2.1认识实数★基础过关-2025-2026学年北师大版2024数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 2.1认识实数★基础过关 一、单选题 1．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 2．（2025—2026学年北师大版数学八年级上册）下列实数中的无理数是（   ） A．0.7 B．12 C． D． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 5．已知下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 7．（2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的点紧靠着（A与数2所对应的点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 8．（2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题）下列四个数中，比小的数是（   ） A．0 B． C． D． 9．（2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 10．（2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）写出一个比大的无理数 ． 12．（2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试题）比较大小： ； ．（填“”“”或“”） 13．已知，将按从小到大的顺序排列为 ． 14．（2025年青海省中考数学试题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 15．（2025年安徽省滁州市中考三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 三、解答题 16．已知数，，，3.1416，，0，，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． (1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数． 17．（广东省深圳市2024-2025学年七年级上学期期中）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}； 非负数集合：{__________________…}． 18．【动手操作】把一个边长为2的正方形按图①的方式裁成4个形状、大小完全相同的直角三角形，然后按照图②的方式进行拼接，得到正方形和正方形． 【基础巩固】 （1）如图②，拼成的大正方形的面积为___________； （2）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中点A与数轴原点重合，则点表示的数在哪两个相邻整数之间？ 【知识运用】 （3）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，求点表示的数． 19．已知a，b，c为实数，且，比较a，b，c之间的大小． 20．【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 21．（山东省菏泽市2024-2025学年七年级下学期期末）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 北师大版新初二数学衔接突围 2.1认识实数★基础过关 解析版 一、单选题 1．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据实数与数轴上的点一对一对应，进行判断即可． 【详解】解：与数轴上的点一一对应的数是实数 故选D． 2．（2025—2026学年北师大版数学八年级上册）下列实数中的无理数是（   ） A．0.7 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：因为无理数是无限不循环小数，且0.7为有限小数，12为整数，为整数，都属于有理数，为无限不循环小数， 所以为无理数． 故选：C． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理是解题的关键． 根据数轴上实数的位置，分别计算出所在的区间，对比即可． 【详解】解：由数轴可知， 是正数，是负数，且． ， ，且， ， ，且． ∴， 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 5．已知下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，是无理数的有（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共2个； 故选A． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意； C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意； D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意； 故选：D 7．（2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的点紧靠着（A与数2所对应的点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，先求出硬币的周长，进而根据点对应的数即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵硬币的直径为个单位长度， ∴硬币的周长为个单位长度， ∵与数所对应的点重合， ∴点对应的实数是，即， 故选：． 8．（2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题）下列四个数中，比小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的法则是关键．根据实数的大小比较法则：负数，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵负数，， ∴ ∴比小的是． 故选：D． 9．（2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 10．（2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由数轴得出，整理得，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由数轴得出 则 ∴，，， 故选：D 二、填空题 11．（2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）写出一个比大的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较，根据无限不循环小数即为无理数进行作答即可． 【详解】解：是比大的无理数， 故答案为：（答案不唯一） 12．（2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试题）比较大小： ； ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，有理数的乘方运算，根据实数的大小比较法则和乘方的定义判断即可求解，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：，． 13．已知，将按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂、分式的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 14．（2025年青海省中考数学试题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025年安徽省滁州市中考三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、实数的大小比较，先估算，再利用比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．已知数，，，3.1416，，0，，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． (1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数． 【答案】(1)有理数：，3.1416，，0，； (2)无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． （1）首先计算乘方，然后根据有理数的定义分别作答即可； （2）根据无理数的定义分别作答即可． 【详解】（1）解：， 有理数：，，3.1416，，0，； （2）解：无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． 17．（广东省深圳市2024-2025学年七年级上学期期中）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}； 非负数集合：{__________________…}． 【答案】①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨ 【分析】此题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键． 根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可． 【详解】，， 负数集合：{　①⑤⑧…} 整数集合：{　①③④…} 分数集合：{　②⑤⑦⑧…} 非负数集合：{　②③④⑥⑨…} 故答案为：①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨． 18．【动手操作】把一个边长为2的正方形按图①的方式裁成4个形状、大小完全相同的直角三角形，然后按照图②的方式进行拼接，得到正方形和正方形． 【基础巩固】 （1）如图②，拼成的大正方形的面积为___________； （2）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中点A与数轴原点重合，则点表示的数在哪两个相邻整数之间？ 【知识运用】 （3）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，求点表示的数． 【详解】解：（1）由题意可得，， 正方形的面积为5， 故答案为：5； （2）点表示的数在2，3之间． 19．已知a，b，c为实数，且，比较a，b，c之间的大小． 【答案】 【分析】本题考查用作差的方法比较实数大小，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据，则，求得，从而求得，得到．再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：，即． ， ． ， ． ∴． 20．【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)这架云梯顶端距地面的距离的高为 (2)梯子的底端移动的距离是 (3)能，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数的大小比较； （1）在中，利用勾股定理求出即可； （2）先求出，再在中，利用勾股定理求出，然后根据求解即可； （3）利用勾股定理求出云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离，然后与安全距离比较即可． 【详解】（1）解：在中，根据题意得：， 答：这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）∵，， ∴， ∴， 答：梯子的底端移动的距离是． （3）能， 理由：∵云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离大于， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 21．（山东省菏泽市2024-2025学年七年级下学期期末）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$