安徽省阜阳市第二中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

2025年秋季高三开学摸底考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则（    ）. A． B． C． D． 2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（    ） A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4 3．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 5．已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 6．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（    ） A．7 B． C． D． 8．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（   ） A． B．为直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为2 11．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（    ） A．，函数都为“旋转函数” B．若函数为“旋转函数”，则 C．若函数为“旋转函数”，则 D．当或时，函数不是“旋转函数” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 . 13．若向量与不共线也不垂直，且，则 . 14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 16．（15分） 为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立. (1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率； (2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望. 17．（15分） 已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 18．（17分） 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 19．（17分） (1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14．-2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意知，（1分） 解得或，（3分） 当时，，，故，；（4分） 当时，，，故，（5分） 所以或；（7分） （2）因为，所以. 因为，（8分） 所以，（9分） 两式相减得（11分） ，（12分） 故.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设事件“前两题中甲至少答对了1题”为，事件“前两题甲都答对”为， 依题意，，（2分） ，（3分） 所以. 则在前两题中甲至少答对了1题的条件下，前两题甲都答对的概率为.（5分） （2）依题意，每道题甲、乙均答对的概率为，（6分） 的所有可能值为，（7分） ，即，，1，2，3，4，5， ，， ，， ，，（13分） 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 （14分） 数学期望.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面， 而平面平面，平面，故平面.（1分） 因为平面，所以，（2分） 又，，平面，，故平面，（3分） 又平面，故.（4分） （2）过点S作于点O，连接，由，得. 又，故四边形为平行四边形， 因为，所以，即，故，，两两垂直，（5分） 以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量，（6分） 设平面的法向量的，则 令，则，，故为平面的一个法向量，（7分） 则，（8分） 二面角的正弦值为.（9分） （3）若平面，平面，平面平面，则，（10分） 由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上， 设，p，，，则，（10分） 因为，，，则，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量，（11分） 故，整理得，（12分） 又，故，（13分） 由，故， 当且仅当时等号成立，取得最小值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设，则的面积为，（1分） 所以，（2分） 根据抛物线的定义，得，所以，（3分） 所以，解得，即C的方程为.（4分） （2）由（1）知，设，，直线AB的方程为， 则且，联立可得，，（5分） 由韦达定理可得，，（6分） ，同理，（7分） 又因为，所以，（8分） 整理得，所以，即，（9分） 所以，即直线AB过定点；（10分） （3）因为，所以， 设直线GM的方程为， 由可得， 则，解得，（11分） 所以直线GM的方程为，且，同理可得直线，（12分） 设，因为，所以即， 由得，设直线， 由可得， 由，可得或，（13分） 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故，所以直线，即，与直线联立求得，（14分） 点到直线的距离为，（15分） 又， 所以的面积为，（16分） 因为，所以当时，面积取到最大值为8.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）证明：令函数，，则，（1分） 所以在上单调递增，（2分） 则，即在上恒成立.（3分） （2）证明：因为，所以在上单调递增.（4分） 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，（5分） 所以，（6分） 因为，故取，取， 则，（7分） 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点.（8分） （3）令，即，等价于.（9分） 记，. 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点.（10分） 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.（11分） ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点.（13分） 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增.（14分） 而，故，取，则，（15分） ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点，（16分） 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$