17.2 勾股定理的逆定理 讲义 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题17.2 勾股定理逆定理（知识梳理及题型总结） ·模块一 勾股定理与逆定理的区别与联系 ·模块二 勾股定理逆定理的应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理与逆定理的区别与联系 1．区别 (1)勾股定理： 题设：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c。 结论： 注：勾股定理是直角三角形的性质。 (2)勾股定理的逆定理： 题设：如果三角形边长分别为a、b、c,且 结论：这个三角形为直角三角形 注：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法。 2．联系 （1） 两者都与三角形的三边有关且都包含等式； （2） 两者都与直角三角形有关； （3） 勾股定理 互逆定理 勾股定理的逆定理 模块二 勾股定理逆定理的应用 应用一：判断三角形的形状 如：三角形三边长a,b,c满足a=3，b=7，c=9.判断该三角形是直角三角形吗？ 解：因为，所以，该三角形不是直角三角形。 应用二：勾股定理逆定理解决边长问题 如：△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，AC=15，求DC的长？ 解：依据逆定理判断出△ABD为直角三角形，再用勾股定理求CD。 应用三：勾股定理逆定理证明垂直问题 如：正方形ABCD中，AE=EB=2，AF=，求证： 解：分别在直角△AEF，△EBC，△FDC中，求出的值，依据逆定理判定△EFC为直角三角形，得出。 应用四：勾股定理逆定理的综合应用 如：四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积？ 解：依据勾股定理求出AC长，再用逆定理判定△ACD为直角三角形。 应用五：勾股定理逆定理的实际应用 如：在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时候，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？ 解：依题意画出方位图，根据题意求出BM、BP、MP的平方，判断△MBP的形状。 【考点1 判断三角形形状】 【例1.1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A． B．2，3，4 C．13，5，12 D． 【例1.2】以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【变式1.1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 【变式1.2】的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点2 勾股定理逆定理解决边长问题】 【例2.1】如图，在中，，点在边上，，，．求的长． 【例2.2】如图，为的中线，，求的周长． 【变式2.1】如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【变式2.2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】如图所示，已知，，，则的长为 ． 【考点3 勾股定理逆定理证明垂直问题】 【例3.1】如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【例3.2】如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式3.1】如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【变式3.2】如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 【变式3.3】如图所示，在四边形中，为直角，， (1)试说明； (2)求四边形的面积． 【考点4 勾股定理逆定理的综合应用】 【例4.1】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（    ） A．仅符合要求 B．仅符合要求 C．和都符合要求 D．和都不符合要求 【例4.2】 【变式4.1】如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，，求这块草坪的面积． 【变式4.2】某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【变式4.3】为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【变式4.4】如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 【考点5 勾股定理逆定理的实际应用】 【例题5.1】某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【例题5.2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式5.1】教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【变式5.2】如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【变式5.3】为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图，，信号源点E与点C距离为，点E与点D距离为，公交车可以看作长方形，公交车在离信号源点E最近的车道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置长为，且上每一处都能接收到信号．信号源的影响范围为试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由． 模块三 课后作业 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 5．如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 6．如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 7．如图，在中，，D是上的一点，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 8．如图，在中，于点，，，． (1)求，的值； (2)判断的形状，并说明理由． 9．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 10．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网（北京）股份有限公司 专题17.2 勾股定理逆定理（知识梳理及题型总结） ·模块一 勾股定理与逆定理的区别与联系 ·模块二 勾股定理逆定理的应用 ·模块三 课后作业 模块一 勾股定理与逆定理的区别与联系 1．区别 (1)勾股定理： 题设：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c。 结论： 注：勾股定理是直角三角形的性质。 (2)勾股定理的逆定理： 题设：如果三角形边长分别为a、b、c,且 结论：这个三角形为直角三角形 注：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法。 2．联系 （1） 两者都与三角形的三边有关且都包含等式； （2） 两者都与直角三角形有关； （3） 勾股定理 互逆定理 勾股定理的逆定理 模块二 勾股定理逆定理的应用 应用一：判断三角形的形状 如：三角形三边长a,b,c满足a=3，b=7，c=9.判断该三角形是直角三角形吗？ 解：因为，所以，该三角形不是直角三角形。 应用二：勾股定理逆定理解决边长问题 如：△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，AC=15，求DC的长？ 解：依据逆定理判断出△ABD为直角三角形，再用勾股定理求CD。 应用三：勾股定理逆定理证明垂直问题 如：正方形ABCD中，AE=EB=2，AF=，求证： 解：分别在直角△AEF，△EBC，△FDC中，求出的值，依据逆定理判定△EFC为直角三角形，得出。 应用四：勾股定理逆定理的综合应用 如：四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积？ 解：依据勾股定理求出AC长，再用逆定理判定△ACD为直角三角形。 应用五：勾股定理逆定理的实际应用 如：在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时候，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？ 解：依题意画出方位图，根据题意求出BM、BP、MP的平方，判断△MBP的形状。 【考点1 判断三角形形状】 【例1.1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A． B．2，3，4 C．13，5，12 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形的方法成为解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解∶A．由，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； B．由，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； C．由，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意； D．由，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【例1.2】以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1.1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意； B．，所以能构成直角三角形，故该不选项符合题意； C．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1.2】的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1.3】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 【考点2 勾股定理逆定理解决边长问题】 【例2.1】如图，在中，，点在边上，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，先证明是直角三角形，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴是直角三角形，． ． 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得． 即． 【例2.2】如图，为的中线，，求的周长． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，以及垂直平分线的定义与性质，先由，得出是直角三角形，且，结合为的中线，则是的垂直平分线，即进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵为的中线， ∴，是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为． 【变式2.1】如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，， 是翻折而成， ， 设， ， 在中，，即， 解得． 故的长为3． 【变式2.2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2.3】如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点3 勾股定理逆定理证明垂直问题】 【例3.1】如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 【例3.2】如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式3.1】如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【答案】(1)与互相垂直，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得． （1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：与互相垂直， 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 【变式3.2】如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过勾股定理逆定理得到，再由三角形的面积公式即可求解； （2）连接，在中，由勾股定理得，可得是的垂直平分线，则设，则，，在中，由勾股定理得，，求出x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 而, ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵点为的中点，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：， ∴． 【变式3.3】如图所示，在四边形中，为直角，， (1)试说明； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理： （1）先由勾股定理得到，再由勾股定理的逆定理得到，则，即； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由（1）可知 ． 【考点4 勾股定理逆定理的综合应用】 【例4.1】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（    ） A．仅符合要求 B．仅符合要求 C．和都符合要求 D．和都不符合要求 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，判断出的形状，从而判断这个零件是否符合要求,即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，不是直角三角形 ∴， 符合要求，不符合要求 故选：A． 【例4.2】 【变式4.1】如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，，求这块草坪的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．连接AC，由已知条件根据勾股定理可得，结合，，由勾股定理逆定理可得，这样由四边形是由两个直角三角形构成的即可求出其面积了． 【详解】解：连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴草坪的面积 即这块草坪的面积为36平方米． 【变式4.2】某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【答案】元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴米 ∵米，米， ∴， ∴， ∴（米） 所以需费用（元）． 【变式4.3】为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)7200元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，其中是斜边， ； （2）解：如图，过A作于点E， ，，， ， ， ， ， ， （元）， 此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 【变式4.4】如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 【考点5 勾股定理逆定理的实际应用】 【例题5.1】某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 【例题5.2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得； （2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响． （2）解：如图，当时，台风正好影响海港， ∴， ∴， ∵台风的速度为， ∴， 答：台风影响该海港持续的时间为． 【变式5.1】教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】(1)米 (2)株 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； （2）解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 【变式5.2】如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 【变式5.3】为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图，，信号源点E与点C距离为，点E与点D距离为，公交车可以看作长方形，公交车在离信号源点E最近的车道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置长为，且上每一处都能接收到信号．信号源的影响范围为试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由． 【答案】不能收到，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，过作交于，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由三角形的面积求出的长度，根据实际意义，即可求解；理解实际意义，能勾股定理逆定理解决问题是解题的关键． 【详解】解：不能收到，理由如下： 过作交于， ， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， ， 信号源设置在E处时，经过的公交车接不能收到信号． 模块三 课后作业 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质，再根据勾股逆定理的判定即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到再根据角平分线的定义可得进而求出再根据直角三角形中角所对的边式斜边的一半即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是合理熟练的运用这些知识点。 5．如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 【答案】(1)两人的总路程为米． (2)面馆到公路的距离米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练利用勾股定理进行分析是解题的关键． （1）由勾股定理得出，进一步得出即可； （2）由得出是直角三角形，可知面馆到公路的距离即为的长度． 【详解】（1）解：在中， (米)， ∴ (米)， 在中， (米)， ∴小华和小丽两人的总路程为 (米)； 答：两人的总路程为米． （2）∵ (米)，(米)， (米)， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴面馆到公路的距离即为 (米)， 答：面馆到公路的距离米． 6．如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定； （1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证； （2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：， ， ， ． 7．如图，在中，，D是上的一点，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 故是直角三角形； （2）解：设，则， ， ， ， 解得， 故． 8．如图，在中，于点，，，． (1)求，的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）根据勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． 9．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，连接，先求解，证明，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵， ， ∴ ∴． 则放置菊花盆栽区域的面积为： ． 10．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$