1xx   【答案】B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题 p：  ,x M p x  ，它的否定  0 0: ,p x M p x    . 所以对于命题 p： 0x  ，总有  1 e 1xx   ，根据全称命题的否定规则， 它的否定是： 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   . 故选：B. 3．已知命题 p： x R，e e 2 x x ，q：  0,10x  ，  10 5x x  ，则下列均是真命题 的是（ ） 试卷第 2页，共 14页 A．p和 q B．p和 q C． p 和 q D． p 和 q 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值即可判断. 【详解】 x R， e 0x  ， e 0x  ，则 e e 2 e e 2    x x x x ，当且仅当 0x  时等号成立， 则 p为真命题； 当  0,10x 时，  10 0,10x  ，则   1010 5 2 x xx x     ，等号成立时 5x  ， 则 q为假命题， q 为真命题． 故 p与 q 均为真命题． 故选：B 4．已知单位向量 a，b  ，则（ ） A． 2 2a b a b     是 a b  的必要不充分条件 B． 2 1a b   是 / /a b  的必要不充分条件 C． 2 2a b a b     是a b  的充分不必要条件 D． 2 1a b   是 / /a b  的充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性. 【详解】由 2 2a b a b      ，得 2 2 2 24 4 4 4a b a b a b a b              ，解得 0a b   ，所以 a b  ， 充分性成立， 当 a b  时，得 0a b   ， 2 2 2 24 4 4 4a b a b a b a b              ，即 2 2a b a b      ，必要性成立， 故“ 2 2a b a b      ”是“ a b  ”的充要条件，A，C错误； 若 2 1a b   ，则 2 24 4 1a b a b       ，解得 1a b   ，则cos , 1 a ba b a b      ，所以 , 0a b   ，即 a b∥  ， 充分性成立， 当 a b∥  时，则 1a b   或 1 ，所以 2 1a b   或 2 3a b   ，必要性不成立， 故 2 1a b   是 a b∥  的充分不必要条件，B错误，D正确． 故选：D. 5．“ 1a  “是“函数 2( ) 1 2x af x x a     为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不 试卷第 3页，共 14页 充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由 ( )f x 为奇函数得到 1a   ，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得 到函数为奇函数的充要条件，即可得 1a  是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若   2 21 2 2 x x x a af x x x a a         为奇函数，则 ( ) ( ) 0f x f x- + = ， 即 2 2 0 2 2 x x x x a ax x a a           ，整理得    2 21 2 2 1 2 2 0 2 2 x x x x x x a a a a a a a a                  ， 即    22 2 0 2 2x x a a a     ，解得 1a   . 当 1a  时，函数 ( )f x 的定义域为{ 0}x x ∣ 关于原点对称，且 ( ) ( ) 0f x f x- + = ，所以 ( )f x 为 奇函数； 当 1a   时，函数 ( )f x 的定义域为R 关于原点对称，且 ( ) ( ) 0f x f x- + = ，所以 ( )f x 为奇函 数. 所以函数 ( )f x 为奇函数的充要条件是 1a  或 1a   . 所以“ 1a  ”是“函数 2( ) 1 2x af x x a     为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 6．已知随机事件 A，B发生的概率分别为 ( ), ( )P A P B ，且     0P A P B  ，则  | ( )P A B P B A ∣ 是 ( ) ( ) 1P A P B  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若  | ( )P A B P B A ∣ ，则        P AB P AB P B P A  ， 若 ( ) 0P AB  ，则 ( ) ( )P A P B 不一定成立，则 ( ) ( ) 1P A P B  不一定成立， 如 B A ， ( ) 0.7, ( ) 0.2P A P B  时， ( ) 0P AB  ，满足 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P AB P B P A  ，但不满足 ( ) ( ) 1P A P B  ， 试卷第 4页，共 14页 若 ( ) ( ) 1P A P B  ，则 ( ) ( )P A P B ，故         P AB P AB P B P A  ，即  | ( )P A B P B A ∣ ， 所以  | ( )P A B P B A ∣ 是 ( ) ( ) 1P A P B  的必要不充分条件， 故选：B. 7．记 nS ， 1a 分别为正项数列 na 的前 n项和与首项，设甲： na 是公差为 12a 的等差数列； 乙： nS 为等差数列，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意利用等差数列的定义和 nS 与 na 的递推关系求解即可. 【详解】正项等差数列 na 中， 12d a ，则   21 1 1 2n n n S na d n a     ， 则 1nS n a ，即 1 1n nS S a   ，数列 nS 是等差数列，充分性成立； 设等差数列 nS 的公差为 d ， 0d   ，则  1 1nS a n d    ， 则有    2 21 12 1 1nS a n d a n d      ， 当 2n  时，   21 12 2 3n n na S S d a n d       ，即从第二项起，数列 na 为等差数列，公 差为 22d  ，要使得 na 为等差数列，则还需满足 22 1 2a a d   ， 即 2 2 1 12 2a d ad d     ，解得 1d a  ，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 8．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集 U的元 素个数有限，对于 U的任意一个子集 S，定义集合 S的指示函数   1, 0,S x S f x x S     ，集合 A、 B都是 U的子集．现有以下四个命题： ①若 A B ，则    A Bf x f x ； ②     U A x xA Af x f x     ； 试卷第 5页，共 14页 ③           A B A A B x U Ux f x f x f x f x f x       ； ④           1 1 1A B A B x xU U f x f x f x f x         ； 注：   Mx f x   表示 M中所有元素 x所对应的函数值  f x 之和．（其中 M是  f x 定义域的子 集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，知对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数，再结合 指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合 S的指示函数   1, 0,S x S f x x S     ， 则对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数； 对于①，因为 A B ，所以若 x A ，则 x B ，此时 ( ) ( ) 1A Bf x f x  ， 若 x A ，但 x B ，此时 ( ) 0Af x  ， ( ) 1Bf x  ，此时 ( ) ( )A Bf x f x ， 若 x A ，且 x B ，此时 ( ) ( ) 0A Bf x f x  ，故始终有 ( ) ( )A Bf x f x ，①正确； 对于②，当 A U 时，由指示函数的意义知，次数 ( ) ( )A A x A x U f x f x     ，②错误； 对于③， ( )A B x U f x   表示属于 A B 中的元素个数， ( ( ) ( ) ( ) ( ))A B A B x U f x f x f x f x    表示A中元素个数加 B中元素个数再减去 A B 中的元素个 数，即 A B 中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当 x A ，且 x B 时， (1 ( ))(1 ( )) 1A Bf x f x   ， 否则 (1 ( ))(1 ( )) 0A Bf x f x   ， 所以 (1 ( ))(1 ( ))A B x U f x f x    表示U中既不在A中又不在 B中的元素个数， 即 ( )UC A B 中的元素个数， (1 ( ) ( ))A B x U f x f x    表示U中元素个数减去A中元素个数再减去 B中元素个数， 试卷第 6页，共 14页 相较左边多减了 1次 A B 中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为 2． 故选：B 二、多选题 9．将元素个数为非负整数的集合称为有限集， S 表示有限集S中的元素个数.设 A，B都为 有限集，则（ ） A． A B   的充要条件是 | | | | | |A B A B U B． A B 的必要条件是 | | | |A B C． A B 的充分条件是 | | | |A B D． A B 的充要条件是 | | | |A B 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断 AB；举例说明判断 CD. 【详解】对于 A，由 | | | | | | | |A B A B A B     及 | | | | | |A B A B U ，得 | | 0A B A B    ，A正确； 对于 B，由 A B ，得 | | | |A B ， A B 的必要条件是 | | | |A B ，B正确； 对于 C，取 {1, 4}, {1, 2,3}A B  ，满足 | | | |A B ，而 A B ，C错误； 对于 D，取 {1, 2}, {3, 4}A B  ，满足 | | | |A B ，而 A B ，D错误. 故选：AB. 10．在 ABCV 中， 1sin 2 A  ， 2AB  ，BC m ，则“ ABCV 有唯一解”的充分条件可以是（ ） A． 1m  B． 3 2 m  C． 2m  D． 3m  【答案】AC 【分析】由正弦定理求得 1sinC m  ，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得 sin sinC A AB BC  ，即 1sinC m  ． 对于 A，当 1m  时， sin 1C  ，可得 π 2 C  ，故得 3AC  ，解唯一，故 A正确； 对于 B，当 3 2 m  时， 2sin 3 C  ，因 AB BC ，则 6 C A   ，角C有两解，解不唯一，故 B 错误； 对于 C，当 2m  时，则 2AB BC  ，则C A ，故 π 6 A C  ，则 2π 3 B  ，解唯一，故 C 正确； 试卷第 7页，共 14页 对于 D，当 3m  时， 3sin 3 C  ，因 AB BC ，则 6 C A   ，角C有两解，解不唯一，故 D错误. 故选：AC． 11．若  f x 是定义域为 R 的单调递增函数，下列说法正确的是（ ） A．若  0 0f  ，则 0 0x  ，  0 0 0x f x  B． 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，有    1 1 2 2f x x f x x   C． 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，有    1 1 2 2f x x f x x   D． 0x R，  0 0f x  【答案】AB 【分析】结合函数单调性分 0 00, 0x x  讨论即可判单 A；由不等式性质可判断 B；举例即 可判断 C，举例说明可判断 D. 【详解】对于 A，因为  f x 是定义域为 R 的单调递增函数且  0 0f  ， 所以当 0 0x  时，  0 0f x  恒成立，当 0 0x  时，  0 0f x  恒成立， 所以 0 0x  ，  0 0 0x f x  恒成立，故 A正确； 对于 B， 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，都有    1 2f x f x ， 所以    1 1 2 2f x x f x x   ，故 B正确； 对于 C，设  f x x ，则 1x ， 2x R 都有    1 1 2 2 0f x x f x x    ，故 C错误； 对于 D，例如   3f x x 在定义域为 R 的单调递增函数，但  0 0f   所以 0x R，  0 0f x  ，故 D错误. 故选：AB 三、填空题 12．“  1 0x x   ”是“ 1x  ”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 分也不必要”）． 试卷第 8页，共 14页 【答案】必要不充分 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由  1 0x x   可得 0x  或 1x  ， 即由  1 0x x   不一定有 1x  成立，但由 1x  能推出  1 0x x   成立． 故“  1 0x x   ”是“ 1x  ”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 13．设 1 1 2 2, , , Ra b a b  ，则 1 2a a 是复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据复数相等的定义得 1 2 1 2,a a b b  ，即验证 1 2a a 是否能推出复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等，反之，复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等是否能推出 1 2a a 即可求解. 【详解】由复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等有 1 2 1 2,a a b b  ， 所以 1 2a a  复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等，反之，复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等 1 2a a  ， 所以 1 2a a 是复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 14．设 π1, N,0 2 k k     ，函数 ( )y f x 的表达式为 ( ) 2sin( )f x kx   ，则对任意的实 数 a，皆有{ ( ) 2} { ( ) R}f x a x a f x x    ∣ ∣ 成立的一个充分条件是 . 【答案】 4k  【分析】由题意分析出区间  , 2a a  至少包含一个完整的周期，才能保证 ( )f x 能取到 Rx 时 的所有函数值，再利用周期的公式求出 k的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数 ( ) 2sin( )f x kx   ，要使{ ( ) 2} { ( ) R}f x a x a f x x    ∣ ∣ ， 则周期 2π 2T k   ，即 π 3.14k   ， 因为 Nk ，所以一个充分条件是 4k  ， 故答案为： 4k  四、解答题 15．已知命题 p：“ 1 1x   ，不等式 2x x m   成立”是真命题． 试卷第 9页，共 14页 (1)求实数 m的取值范围； (2)若 : 4 4q m a    是 p的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1)  2, (2) 6, 【分析】（1）由题意知 2m x x  在 1 1x   上恒成立，根据恒成立的条件只需  2 maxm x x  ， 1 1x   ，进而利用二次函数的性质即可求出实数 m的取值范围； （2）先求 q中m的取值范围，再根据充分条件和必要条件确定 q是 p的真子集，进而求解 即可． 【详解】（1）由题意知 2m x x  在 1 1x   上恒成立， 所以  2 maxm x x  ， 1 1x   因为 2 2 1 1 2 4 x x x        ， 1 1x   所以 21 2 4 x x    ，即  2 max 2x x  ， 所以 2m  ，即实数m的取值范围是  2, ． （2）由 q得 4 4a m a    ， 又 q是 p的充分不必要条件，即 q是 p的真子集， 又由（1）有 2m  ， 所以 4 2a   ，解得 6a  ， 所以实数 a的取值范围是 6, ． 16．已知集合 2 61 1 2 x x A x             ，   6log 1B x x a   ． (1)若 A B  R ，求实数 a的取值范围； (2)若 x A 是 x B 的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1)  2,3 (2)   8, , 3   【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合 ,A B，根据 A B  R ，即可得到 a 满足的条件，求出结果； 试卷第 10页，共 14页 （2）结合（1）中的两集合，根据 x A 是 x B 的必要不充分条件，可得 B是A的真子集， 然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知， 2 61 1 2 x x A x             ，   6log 1B x x a   ， 令 2 61 1 2 x x        ，可得 2 6 0x x   ，解得 3x  或 2x   ， 令  6 1log x a  ，解得0 6x a   ， 6a x a    ， 则  3A x x  或 2x   ，  6B x a x a     ， 若 A B  R ，则 2 6 3 a a       ，解得 2 3a  ， 即实数 a的取值范围为  2,3 . （2）由（1）知，  3A x x  或 2x   ，  6B x a x a      ， 若 x A 是 x B 的必要不充分条件，则 B是A的真子集， 所以6 2a   或 3a  ， 解得 8a  或 3a   ， 即实数 a的取值范围为    8, , 3   . 17．（1）在用“五点法”作出函数  1 sin , 0,2πy x x   的大致图象的过程中，第一步需要将五 个关键点列表，请完成下表： x 0 sinx 0 1 sinx 1 （2）设实数 0a  且 1a  ，求证：   lnx xa a a  ；（可以使用公式：  e ex x  ） （3）证明：等式    3 2 1 2 3x ax bx c x x x x x x       对任意实数 x恒成立的充要条件是 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 x x x a x x x x x x b x x x c            试卷第 11页，共 14页 【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格. （2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得. （3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得. 【详解】（1）“五点法”作函数  sin , 0,2πy x x  的图象的 5个关键点的横坐标为 π 3π0, , π, , 2π 2 2 ， 所以表格如下： x 0 π 2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 1 0 1 sinx 1 0 1 2 1 （2）实数 0a  且 1a  ，则 ln lne e xx a x aa   ， 因此 ln ln( ) (e ) e ( ln ) lnx x a x a xa x a a a      ， 所以 ( ) lnx xa a a  . （3） 2 1 22 1 21 3 3)( ) ) [ ( ) ] )( ( (x x x x xx x x x x x x x x     3 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2( ) ( )x x x x x x x x x x x xx x x x      3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x x        ， 依题意， 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 ( ) ( )x x x x x x x x x x xx ax bx x x x xc         对任意实数 x恒成 立， 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 ( )a x x x x x x a b x x x x x x x x x x x x b c x x x x x x c                         ， 所以等式 3 2 1 2 3( )( )( )x ax bx c x x x x x x       对任意实数 x恒成立的充要条件是 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 x x x a x x x x x x b x x x c            . 18．若命题 p：存在 21 2, 3 0x x x a      ，命题 q：二次函数 2 2 1  y x ax 在1 2x  的 图像恒在 x轴上方 试卷第 12页，共 14页 (1)若命题 ,p q中至少有一个真命题，求 a的取值范围？ (2)对任意的 1 1a   ，存在0 2b  ，使得不等式 2 2 | 1| | 2 |x ax a b b      成立，求 x的 取值范围？ 【答案】(1) ( ,1) (3, )  (2) ( , 1 3] [2, )    【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题 ,p q均为假命题时 a的取值范围，再求出其补集即 可； （2）先得 2 min2 [ 1 2 ] 1x ax a b b       ，然后该不等式左边为关于 a的一次函数，所以 只要把 1a  和 1a   代入上式不等式可求得结果. 【详解】（1）考虑补集思想，命题 ,p q中至少有一个真命题的反面为：命题 ,p q均为假命题，   2: 1, 2 , 3 0p x x x a       ，则 2 3a x x   恒成立， 故  2 min3 3a x x    ，   2: 1, 2 , 2 1 0q x x ax      ，则 2 1 12 xa x x x     有解， 1 12 2x x x x     ，当且仅当 1x  时取等号， 故 min 12 2 1a x a x          ， 故1 3a  ，再取补集： a的取值范围为 ( ,1) (3, )  （2）先研究b，不等式 2 2 1 2x ax a b b      对于  0,2b 有解， 故： 2 min2 [ 1 2 ] 1x ax a b b       ，当且仅当1 2b  时， 1 2b b   取得最小值 1， 再研究 a，将 a视为主元，则该不等式左边为关于 a的一次函数，故只须在 1,1 的值均满足 条件即可， 则 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x x         ，得 2 0 1 3 1 3 x x x x          或 或 ，解得 1 3x    或 2x  故 x的取值范围为 ( , 1 3] [2, )    19．设 z是虚数， (1)求证 1z z  为实数的充要条件为 | | 1z  ； 试卷第 13页，共 14页 (2)若 0a  ，推测 az z  为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件 101 6z z    ，及实部与虚部均为整数的复数 z． 【答案】(1)证明见解析 (2) | |z a (3) 1 3iz   或 3 iz   ． 【分析】（1）（必要性）设 i( 0)z x y y   ，带入 1z z  中，化简为标准形式，再由实数的定 义即可得到 | | 1z  ；（充分性）由 | | 1z  ，得出 1z z  ，带入 1z z  中即可得到 1z z  为实数. （2）设  i 0 ,z x y y  带入 az z  中，再由实数的定义可知虚部为零，得到 2 2| | ( 0)z x y a a    ，即可知 az z  为实数的充要条件是 | |z a . （3）由题设知，z为虚数，由（2）知 | | 10z  ，设 0 0iz x y  ，带入 10z z  中，可得 0 10 2 ,z x z   由题意即可求得 0x 的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数 z . 【详解】（1）（必要性）设 i( 0)z x y y   ，知 2 2 2 2 2 2 1 1 i 1 1i i 1 1 i i x yz x y x y x y z x y x y x y x y                         为实数，则 2 2 11 0y x y       ，即 2 2 1x y  易得 2 2| | 1z x y   ． （充分性）反之，若 2 1| | 1 | | 1,z zz z z z      ， ∴ z  1 z z z   为实数． （2）设   2 2 2 2i 0 , 1 1 iz a a ay z x y z x y y x y x                    为实数． 易得 2 21 0 a x y    ，即 2 2| | ( 0)z x y a a    ． 反之，由 2| | , | |z a zz z a   得 az z z z    为实数． ∴ az z  为实数的充要条件是 | |z a ． （3）由题设知， z为虚数，否则不等式 101 6z z    不成立，且 10z z  为实数． 试卷第 14页，共 14页 由（2）知， | | 10z  ， 设 0 0iz x y  ，则由 0 02 2 0 0 10 1 2 ,az x x z x y         知 0 0 11 2 6, 3 2 x x    ．取 0 1x  或 2或 3，及 | | 10z  ，易得相应的 0 3, 6, 1y     ． ∴ 1 3iz   或 3 iz   ． 2.1　常用逻辑用语（教师版）【练习卷】 一、单项选择题 1．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 2．已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 3．已知命题p：，，q：，，则下列均是真命题的是（    ） A．p和q B．p和 C．和q D．和 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值即可判断. 【详解】，，，则，当且仅当时等号成立， 则为真命题； 当时，，则，等号成立时， 则为假命题，为真命题． 故与均为真命题． 故选：B 4．已知单位向量，，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性. 【详解】由，得，解得，所以，充分性成立， 当时，得，，即，必要性成立， 故“”是“”的充要条件，A，C错误； 若，则，解得，则，所以，即，充分性成立， 当时，则或，所以或，必要性不成立， 故是的充分不必要条件，B错误，D正确． 故选：D. 5．““是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由为奇函数得到，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数的充要条件，即可得是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若为奇函数，则， 即，整理得， 即，解得. 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数； 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数. 所以函数为奇函数的充要条件是或. 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 6．已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意利用等差数列的定义和与的递推关系求解即可. 【详解】正项等差数列中，，则， 则，即，数列是等差数列，充分性成立； 设等差数列的公差为，，则， 则有， 当时，，即从第二项起，数列为等差数列，公差为，要使得为等差数列，则还需满足， 即，解得，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 8．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 二、多选题 9．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 10．在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 11．若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 【答案】AB 【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D. 【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且， 所以当时，恒成立，当时，恒成立， 所以，恒成立，故A正确； 对于B，，，且，都有， 所以，故B正确； 对于C，设，则，都有，故C错误； 对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但 所以，，故D错误. 故选：AB 三、填空题 12．“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由可得或， 即由不一定有成立，但由能推出成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 13．设，则是复数与复数相等的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据复数相等的定义得，即验证是否能推出复数与复数相等，反之，复数与复数相等是否能推出即可求解. 【详解】由复数与复数相等有， 所以复数与复数相等，反之，复数与复数相等， 所以是复数与复数相等必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 14．设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 四、解答题 15．已知命题：“，不等式成立”是真命题． (1)求实数m的取值范围； (2)若是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知在上恒成立，根据恒成立的条件只需，，进而利用二次函数的性质即可求出实数m的取值范围； （2）先求中的取值范围，再根据充分条件和必要条件确定是p的真子集，进而求解即可． 【详解】（1）由题意知在上恒成立， 所以， 因为， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是． （2）由得， 又是p的充分不必要条件，即是p的真子集， 又由（1）有， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，，， 令，可得，解得或， 令，解得，， 则或，， 若，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，或，， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 17．（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 （2）设实数且，求证：；（可以使用公式：） （3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格. （2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得. （3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得. 【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为， 所以表格如下： 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 （2）实数且，则， 因此， 所以. （3） ， 依题意，对任意实数恒成立， 因此， 所以等式对任意实数恒成立的充要条件是. 18．若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ (2)对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可； （2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果. 【详解】（1）考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题， ，则恒成立， 故， ，则有解， ，当且仅当时取等号， 故， 故，再取补集：的取值范围为 （2）先研究，不等式对于有解， 故：，当且仅当时，取得最小值1， 再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于的一次函数，故只须在的值均满足条件即可， 则，得，解得或 故的取值范围为 19．设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数. （2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是. （3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数. 【详解】（1）（必要性）设，知 为实数，则，即易得． （充分性）反之，若， ∴为实数． （2）设为实数． 易得，即． 反之，由得为实数． ∴为实数的充要条件是． （3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数． 由（2）知，， 设，则由 知．取或2或3，及，易得相应的． ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　常用逻辑用语（学生版）【练习卷】·答案 1．C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 2．B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 3．B 【分析】利用基本不等式求最值即可判断. 【详解】，，，则，当且仅当时等号成立， 则为真命题； 当时，，则，等号成立时， 则为假命题，为真命题． 故与均为真命题． 故选：B 4．D 【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性. 【详解】由，得，解得，所以，充分性成立， 当时，得，，即，必要性成立， 故“”是“”的充要条件，A，C错误； 若，则，解得，则，所以，即，充分性成立， 当时，则或，所以或，必要性不成立， 故是的充分不必要条件，B错误，D正确． 故选：D. 5．A 【分析】先由为奇函数得到，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数的充要条件，即可得是函数为奇函数的充分不必要条件. 【详解】若为奇函数，则， 即，整理得， 即，解得. 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数； 当时，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数. 所以函数为奇函数的充要条件是或. 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 6．B 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 7．A 【分析】根据题意利用等差数列的定义和与的递推关系求解即可. 【详解】正项等差数列中，，则， 则，即，数列是等差数列，充分性成立； 设等差数列的公差为，，则， 则有， 当时，，即从第二项起，数列为等差数列，公差为，要使得为等差数列，则还需满足， 即，解得，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 8．B 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 9．AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 10．AC 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 11．AB 【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D. 【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且， 所以当时，恒成立，当时，恒成立， 所以，恒成立，故A正确； 对于B，，，且，都有， 所以，故B正确； 对于C，设，则，都有，故C错误； 对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但 所以，，故D错误. 故选：AB 12．必要不充分 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由可得或， 即由不一定有成立，但由能推出成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 13．必要不充分 【分析】根据复数相等的定义得，即验证是否能推出复数与复数相等，反之，复数与复数相等是否能推出即可求解. 【详解】由复数与复数相等有， 所以复数与复数相等，反之，复数与复数相等， 所以是复数与复数相等必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 14． 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由题意知在上恒成立，根据恒成立的条件只需，，进而利用二次函数的性质即可求出实数m的取值范围； （2）先求中的取值范围，再根据充分条件和必要条件确定是p的真子集，进而求解即可． 【详解】（1）由题意知在上恒成立， 所以， 因为， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是． （2）由得， 又是p的充分不必要条件，即是p的真子集， 又由（1）有， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，，， 令，可得，解得或， 令，解得，， 则或，， 若，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，或，， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 17．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格. （2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得. （3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得. 【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为， 所以表格如下： 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 （2）实数且，则， 因此， 所以. （3） ， 依题意，对任意实数恒成立， 因此， 所以等式对任意实数恒成立的充要条件是. 18．(1) (2) 【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可； （2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果. 【详解】（1）考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题， ，则恒成立， 故， ，则有解， ，当且仅当时取等号， 故， 故，再取补集：的取值范围为 （2）先研究，不等式对于有解， 故：，当且仅当时，取得最小值1， 再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于的一次函数，故只须在的值均满足条件即可， 则，得，解得或 故的取值范围为 19．(1)证明见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数. （2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是. （3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数. 【详解】（1）（必要性）设，知 为实数，则，即易得． （充分性）反之，若， ∴为实数． （2）设为实数． 易得，即． 反之，由得为实数． ∴为实数的充要条件是． （3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数． 由（2）知，， 设，则由 知．取或2或3，及，易得相应的． ∴或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2.1 常用逻辑用语（学生版）【练习卷】 1．已知 ,x y均为实数，则“ 2 2 0x y  ”是“ 0xy  ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题 p： 0x  ，总有  1 e 1xx   ，则命题 p的否定为（ ） A． 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   B． 0 0x  ，使得   00 1 e 1xx   C． 0x  ，总有  1 e 1xx   D． 0x  ，总有  1 e 1xx   3．已知命题 p： x R，e e 2 x x ，q：  0,10x  ，  10 5x x  ，则下列均是真命题 的是（ ） A．p和 q B．p和 q C． p 和 q D． p 和 q 4．已知单位向量 a，b  ，则（ ） A． 2 2a b a b     是 a b  的必要不充分条件 B． 2 1a b   是 / /a b  的必要不充分条件 C． 2 2a b a b     是a b  的充分不必要条件 D． 2 1a b   是 / /a b  的充分不必要条件 5．“ 1a  “是“函数 2( ) 1 2x af x x a     为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不 充分也不必要条件 6．已知随机事件 A，B发生的概率分别为 ( ), ( )P A P B ，且     0P A P B  ，则  | ( )P A B P B A ∣ 是 ( ) ( ) 1P A P B  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 5 页 7．记 nS ， 1a 分别为正项数列 na 的前 n项和与首项，设甲： na 是公差为 12a 的等差数列； 乙： nS 为等差数列，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集 U的元 素个数有限，对于 U的任意一个子集 S，定义集合 S的指示函数   1, 0,S x S f x x S     ，集合 A、 B都是 U的子集．现有以下四个命题： ①若 A B ，则    A Bf x f x ； ②     U A x xA Af x f x     ； ③           A B A A B x U Ux f x f x f x f x f x       ； ④           1 1 1A B A B x xU U f x f x f x f x         ； 注：   Mx f x   表示 M中所有元素 x所对应的函数值  f x 之和．（其中 M是  f x 定义域的子 集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．将元素个数为非负整数的集合称为有限集， S 表示有限集S中的元素个数.设 A，B都为 有限集，则（ ） A． A B   的充要条件是 | | | | | |A B A B U B． A B 的必要条件是 | | | |A B C． A B 的充分条件是 | | | |A B D． A B 的充要条件是 | | | |A B 10．在△ABC中， 1sin 2 A  ， 2AB  ，BC m ，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（ ） A． 1m  B． 3 2 m  C． 2m  D． 3m  第 3 页 共 5 页 11．若  f x 是定义域为 R 的单调递增函数，下列说法正确的是（ ） A．若  0 0f  ，则 0 0x  ，  0 0 0x f x  B． 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，有    1 1 2 2f x x f x x   C． 1x ， 2x R ，且 1 2x x ，有    1 1 2 2f x x f x x   D． 0x R，  0 0f x  三、填空题 12．“  1 0x x   ”是“ 1x  ”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 分也不必要”）． 13．设 1 1 2 2, , , Ra b a b  ，则 1 2a a 是复数 1 1ia b 与复数 2 2ia b 相等的 条件． 14．设 π1, N,0 2 k k     ，函数 ( )y f x 的表达式为 ( ) 2sin( )f x kx   ，则对任意的实 数 a，皆有{ ( ) 2} { ( ) R}f x a x a f x x    ∣ ∣ 成立的一个充分条件是 . 四、解答题 15．已知命题 p：“ 1 1x   ，不等式 2x x m   成立”是真命题． (1)求实数 m的取值范围； (2)若 : 4 4q m a    是 p的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 第 4 页 共 5 页 16．已知集合 2 61 1 2 x x A x             ，   6log 1B x x a   ． (1)若 A B  R ，求实数 a的取值范围； (2)若 x A 是 x B 的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 17．（1）在用“五点法”作出函数  1 sin , 0,2πy x x   的大致图象的过程中，第一步需要将五 个关键点列表，请完成下表： x 0 sinx 0 1 sinx 1 （2）设实数 0a  且 1a  ，求证：   lnx xa a a  ；（可以使用公式：  e ex x  ） （3）证明：等式    3 2 1 2 3x ax bx c x x x x x x       对任意实数 x恒成立的充要条件是 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 x x x a x x x x x x b x x x c            第 5 页 共 5 页 18．若命题 p：存在 21 2, 3 0x x x a      ，命题 q：二次函数 2 2 1  y x ax 在1 2x  的 图像恒在 x轴上方 (1)若命题 ,p q中至少有一个真命题，求 a的取值范围？ (2)对任意的 1 1a   ，存在0 2b  ，使得不等式 2 2 | 1| | 2 |x ax a b b      成立，求 x的 取值范围？ 19．设 z是虚数， (1)求证 1z z  为实数的充要条件为 | | 1z  ； (2)若 0a  ，推测 az z  为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件 101 6z z    ，及实部与虚部均为整数的复数 z．