17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、逆命题与真假命题 1.下列语句中，是真命题的是（　　） A.如果|a|＝|b|，那么a＝b B.任何一个正数的平方都大于这个正数 C.内错角相等，两直线平行 D.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直 2.下列命题中，错误的是（　　） A.若a＞b，则a+c＞b+c B.若a＞b，则ac＞bc C.若a＞b＞0，则a2＞b2 D.若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d 3.下列命题是真命题的是（　　） A.平行四边形对角线平分对角 B.菱形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 　   　命题．（填“真”或“假”） 5.命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 　               　；这个逆命题是            命题（填“真”或“假”）. 6.[阅读理解] 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． [解决问题] 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 7.命题：无理数是无限小数． （1）这个命题的逆命题是真命题吗？说明你的理由； （2）如果（1）中的逆命题不是真命题，请你添加一个条件使之成为真命题，写出这个真命题． 二、勾股定理的的逆定理 1.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 2.已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足++（c﹣4）2＝0，则以a，b，c为边可构成（　　） A.以c为斜边的直角三角形 B.以a为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.有一个内角为30°的直角三角形 3.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B.∠A﹣∠B＝∠C C.AB：BC：AC＝1：2： D.AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5 4.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　． 5.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是　     cm． 6.一个三角形三边的比为1：：2，这个三角形是直角三角形吗？ 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 三、勾股定理的应用 1.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　） ​ A.1.5 B.1 C.0.5 D.0.2 2.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m． A. B. C.6 D. 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20()a2元 D.40()a2元 4.“五•一”小长假，李明与同学相约休闲广场放风筝，如图所示风筝线断了，风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地面C点（如图所示），请你帮李明求出此时风筝距离地面的高度是 　　米． 5.某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 6.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 7.入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道A→B改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）． （1）求改造前原有管道的长度是多少？ （2）求改造后A，B之间的管道长度减少了多少？ 四、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，， B.1，， C.7，24，25 D.2，3，4 2.下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A.1，2，3 B.3，4，5 C.4，6，7 D.6，8，9 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　        　． 6.以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 7.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、逆命题与真假命题 1.下列语句中，是真命题的是（　　） A.如果|a|＝|b|，那么a＝b B.任何一个正数的平方都大于这个正数 C.内错角相等，两直线平行 D.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】C 【解析】A，如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B，一个正数的平方可以小于这个正数，如：＝，＜，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C，内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意； D，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 2.下列命题中，错误的是（　　） A.若a＞b，则a+c＞b+c B.若a＞b，则ac＞bc C.若a＞b＞0，则a2＞b2 D.若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d 【答案】B 【解析】A，a＞b，则a+c＞b+c，不符合题意； B，a＞b且c≠0，则ac2＞bc2，符合题意； C，a＞b＞0，则a2＞b2，不符合题意； D，若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，不符合题意． 故选：B． 3.下列命题是真命题的是（　　） A.平行四边形对角线平分对角 B.菱形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】A，平行四边形对角线不平分对角，故原命题为假命题； B，菱形的对角线不一定相等，故原命题为假命题； C，对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题为假命题； D，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，为真命题． 故选：D． 4.命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 　   　命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】∵a＞b， ∴a﹣3＞b﹣3， ∴若a＞b，则a﹣3＜b﹣3是假命题. 5.命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 　               　；这个逆命题是            命题（填“真”或“假”）. 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 真 【解析】命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，是真命题． 故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角相等；真命题. 6.[阅读理解] 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． [解决问题] 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】解：（1）∵命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|． ∴a＝b是题设，|a|＝|b|是结论； 逆命题q是：如果|a|＝|b|，那么a＝b． （2）命题q是假命题， 反例：a＝3，b＝﹣3，|3|＝|﹣3|，但是3不等于﹣3． 7.命题：无理数是无限小数． （1）这个命题的逆命题是真命题吗？说明你的理由； （2）如果（1）中的逆命题不是真命题，请你添加一个条件使之成为真命题，写出这个真命题． 【答案】解：（1）无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，这个命题为假命题． 理由：无限循环小数是有理数． （2）添加条件：不循环，即无限不循环小数是无理数． 二、勾股定理的的逆定理 1.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； B.三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； C.三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意； D.三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； 故选：C． 2.已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足++（c﹣4）2＝0，则以a，b，c为边可构成（　　） A.以c为斜边的直角三角形 B.以a为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.有一个内角为30°的直角三角形 【答案】B 【解析】由题意可得a＝，b＝2，c＝4， ∵22+42＝20，（）2＝20， 即b2+c2＝a2， 所以△ABC是直角三角形． 故选：B． 3.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B.∠A﹣∠B＝∠C C.AB：BC：AC＝1：2： D.AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5 【答案】A 【解析】A.根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，符合题意； B.∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C.∵AB：BC：AC＝1：2：，12+（）2＝4＝22，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； D.由AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5得，AB2+BC2＝AC2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　． 【答案】 【解析】∵52+122＝132， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∵D为BC的中点， ∴AD＝BC＝． 故答案为：． 5.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是　     cm． 【答案】12 【解析】如图，设AB＝25 cm是最长边，AC＝15 cm，BC＝20 cm，过C作CD⊥AB于D， ∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD， ∴AC×BC＝AB×CD，15×20＝25CD， ∴CD＝12（cm）． 6.一个三角形三边的比为1：：2，这个三角形是直角三角形吗？ 【答案】解：这个三角形是直角三角形，理由如下： ∵边长之比满足1∶∶2， 设三边分别为x，x，2x, ∵（x）2+（x）2=（2x）2， 即满足两边的平方和等于第三边的平方， ∴这个三角形是直角三角形． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 【答案】解 （1）AC＝＝； CD＝＝； AD＝＝5． 故答案为：，，5； （2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， 故△ACD是直角三角形． 三、勾股定理的应用 1.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　） ​ A.1.5 B.1 C.0.5 D.0.2 【答案】C 【解析】∵AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米， ∴AC2＝（）2＝5，CH2+AH2＝4+1＝5， ∴AC2＝CH2+AH2， ∴△ACH是直角三角形，∠AHC＝90°， ∴BC＝＝＝2.5（千米）， 故2.5﹣2＝0.5（千米）． 故选：C． 2.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m． A. B. C.6 D. 【答案】B 【解析】∵CE＝BF＝4m，DE＝1m， ∴CD＝CE﹣DE＝4﹣1＝3m， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝6m， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m， 故x2＝62+（x﹣3）2， 解得：x=， 即绳索AD的长度是． 故选：B． 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20()a2元 D.40()a2元 【答案】C 【解析】∵∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝a米， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2a（米）， ∴BD＝＝a（米）， ∴BC＝BD+CD＝（+1）a米， ∴S△ABC＝＝（+1）a2（平方米）， ∵绿色植被每平方米造价40元， ∴铺满这块空地需要20（+1）a2元． 故选：C． 4.“五•一”小长假，李明与同学相约休闲广场放风筝，如图所示风筝线断了，风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地面C点（如图所示），请你帮李明求出此时风筝距离地面的高度是 　　米． 【答案】8 【解析】由题可知，∠ABC＝90°，AC＝（AB+2）米，BC＝6米， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即AB2+62＝（AB+2）2，解得AB＝8， ∴风筝距离地面的高度为8米． 5.某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】680 【解析】由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 6.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】解：如图所示，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得BC＝13米，DC＝12米， 故BD＝＝5（米）， 即AD＝9米， 则AC＝＝＝15（米）， 故AC+AB＝15+4＝19（米）， 即树原来的高度19米． 7.入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道A→B改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）． （1）求改造前原有管道的长度是多少？ （2）求改造后A，B之间的管道长度减少了多少？ 【答案】解：（1）由图可知， 改造前原有管道的长度＝170+30+120+70+100+20＝510（m）， ∴改造前原有管道的长度是510 m． （2）过点B作BC⊥AM于点C， 由图可知，AC＝170﹣（120﹣100）＝170﹣20＝150（m）， BC＝30+（70﹣20）＝30+50＝80（m）， ∴AB＝＝＝170（m）． 510﹣170＝340（m）． ∴改造后A，B之间的管道长度减少340 m． 四、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，， B.1，， C.7，24，25 D.2，3，4 【答案】C 【解析】A，因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意； B，因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意； C，因为72+242＝252，所以是勾股数，此项符合题意； D，因为22+32≠42，所以不是勾股数，此项不符合题意． 故选：C． 2.下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】B 【解析】①0.6，0.8，1中0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意； ②72+242＝252，且7，24，25都是正整数，是勾股数，符合题意； ③102+242＝262，且10，24，26都是正整数，是勾股数，符合题意； ④，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 3.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A.1，2，3 B.3，4，5 C.4，6，7 D.6，8，9 【答案】B 【解析】A，1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意； B，32+42＝52，故是勾股数，符合题意； C，42+62≠72，故不是勾股数，不符合题意； D，82+62≠92，故不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 【答案】3，4，5（答案不唯一） 【解析】一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为：3，4，5（答案不唯一）． 5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　        　． 【答案】4，3，5（答案不唯一） 【解析】∵如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数， ∴当m为大于1的任意整数时，a，b，c为勾股数， 如m＝2，那么a＝2m＝4，b＝m2﹣1＝3，c＝m2+1＝5． 故答案为4，3，5（答案不唯一）． 6.以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【答案】解：（1）上述四组勾股数组的规律是32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第六组勾股数为14，48，50． （2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下： （n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2． 7.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】证明 （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数； （2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数， ∵a2+b2＝c2， ∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2， ∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数． 学科网（北京）股份有限公司 $$