02 常用逻辑用语（学生版+教师版）讲义-2026届高三数学一轮复习

2.1　常用逻辑用语（教师版）【讲义】 01考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1） 必要条件、充分条件、充要条件； （2）全称量词与存在量词； （3）全称量词命题与存在量词命题的否定． 2025年天津卷第2题，5分 2025年北京卷第7题，5分 2024年新高考II卷第2题，5分 2023年新高考I卷第7题，5分 2023年天津卷第2题，5分 2023年全国甲卷第7题，5分 2022年天津卷第2题，5分 2021年全国甲卷第7题，5分 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系； 3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 02 知识梳理 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 二、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三、含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 03 五大题型归纳 题型一：充分条件与必要条件的判断 ( 经典 例题 ) 【典例1-1】 已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【典例1-2】 已知平面，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性. 【详解】由于，所以， 若 ，则，，故充分性成立， 若，，设，， 则存在直线使得，所以，由于，故， 同理存在直线使得，所以，由于，故， 由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立 ( 模拟 好题 ) 1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以； 若，则，解得，得不出． 所以“”是“”的充分不必要条件． 2．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 【解题总结】 1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立． 2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养． 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 ( 经典 例题 ) 【典例2-1】 设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可得、的值，即可得解. 【详解】解不等式可得，由题意可知，，因此，. 【典例2-2】 已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. ( 模拟 好题 ) 1．（2024·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________. 【答案】（只需满足即可） 【解析】由可得，则， 所以，，解得， 因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为. 2．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是__________.（写出满足条件a的一个值即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】由于“”是“”的必要不充分条件，所以， 所以的值只需小于即可. 【解题总结】 1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系． 2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错． 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 ( 经典 例题 ) 【典例3-1】 下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对于A，根据指数的值域为可判断；对于B，取可判断；对于C，取可判断；对于D，取可判断. 【详解】对于A，因为指数函数的值域为，所以，，A对； 对于B，当时，，B对； 对于C，当时，，C错； 对于D，当时，，D对. 【典例3-2】 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断出，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解． 【详解】由图可知，且，非空， 则根据子集的定义可得： 对于，，不正确， 对于，，正确， 对于，，不正确， 对于，，不正确， ( 模拟 好题 ) 1．（2024·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，． 其中是真命题的有（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【解析】对于①，由得：，，，则，①正确； 对于②，，，即，则，②正确； 对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误； 对于④，当时，，，即，④错误， 所以所给命题中，真命题的是①②． 2．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题： ①，使得；    ②，使得； ③，与都相交；    ④，使得原点到的距离为. 其中正确的是（        ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错； 对于②，若，则，解得，②对； 对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错； 对于④，直线的方程为， 若，使得原点到的距离为，则，整理可得， ，方程有解，④对. 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的真假 ( 经典 例题 ) 【典例4-1】 命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。 【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”. 【典例4-2】 命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. ( 模拟 好题 ) 1．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题，不是素数，则为（    ） A．，是素数 B．，是素数 C．，是素数 D．，是素数 【答案】B 【解析】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”. 2．（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将改为，再将结论否定. 【详解】由命题，可知， 为，，故D正确；ABC错误； 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围 ( 经典 例题 ) 【典例5-1】 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 【典例5-2】 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，． 易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为． ( 模拟 好题 ) 1． （2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解. 【详解】对于，， 当时，对于，，则可取任意负数，如； 2．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【解题总结】 1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可． 2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到． ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　常用逻辑用语（学生版）【讲义】 01考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1） 必要条件、充分条件、充要条件； （2）全称量词与存在量词； （3）全称量词命题与存在量词命题的否定． 2025年天津卷第2题，5分 2025年北京卷第7题，5分 2024年新高考II卷第2题，5分 2023年新高考I卷第7题，5分 2023年天津卷第2题，5分 2023年全国甲卷第7题，5分 2022年天津卷第2题，5分 2021年全国甲卷第7题，5分 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系； 3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 02 知识梳理 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 二、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三、含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 03 五大题型归纳 题型一：充分条件与必要条件的判断 ( 经典 例题 ) 【典例1-1】 已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】 已知平面，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 模拟 好题 ) 1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题总结】 1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立． 2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养． 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 ( 经典 例题 ) 【典例2-1】 设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】 已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________. 2．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是__________.（写出满足条件a的一个值即可） 【解题总结】 1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系． 2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错． 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 ( 经典 例题 ) 【典例3-1】 下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例3-2】 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， ( 模拟 好题 ) 1．（2024·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，． 其中是真命题的有（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 2．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题： ①，使得；    ②，使得； ③，与都相交；    ④，使得原点到的距离为. 其中正确的是（        ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的真假 ( 经典 例题 ) 【典例4-1】 命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例4-2】 命题的否定是（    ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题，不是素数，则为（    ） A．，是素数 B．，是素数 C．，是素数 D．，是素数 2．（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围 ( 经典 例题 ) 【典例5-1】 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 模拟 好题 ) 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 2．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【解题总结】 1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可． 2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到． ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 2.1 常用逻辑用语（学生版）【讲义】 01 考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）必要条件、充分条 件、充要条件； （2）全称量词与存在量 词； （3）全称量词命题与存 在量词命题的否定． 2025年天津卷第 2题，5分 2025年北京卷第 7题，5分 2024年新高考 II卷第 2题，5分 2023年新高考 I卷第 7题，5分 2023年天津卷第 2题，5分 2023年全国甲卷第 7题，5分 2022年天津卷第 2题，5分 2021年全国甲卷第 7题，5分 从近几年高考命题来看，常用逻辑 用语没有单独命题考查，偶尔以已 知条件的形式出现在其他考点的题 目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问 题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和 以全称命题与存在命题为条件，求 参数的范围问题． 复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系； 3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 02 知识梳理 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若 p，则 q ”为真（记作 p q ），则 p是 q的充分条件；同时 q是 p的必要 条件． 2、从逻辑推理关系上看 第 2 页 共 7 页 （1）若 p q 且 q p¿ ，则 p是 q的充分不必要条件； （2）若 p q¿ 且 q p ，则 p是 q的必要不充分条件； （3）若 p q 且 q p ，则 p是 q的的充要条件（也说 p和 q等价）； （4）若 p q¿ 且 q p¿ ，则 p不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： p q ，则 p是 q的充分条 件，同时 q是 p的必要条件．所谓“充分”是指只要 p成立， q就成立；所谓“必要”是指要使 得 p成立，必须要 q成立（即如果 q不成立，则 p肯定不成立）． 二、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的 任意一个 x，有 ( )p x 成立”可用符号简记为“ , ( )x M p x  ”，读作“对任意 x属于M ，有 ( )p x 成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存 在量词，并用符号“  ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个 0x ，使 0( )p x 成立”可用符号简记为“ 0 0, ( )x M P x  ”，读作“存在M 中元素 0x ，使 0( )p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三、含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题 : , ( )p x M p x  的否定 p 为 0x M  ， 0( )p x ． （2）存在量词命题 0 0: , ( )p x M p x  的否定 p 为 , ( )x M p x   ． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设    | ( ) , | ( )A x p x B x q x  ． （1）若 A B ，则 p是 q的充分条件（ p q ），q是 p的必要条件；若 A B，则 p是 q的充分不必要条件， q是 p的必要不充分条件，即 p q 且 q p¿ ； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若 B A ，则 p是 q的必要条件， q是 p的充分条件； （3）若 A B ，则 p与 q互为充要条件． 第 3 页 共 7 页 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 ( ) 大于 ( ) 小于 ( ) 是 都是 任意（所 有） 至 多 有 一个 至 多 有 一个 否 定词 语 不 等 于 ( ) 小于等于 ( ) 大于等于 ( ) 不是 不都是 某个 至 少 有 两个 一 个 都 没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素 x证明其 成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个 0x ，使得其不成立即可， 这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个 0x 使之成立 即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 03 五大题型归纳 题型一：充分条件与必要条件的判断 经典 例题 【典例 1-1】 已知 ,R R a b ．则“ 1ab  ”是“ 2 2 2a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例 1-2】 已知平面 , , , l      ，则“ l  ”是“  且  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟 好题 1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量  2 , 9a m  ，  1, 1b    ，则“ 3m   ” 是“ //a b  ”的（ ） 第 4 页 共 7 页 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 a，bR ，则“ a b ”是“ 2 2a b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题总结】 1、要明确推出的含义，是 p成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立． 2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养． 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 经典 例题 【典例 2-1】 设 x R ， a b ，若“ a x b  ”是“ 2 2 0x x   ”的充要条件，则b a 的值为（ ） A．0 B． 3 C．3 D． 2 【典例 2-2】 已知命题 :p “方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负实根”，若 p为真命题的一个必要不充分条件 为 1a m  ，则实数m的取值范围是 ． 模拟 好题 1．（2024·山东潍坊·统考二模）若“ x  ”是“ sin cos 1x x  ”的一个充分条件，则 的一个可 能值是__________. 2．（2024·全国·高三专题练习）若“ 2x  ”是“ x a ”的必要不充分条件，则 a的值可以是 __________.（写出满足条件 a的一个值即可） 【解题总结】 1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系． 2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错． 第 5 页 共 7 页 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 经典 例题 【典例 3-1】 下列命题中的假命题是（ ） A． x R ， 1 0 2 x       B． x R， 1 2x x C． x R， | |2 1x  D． x R ， tan 1x  【典例 3-2】 已知全集U和它的两个非空子集A， B的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A． x A  ， x B B． x A  ， x B C． x B  ， x A D． x B  ， x A 模拟 好题 1．（2024·全国·高三专题练习）已知 0 1b a   ，下列四个命题：① (0, )  x ， x xa b ， ② (0,1)x  ， log loga bx x ，③ (0,1)x  ， a bx x ，④ (0, )x b  ， log x aa x ． 其中是真命题的有（ ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 2．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线    1 : 1 1l x a y a a    R ，直线 2 1: 2 l y x  ，给 出下列命题： ① Ra  ，使得 1 2//l l ； ② Ra  ，使得 1 2l l ； ③ Ra  ， 1l 与 2l 都相交； ④ Ra  ，使得原点到 1l 的距离为 2 . 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 第 6 页 共 7 页 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的真假 经典 例题 【典例 4-1】 命题“ x R， *n N  ， 2n x ”的否定形式是（ ） A． x R， *n N  ， 2n x B． x R， *n N  ， 2n x C． x R， *n N  ， 2n x D． x R ， *n N  ， 2n x 【典例 4-2】 命题  1,1 , 0x x x     的否定是（ ） A．  1,1 , 0x x x     B．  1,1 , 0x x x     C．    , 1 1, , 0x x x         D．    , 1 1, , 0x x x         模拟 好题 1．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题 : Np n  ，2 2n  不是素数，则 p 为（ ） A． n N ， 2 2n  是素数 B． n N， 2 2n  是素数 C． n N，2 2n  是素数 D． n N， 2 2n  是素数 2．（2024·贵州遵义·一模）已知命题 : 1p x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   ，则 p 为（ ） A． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   B． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   C． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   D． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否 第 7 页 共 7 页 定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围 经典 例题 【典例 5-1】 若命题“    21,3 , 2 1 3 0a ax a x a        ”为假命题，则实数 x的取值范围为（ ） A． 1,4 B． 50, 3      C．  51,0 ,43        D．  51,0 ,43       【典例 5-2】 已知命题“  1,2x  ，2 0x x a   ”为假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A．  ,5 B． 6, C．  ,3 D． 3, 模拟 好题 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于  0,x   ，e 1x ax  ”为真命题，写出符合条 件的 a的一个值： ． 2．（2024·辽宁·三模）若“  0,x   ，使 2 4 0x ax   ”是假命题，则实数 a的取值范围 为 . 【解题总结】 1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题， 去求真命题的补级即可． 2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到． 第 1 页 共 12 页 2.1 常用逻辑用语（教师版）【讲义】 01 考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）必要条件、充分条 件、充要条件； （2）全称量词与存在量 词； （3）全称量词命题与存 在量词命题的否定． 2025 年天津卷第 2 题，5 分 2025 年北京卷第 7 题，5 分 2024 年新高考 II 卷第 2 题，5 分 2023 年新高考 I 卷第 7 题，5 分 2023 年天津卷第 2 题，5 分 2023 年全国甲卷第 7 题，5 分 2022 年天津卷第 2 题，5 分 2021 年全国甲卷第 7 题，5 分 从近几年高考命题来看，常用逻辑 用语没有单独命题考查，偶尔以已 知条件的形式出现在其他考点的题 目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问 题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和 以全称命题与存在命题为条件，求 参数的范围问题． 复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系； 3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 02 知识梳理 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若 p，则 q ”为真（记作 p q ），则 p是 q的充分条件；同时 q是 p的必要 条件． 2、从逻辑推理关系上看 第 2 页 共 12 页 （1）若 p q 且 q p¿ ，则 p是 q的充分不必要条件； （2）若 p q¿ 且 q p ，则 p是 q的必要不充分条件； （3）若 p q 且 q p ，则 p是 q的的充要条件（也说 p和 q等价）； （4）若 p q¿ 且 q p¿ ，则 p不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： p q ，则 p是 q的充分条 件，同时 q是 p的必要条件．所谓“充分”是指只要 p成立， q就成立；所谓“必要”是指要使 得 p成立，必须要 q成立（即如果 q不成立，则 p肯定不成立）． 二、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的 任意一个 x，有 ( )p x 成立”可用符号简记为“ , ( )x M p x  ”，读作“对任意 x属于M ，有 ( )p x 成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存 在量词，并用符号“  ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个 0x ，使 0( )p x 成立”可用符号简记为“ 0 0, ( )x M P x  ”，读作“存在M 中元素 0x ，使 0( )p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三、含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题 : , ( )p x M p x  的否定 p 为 0x M  ， 0( )p x ． （2）存在量词命题 0 0: , ( )p x M p x  的否定 p 为 , ( )x M p x   ． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设    | ( ) , | ( )A x p x B x q x  ． （1）若 A B ，则 p是 q的充分条件（ p q ），q是 p的必要条件；若 A B，则 p是 q的充分不必要条件， q是 p的必要不充分条件，即 p q 且 q p¿ ； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若 B A ，则 p是 q的必要条件， q是 p的充分条件； （3）若 A B ，则 p与 q互为充要条件． 第 3 页 共 12 页 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 ( ) 大于 ( ) 小于 ( ) 是 都是 任意（所 有） 至 多 有 一个 至 多 有 一个 否 定词 语 不 等 于 ( ) 小于等于 ( ) 大于等于 ( ) 不是 不都是 某个 至 少 有 两个 一 个 都 没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素 x证明其 成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个 0x ，使得其不成立即可， 这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个 0x 使之成立 即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 03 五大题型归纳 题型一：充分条件与必要条件的判断 经典 例题 【典例 1-1】 已知 ,R R a b ．则“ 1ab  ”是“ 2 2 2a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当 1ab  时，则 2 2 2 2a b ab   ，当且仅当 a b 时取等，所以充分性成立， 取 4, 1a b   ，满足 2 2 2a b  ，但 1ab  ，故必要性不成立， 所以“ 1ab  ”是“ 2 2 2a b  ”的充分不必要条件. 【典例 1-2】 已知平面 , , , l      ，则“ l  ”是“  且  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 第 4 页 共 12 页 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面 垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性. 【详解】由于 l   ，所以 ,l l   ， 若 l  ，则  ，   ，故充分性成立， 若  ，   ，设 m   ， n   ， 则存在直线 ,a  使得 a m ，所以 a  ，由于 l  ，故 a l ， 同理存在直线 ,b  使得b n ，所以b  ，由于 l  ，故b l ， 由于 ,a b不平行，所以 ,a b是平面 内两条相交直线，所以 l  ，故必要性成立 模拟 好题 1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量  2 , 9a m  ，  1, 1b    ，则“ 3m   ” 是“ //a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 3m   ，则  9, 9 9a b    ，所以 //a b  ； 若 //a b  ，则    2 1 9 1 0m       ，解得 3m   ，得不出 3m   ． 所以“ 3m   ”是“ //a b  ”的充分不必要条件． 2．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 a，bR，则“ a b ”是“ 2 2a b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若 0a b= > ，则 2 2a b 不成立，若 a b 且 0a b  ，此时 2 2a b 推不出 a b ，所 以“ a b ”是“ 2 2a b ”的既不充分也不必要条件. 【解题总结】 第 5 页 共 12 页 1、要明确推出的含义，是 p成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立． 2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养． 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 经典 例题 【典例 2-1】 设 x R ， a b ，若“ a x b  ”是“ 2 2 0x x   ”的充要条件，则b a 的值为（ ） A．0 B． 3 C．3 D． 2 【答案】C 【分析】解不等式 2 2 0x x   可得 a、b的值，即可得解. 【详解】解不等式 2 2 0x x   可得 2 1x   ，由题意可知 2a   ， 1b  ，因此， 3b a  . 【典例 2-2】 已知命题 :p “方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负实根”，若 p为真命题的一个必要不充分条件 为 1a m  ，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 0m  【分析】先求得 p为真命题时 a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围. 【详解】若命题 :p “方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负实根”为真命题， 0a  时， 12 1 0, 2 x x    ，符合题意； 当 0a  时， 4 4 0a    ，且 1 2 1 2 2 10, 0x x x x a a       ， 则此时方程 2 2 1 0ax x   有一个正根和一个负根，符合题意； 当 0a  时，由 4 4 0a    ，解得 1a  ， 此时方程为  22 2 1 1 0, 1x x x x       符合题意； 由 4 4 0a    解得0 1a  ，此时 1 2 1 2 2 10, 0x x x x a a       ， 则此时方程 2 2 1 0ax x   有两个负根，符合题意. 综上所述， p为真命题时， a的取值范围是  ,1 . 若 p为真命题的一个必要不充分条件为 1a m  ， 则 1 1, 0m m   . 第 6 页 共 12 页 模拟 好题 1．（2024·山东潍坊·统考二模）若“ x  ”是“ sin cos 1x x  ”的一个充分条件，则 的一个可 能值是__________. 【答案】 π 4 （只需满足  π2 π,2 π 2 k k k        Z 即可） 【解析】由 sin cos 1x x  可得 π2 sin 1 4 x      ，则 π 2sin 4 2 x      ， 所以，  π π 3π2 π 2 π 4 4 4 k x k k     Z ，解得  π2 π 2 π 2 k x k k   Z ， 因为“ x  ”是“ sin cos 1x x  ”的一个充分条件，故 的一个可能取值为 π 4 . 2．（2024·全国·高三专题练习）若“ 2x  ”是“ x a ”的必要不充分条件，则 a的值可以是 __________.（写出满足条件 a的一个值即可） 【答案】 0（答案不唯一，满足 2a  即可） 【解析】由于“ 2x  ”是“ x a ”的必要不充分条件，所以 2a  ， 所以 a的值只需小于 2 即可. 【解题总结】 1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系． 2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错． 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 经典 例题 【典例 3-1】 下列命题中的假命题是（ ） A． x R， 1 0 2 x       B． x R， 1 2x x C． x R， | |2 1x  D． x R， tan 1x  【答案】C 【分析】对于 A，根据指数的值域为  0,  可判断；对于 B，取 1 4 x  可判断；对于 C，取 第 7 页 共 12 页 0x  可判断；对于 D，取 π3 x  可判断. 【详解】对于 A，因为指数函数的值域为  0,  ，所以 x R， 1 0 2 x       ，A 对； 对于 B，当 1 4 x  时， 1 1 2 2 1 1 1 4 2 4 x        ，B 对； 对于 C，当 0x  时， | | 02 12x  ，C 错； 对于 D，当 π3 x  时， πtan tan 3 1 3 x    ，D 对. 【典例 3-2】 已知全集U和它的两个非空子集A ， B的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A． x A  ， x B B． x A  ， x B C． x B  ， x A D． x B  ， x A 【答案】B 【分析】判断出 B A ，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解． 【详解】由图可知 B A ，且A ， B非空， 则根据子集的定义可得： 对于A ， x A  ， x B 不正确， 对于B ， x A  ， x B 正确， 对于C， x B  ， x A 不正确， 对于D ， x B  ， x A 不正确， 模拟 好题 1．（2024·全国·高三专题练习）已知 0 1b a   ，下列四个命题：① (0, )  x ， x xa b ， ② (0,1)x  ， log loga bx x ，③ (0,1)x  ， a bx x ，④ (0, )x b  ， log x aa x ． 其中是真命题的有（ ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 第 8 页 共 12 页 【答案】C 【解析】对于①，由 0 1b a   得： 1 a b ， (0, )  x ， 0 1 xx x a a a b b b              ，则 x xa b ， ①正确； 对于②， (0,1)x  ，log log log log 1 0x x x x aa b b     ，即 0 log logx xa b  ，则 log loga bx x ， ②正确； 对于③，函数 (0 1)xy m m   在(0,1)上为减函数，而 0 1b a   ，则 a bm m ，即 (0,1)x  ， a bx x ，③错误； 对于④，当 (0, )x b 时， 1xa  ， log log log 1a a ax b a   ，即 log x aa x ，④错误， 所以所给命题中，真命题的是①②． 2．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线    1 : 1 1l x a y a a    R ，直线 2 1: 2 l y x  ，给 出下列命题： ① Ra  ，使得 1 2//l l ； ② Ra  ，使得 1 2l l ； ③ Ra  ， 1l 与 2l 都相交； ④ Ra  ，使得原点到 1l 的距离为 2 . 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【解析】对于①，若 1 2//l l ，则 1 1 1 2 1 0 a a        ，该方程组无解，①错； 对于②，若 1 2l l ，则 1 1 1 1 2a               ，解得 3 2 a   ，②对； 对于③，当 1a  时，直线 1l 的方程为 2 0x y  ，即 1 2 y x  ，此时， 1l 、 2l 重合，③错； 对于④，直线 1l 的方程为  1 1 0x a y a     ， 若 a R  ，使得原点到 1l 的距离为 2 ，则  2 1 2 1 1 a a     ，整理可得 23 10 7 0a a   ， Δ 100 4 3 7 0     ，方程 23 10 7 0a a   有解，④对. 【解题总结】 第 9 页 共 12 页 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的真假 经典 例题 【典例 4-1】 命题“ x R， *n N  ， 2n x ”的否定形式是（ ） A． x R， *n N  ， 2n x B． x R， *n N  ， 2n x C． x R， *n N  ， 2n x D． x R， *n N  ， 2n x 【答案】C 【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。 【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ x R， *n N  ， 2n x ”的 否定形式是“ x R， *n N  ， 2n x ”. 【典例 4-2】 命题  1,1 , 0x x x     的否定是（ ） A．  1,1 , 0x x x     B．  1,1 , 0x x x     C．    , 1 1, , 0x x x         D．    , 1 1, , 0x x x         【答案】B 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题  1,1 , 0x x x     ， 则其否定为  1,1 , 0x x x     . 模拟 好题 1．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题 : Np n  ，2 2n  不是素数，则 p 为（ ） A． n N， 2 2n  是素数 B． n N， 2 2n  是素数 第 10 页 共 12 页 C． n N，2 2n  是素数 D． n N， 2 2n  是素数 【答案】B 【解析】由于存在量词命题 : , ( )p x M p x  ，否定为 : , ( )p x M p x    .所以命题“有一个偶 数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”. 2．（2024·贵州遵义·一模）已知命题 : 1p x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   ，则 p 为（ ） A． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   B． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   C． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   D． 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   【答案】D 【分析】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将改为，再将结论否定. 【详解】由命题 : 1p x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   可知， p 为 1x  ， 3 1 1ln 3 3 x x   ，故 D 正确；ABC 错误； 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否 定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围 经典 例题 【典例 5-1】 若命题“    21,3 , 2 1 3 0a ax a x a        ”为假命题，则实数 x的取值范围为（ ） A． 1,4 B． 50, 3      C．  51,0 ,4 3        D．  51,0 , 4 3       【答案】C 【解析】命题“    21,3 , 2 1 3 0a ax a x a        ”为假命题，其否定为真命题， 即“    21,3 , 2 1 3 0a ax a x a        ”为真命题． 令 2 2( ) 2 3 ( 2 1) 3 0g a ax ax x a x x a x           ， 第 11 页 共 12 页 则 ( 1) 0 (3) 0 g g     ，即 2 2 3 4 0 3 5 0 x x x x        ， 解得 1 4 5 0 3 x x x        或 ，所以实数 x的取值范围为   51,0 ,4 3        . 【典例 5-2】 已知命题“  1,2x  ，2 0x x a   ”为假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A．  ,5 B． 6, C．  ,3 D． 3, 【答案】D 【解析】因为命题“  1,2x  ，2 0x x a   ”为假命题，则命题的否定“  0 1, 2x  ， 0 02 0 x x a  ≤ ”为真命题，所以  min 2xa x≥ ，  1,2x ． 易知函数 2xy x  在  1, 2 上单调递增，所以当 1x  时， 2xy x  取最小值，所以 12 1 3a    ．所以实数 a的取值范围为 3, ． 模拟 好题 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于  0,x   ，e 1x ax  ”为真命题，写出符合条 件的 a的一个值： ． 【答案】 1 （答案不唯一） 【分析】当  0,x   时， e 1x  ，当 0a  时，可得 a可取任意负数，即可求解. 【详解】对于  0,x    ， e 1x  ， 当 0a  时，对于  0,x    ， 1 1ax   ，则 a可取任意负数，如 1 ； 2．（2024·辽宁·三模）若“  0,x   ，使 2 4 0x ax   ”是假命题，则实数 a的取值范围 为 . 【答案】  , 4 【分析】将问题转化为“ 4a x x   在 (0, ) 上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值， 第 12 页 共 12 页 从而得解. 【详解】因为“  0,x    ，使 2 4 0x ax   ”是假命题， 所以“  0,x    ， 2 4 0x ax   ”为真命题， 其等价于 4a x x   在  0,  上恒成立， 又因为对勾函数   4f x x x   在 (0, 2]上单调递减，在[2, ) 上单调递增， 所以    min 2 4f x f  ， 所以 4a  ，即实数 a的取值范围为  , 4 . 【解题总结】 1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题， 去求真命题的补级即可． 2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．