5.4.1 　二元一次方程与一次函数 课 件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.4.1 二元一次方程与一次函数 学习目标 1.理解二元一次方程（组）与一次函数的关系;（重点） 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.（难点） 新课讲授 探究一：二元一次方程与一次函数图象的关系 问题1：方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 方程x+y=5的解有无数个. 问题2：在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=-x+5的图象上吗？ 例如，都是方程x+y=5的解. y=-x+5 以 这些解为坐标的点，都在一次函数y=-x+5的图象上. 问题3：在一次函数y=-x+5图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？ A B 适合.例如，将一次函数y=-x+5图象上A（3，2）， B（4，1）点的坐标分别代入x+y=5，3+2=5，4+1=5. 因此，A,B点的坐标都适合方程x+y=5. 问题4：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 在一次函数 y=－x+5的图象上 方程x+y=5的解 从形到数 从数到形 方程x+y=5的解有无数个，以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同，是同一条直线. 知识归纳 二元一次方程与一次函数的关系: 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 一一对应 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 探究二：二元一次方程组与一次函数图象的关系 操作.思考 (1)请在同一直角坐标系内分别画出函数 y=－x+5与y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？ y x 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 -1 -2 如图，函数 y=－x+5与y=2x－1的图象有一个交点A（2，3）. A (2,3) 操作.思考 (2)函数 y=－x+5与y=2x－1的图象交点的坐标与方程组 的解有什么关系？ x+y=5 2x-y=1 y x 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 -1 -2 A (2,3) y=－x+5 y=2x－1 解方程组 得 x=2 y=3 一次函数y=－x+5与y=2x－1图象交点为A(2，3), 而就是方程组 的解. 知识归纳 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值． 形 对应 二元一次方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标 二元一次方程组与一次函数图象的关系: 数 探究三：二元一次方程组与对应平行直线的关系 （2）方程组解的情况如何？ x 3 2 1 -1 -2 y -2 2 -1 0 1 3 思考.交流：（1）在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 一次函数y = x + 1 和y = x - 2 的图象平行. 方程组 无解. 1.两不重合的直线 当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立. 2.方程组,当,且c1≠c2时， 方程组无解；反之也成立. 知识归纳 二元一次方程组与对应平行直线的关系: 知识点一：二元一次方程与一次函数的关系 1. (1)一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象________，是同一条_______； 相同 直线 自学自研 2. (1)下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解是( ) C y＝－2x＋5 3 3. (1)一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的_______________________；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线_______________； (2)如果二元一次方程组无解，那么对应的两个一次函数图象无_________；反之，如果两个一次函数图象无交点，那么对应的二元一次方程组__________． 二元一次方程组的解 交点的坐标 交点 无解 (2，7) 导学导练 解：将点(2，m)代入直线y＝3x中可得m＝3×2＝6. 把点(2，6)代入y＝－2x＋b中， 得6＝－2×2＋b，解得b＝10. ∵点(2，6)是直线y＝3x与直线y＝－2x＋b的交点坐标， 解：(1)当x＝2时，y＝－x＋5＝3， 所以E(2，3).把E(2，3)代入y＝kx－1， 得2k－1＝3， 解得k＝2 (3)当y＝－x＋5＝0时，解得x＝5， 所以A(5，0). 解：(1)当x＝1时，y＝3x＝3， ∴C点坐标为(1，3). 直线y＝kx＋b经过(－2，6)和(1，3)， (3)由(1)知一次函数的表达式为y＝－x＋4， 当y＝0时，即0＝－x＋4， ∴x＝4，∴B(4，0). 设点D坐标为(0，a)，∴OD＝a. ∵S△DOC＝S△BOC， ∴点D的坐标为(0，12)或(0，－12) 课堂小结 二元一次方程与一次函数 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 二元一次方程组与对应两条平行线的关系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. eq \a\vs4\al((2),,,,,,,,,,) 二元一次方程 一次函数 表达式：ax＋by＋c＝0 表达式：y＝－ eq \f(a,b)x－ eq \f(c,b)(b不为0) 方程的解：x＝m，y＝n 图象上的坐标点(m，n)，其中m为横坐标，n为纵坐标 m，n表示实数 (m，n)表示平面内的一个点 (2)与二元一次方程2x＋y＝5对应的一次函数表达式是_____________； eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))是方程的一个解，则对应一次函数的图象上的一个点为(1，____). 4. (1)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－y＝1，,y＝2x＋3))的解是______________，则一次函数y＝4x－1与y＝2x＋3的图象的交点坐标为____________； eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝7)) (2)如图，函数y＝2x与y＝－x＋3交于点(1，2)，则方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＝2x)) 的解为___________________． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2)) 因此方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5，,3x－y＝2))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1)) (3)利用一次函数的图象解二元一次方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5，,3x－y＝2.)) 解：(3)如图，两个一次函数y＝－ eq \f(2,3)x＋ eq \f(5,3)与y＝3x－2的交点坐标为(1，1)； 解：(2)将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3))代入方程组， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3＝5，,3＋3＝－b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－6)) 【典例导引】 5. 【例1】教材改编　北师八上P129已知一次函数y＝ax－5与y＝3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3). (1)关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－y＝5，,3x－y＝－b))的解为______________； (2)求a，b的值． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－3)) 【变式训练】 6. 教材改编　北师八上P132已知直线y＝3x与直线y＝－2x＋b的交点为(2，m)，试确定m，b的值和方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,2x＋y－b＝0))的解． ∴方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,2x＋y－b＝0))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝6)) 7. 【例2】如图，一次函数y＝－x＋5和y＝kx－1与x轴、y轴分别相交于点A，B和C，D两点，且两个函数图象的交点为E，点E的横坐标为2. (1)求k的值； (2)不解方程组，请直接写出方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5，,y＝kx－1))的解； (3)求△ACE的面积． 所以C( eq \f(1,2)，0)， 所以S△ACE＝ eq \f(1,2)×3×(5－ eq \f(1,2))＝ eq \f(27,4) (2)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5，,y＝kx－1))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3)) 当y＝2x－1＝0时，解得x＝ eq \f(1,2)， 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1. (1)求k，b的值； (2)请直接写出方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y＝－b，,3x－y＝0))的解； (3)若点D在y轴上，且满足S△DOC＝S△BOC， 求点D的坐标． 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6＝－2k＋b，,3＝k＋b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝4)) (2)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y＝－b，,3x－y＝0)) 的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3)) ∴ eq \f(1,2)|a|×1＝ eq \f(1,2)×4×3，解得a＝±12， $$