精品解析：江苏省苏州外国语学校2024～2025学年下学期学情调研 八年级数学 试题

苏州外国语学校2024~2025学年度第二学期学情调研 初二数学 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 2. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　　） A. B. C. D. 3. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 4. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 2或 7. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 10. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________． 11. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则______（填：“”，“”，“”）． 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为__________度． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根一个大于，一个小于，则的取值范围是______． 14. 如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____． 15. 如图，的面积为，，分别是，上的点，且．连接，交于点，连接并延长交于点．则四边形的面积为_________． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______. 三、解答题：本题共10小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程． （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 19. 用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． （1）当绳子的长为时，用式子表示与的关系． （2）当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． （3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点D，使得点D到的距离等于；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，证明：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点． （1）若的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当时，求自变量的取值范围． （2）已知，求的长． 22. 如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 26. 如图，在等腰中，，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作的角平分线交延长线于点E，连接，，过点B作交延长线于点F． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点M是中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，作点E关于点A的对称点H，连接，在上取一点Q，使得，连接，求当最小时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州外国语学校2024~2025学年度第二学期学情调研 初二数学 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可． 【详解】A.由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，此选项不符合题意； B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，此选项不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，此选项符合题意； D、由函数的图象可知，，一次函数与轴交与负半轴，相矛盾，故错误，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 4. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 6. 如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和垂线的定义，得出，再分两种情况讨论：①当时；②当时，利用对应边成比例分别求出的长即可． 【详解】解：四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， ，， ， ①当时，此时， ， ， ②当时，此时， ， ， 综上可知，当或时，以B、M、C为顶点的三角形与相似， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 7. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，作于，于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分∠HDC，所以①正确； 利用，得到四边形是矩形，有，，由①有DE平分∠HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，，所以②正确； 过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以③正确； 根据是等腰直角三角形，，∵是的中点，是的中点，得到，，，易证，所以④正确； 利用AAS证明，则有，，易的，，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以⑤不正确； 【详解】解：∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE， ∴ 又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD， ∴，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴ ∴， ∴ ∴，∴, 又∵ ∴ ∴由三角形的内角和可得， 即：DE平分∠HDC，所以①正确； ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 由①有DE平分∠HDC，∴ ∵， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴，所以②正确； 过作于，并延长交于点， ∵ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴是的中点， ∵四边形是矩形， ∴是的中点， ∴是的中点，所以③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴ 又∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∴ 即有：，所以④正确； 在和中， ， ∴， ，， ∵ ∴， ∴ ∴不是直角三角形，并 即有：，所以⑤不正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是 即可进行解答 【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根 得， 解得 则且 故答案为且 【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根． 10. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 11. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则______（填：“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案．灵活运用所学的知识是解题的关键． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为， 故答案为：． 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为__________度． 【答案】200 【解析】 【分析】设函数的解析式为，由x= 400时，y= 0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把x = 0.5代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵400度近视镜片的焦距为0.25米， ∴， 解得k=100， ∴函数的解析式为， ∴当x = 0.5时，， ∴小明的近视镜度数可以调整为200度． 故答案为：200． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根一个大于，一个小于，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系以及根的判别式求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：，舍去； 当0时，解得：， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 综上：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟知以上知识点是解本题的关键． 14. 如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____． 【答案】（2，0）． 【解析】 【详解】【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标． 【详解】如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a， OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）． ∵点A2在双曲线y=（x＞0）上， ∴（2+a）•a=， 解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去）， ∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2， ∴点B2的坐标为（2，0）； 作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b， OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）． ∵点A3在双曲线y=（x＞0）上， ∴（2+b）•b=， 解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2， ∴点B3的坐标为（2，0）； 同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）； …， ∴点Bn的坐标为（2，0）， ∴点B6的坐标为（2，0）， 故答案为（2，0）． 【点睛】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键． 15. 如图，的面积为，，分别是，上的点，且．连接，交于点，连接并延长交于点．则四边形的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质得出，，继而得出，设，由，得出，则，进而得出，根据三角形的面积得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，则，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵（等底的三角形的面积比等于高的比）， ∴（等高的三角形的面积等于底的比）， 即， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案. 【详解】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC， ∴BH=BC=2， ∴AH==， ∵S△ABC=， 即， ∴CN=4， 在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3， ∴BN=BA+AN=8， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD， ∵∠CDN+∠NCD=90°， ∴∠EDM=∠DCN， 又∵∠EMD=∠DNC=90°， ∴△EDM≌△DCN， ∴EM=DN， 设BD=x，则DN=8-x， ∴S△BDE===， ∵， ∴S△BDE的最大值为8， 故答案为8. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键. 三、解答题：本题共10小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 【答案】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0． ∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）-2. 【解析】 【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值． 【详解】解：（1）略 （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1， ∴52-3（6-p2-p）=3p2+1， ∴25-18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=-6， ∴p=-2． 19. 用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． （1）当绳子的长为时，用式子表示与的关系． （2）当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． （3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 【答案】（1） （2） （3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系；当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例；理由： 由（1）可知，， ∴当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系； 由（2）可知，，即有， ∴当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例． 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据长方形周长公式列式并整理，即可获得答案； （2）根据长方形面积公式列式并整理，即可获得答案； （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．根据反比例关系的定义，即可获得答案． 【小问1详解】 解：当绳子的长为时，根据题意可得， 整理可得， 答：与的关系为； 【小问2详解】 当长方形的面积为时，根据题意可得， 整理可得， 答：与的关系为； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点D，使得点D到的距离等于；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1） 如图：点即为所求， （2） 证明：过点D作于点E， 在和中，，且为公共角， 所以， 因此，即有． 而由（1）作图知，为的平分线， 所以， 因此． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作的平分线交于，则点即为所求； （2）过点D作于点E，证明，得出，即有．由角平分线的性质定理可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点． （1）若的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当时，求自变量的取值范围． （2）已知，求的长． 【答案】（1）①；② （2）12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）①设点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得； ②先求出当时，的值，再根据结合函数图象即可得； （2）先得出，再求出，，则，，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：①由题意，设点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ②当时，， ∵反比例函数中的，， ∴函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，， ∴，， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22. 如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）点在中点位置时，，证明如下： 如图，连接，延长于的延长线相交于点H， 为中点， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 故当点在中点位置时，． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：_______，______；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）当时，四边形是平行四边形； （3）当或秒时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，则可用含的式子表示出； （2）根据四边形是平行四边形，且，得到，则，求解即可； （3）分两种情况讨论：①，②，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（1）知．，， ∵是等腰三角形，且， ∴①当时， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ， ②当时，过点作于，如图： ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ∵点在边上，不和重合， ∴此种情况符合题意， 综上，或秒时，是等腰三角形． 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 【答案】（1）的长为或 （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）如图所示，点即为所求点的位置： 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据平行线截线段成比例得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，菱形的性质，平行线截线段成比例，尺规作垂线，垂直平分线的性质等知识的综合，理解勾股定理的计算，平行线截线段成比例的计算，垂直平分线的性质是解题的关键． 26. 如图，在等腰中，，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作的角平分线交延长线于点E，连接，，过点B作交延长线于点F． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点M是中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，作点E关于点A的对称点H，连接，在上取一点Q，使得，连接，求当最小时，的值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 连接， ∵是的中点，， ∴，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于点，斜边上的中线求出，三角形的面积公式求出，证明，利用全等三角形的面积相等，即可得出结果； （2）连接，三线合一，斜边上的中线推出，，全等三角形的性质，得到，进而推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得证； （3）作，并截取，连接，设交于点，证明，得到，进而得到，得到当在直线上时，的值最小为的长，此时点与点重合，根据，得到的值最小时，的值最小，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，设，则：，求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，即可得到的长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作，并截取，连接，设交于点， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在直线上时，的值最小为的长，此时点与点重合， ∵， ∴当的值最小时，的值最小， 作交的延长线于点，则：， ∴为等腰直角三角形， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵作点E关于点A的对称点H， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $