9.3 平行四边形 暑假巩固练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 2.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等 C.对角线互相垂直 D.一组对边平行，一组对角相等 4.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 5.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 6.如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 二、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（　　） A.50° B.130° C.100° D.65° 2.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 3.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A.80° B.40° C.70° D.140° 4.在▱ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝220°，则∠B＝　　． 5.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，求∠C、∠B的度数． 三、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 3.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 四、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图所示，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，不能判断四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A.∠D＝∠B B.AB∥CD C.AD＝BC D.AB＝DC 3.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 6.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形． 五、有关平行四边形的边的性质 1.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 2.如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 3.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 4.若E是▱ABCD内任意一点，若▱ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　　． 5.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　　　　． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 7.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 六、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 2.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 6.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 七、平行四边形性质的综合应用 1.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（　　） A.ABCD B.OB＝OD C.AB＝AD D.∠ABC＝∠ADC 3.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 4.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 5.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 八、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A.OA＝OB B.OA⊥OB C.OA＝OC D.∠OBA＝∠OBC 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a与c相交 B.c∥b C.a∥b D.a与b相交 2.用反证法证明“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设（　　） A.∠B≠90° B.AB≠AC C.∠B＞90° D.∠B≥90° 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 4.已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，其中，第一步应假设 　　　　　　　　． 5.对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 　　　　　　　　． 6.试证明：两直线相交有且只有一个交点． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】A 【解析】A、AB＝DC，∠ABC＝∠ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 2.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， 若AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； 若BE＝DF，则CE＝AF，即四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； 若∠BAE＝∠DCF，则∠EAF＝∠ECF， ∵AD∥BC， ∴∠EAF+∠AEC＝180°，∠ECF+∠AFC＝180°， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； 若AE＝CF，无法证明四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等 C.对角线互相垂直 D.一组对边平行，一组对角相等 【答案】C 【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 5.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 【答案】8 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 6.如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵AE、CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线， ∴∠DAE＝∠ECF， ∴∠BEA＝∠ECF， ∴AE∥CF，∵AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12， ∴AF20， ∵AC＝24， ∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16． 二、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（　　） A.50° B.130° C.100° D.65° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， ∵∠B+∠D＝100°， ∴∠B＝∠D＝50°， ∴∠A＝130°， 故选：B． 2.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 3.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A.80° B.40° C.70° D.140° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝80°， ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝140°， 故选：D． 4.在▱ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝220°，则∠B＝　　． 【答案】140° 【解析】∵∠A+∠B+∠C＝220°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣（∠A+∠B+∠C）＝360°﹣220°＝140°， 故答案为：140°． 5.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 【答案】130 【解析】如图： ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠B+∠D＝260°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D＝130°， 故答案为：130． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】证明：∵四边形BFDE是平行四边形， ∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，求∠C、∠B的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，∠C＝∠DAB，∠B+∠DAB＝180°， ∴∠EAB＝∠DEA＝25°， ∵∠BAD的平分线AE交DC于点E， ∴∠DAB＝2∠EAB＝50°， ∴∠C＝∠DAB＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠DAB＝130°． 三、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，但不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形左右一组对边平行，不能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，故C符合题意； D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】C 【解析】A、若AB＝AD，CB＝CD，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； B、∠A＝∠B，∠C＝∠D，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； C、AB＝CD，AD＝BC，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确； D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 3.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 【答案】B 【解析】∵△ABC平移到△DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，故A不符合题意； ∠ABE不一定等于90°，故B符合题意； AD∥BE，故C不符合题意； BC＝EF，BE=CF， ∴四边形BCFE是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 四、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在Rt△DCF和Rt△BAE中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）， ∴FC＝EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC， ∵FC＝EA， ∴四边形CFAE是平行四边形， ∴EO＝FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE， ∴∠CDF＝∠ABE， ∴CD∥AB， ∵CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确； 由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△BAF，△BCD≌△△DAB， △CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等．故④错误． 故正确的有3个． 故选：B． 2.如图所示，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，不能判断四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A.∠D＝∠B B.AB∥CD C.AD＝BC D.AB＝DC 【答案】D 【解析】A、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵∠D＝∠B，∠1+∠D+∠ACD＝180°，∠2+∠B+∠CAB＝180°， ∴∠ACD＝∠CAB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AB＝DC， ∴四边形ABCD可以是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 3.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】由平移性质可得：BC＝EF，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF， ∴①②正确； 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF， ∴③正确； ∵AC＝DF，AC∥DF， ∴四边形ACFD为平行四边形， ∴④正确， 故选：A． 4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 【答案】AE＝CF 【解析】添加条件为：AE＝CF， 理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 故答案为：AE＝CF． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 【答案】2 【解析】∵∠B＝60°，∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+60°＝120°， ∴∠B+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∵AE＝BC＝CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为：2． 6.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEC， ∴在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F． ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE． 又∵AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形． 五、有关平行四边形的边的性质 1.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5， ∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝3， ∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2， 故选：C． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 3.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 【答案】A 【解析】设点E到AB的距离为m，点A到BE的距离为n， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是平行四边形， ∴S▱ABCD＝AB•m，S▱BEFG＝BE•n， ∵S△ABEAB•mBE•n， ∴S▱ABCD＝2S△ABE，S▱BEFG＝2S△ABE， ∴S▱BEFG＝S▱ABCD， ∴平行四边形BEFG的面积始终不变， 故选：A． 4.若E是▱ABCD内任意一点，若▱ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　　． 【答案】3 【解析】过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EN⊥AD， ∵S△AEDAD•EN，S△BCEBC•EM， ∴S△ADE+S△BCEAD•ENBC•EMBC•MN平行四边形ABCD的面积6＝3， ∴阴影部分的面积＝3； 故答案为：3． 5.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　　　　． 【答案】26或28 【解析】设∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 当EB＝5，EC＝4时，如图1， 则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28； 当EB＝4，EC＝5时，如图2， 则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26， ∴平行四边形ABCD的周长为26或28， 故答案为：26或28． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴BC+CD＝18， 设BC为x， ∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝（18﹣x）×5， 解得x＝10，即BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积为10×4＝40． 7.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO，AD＝BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠E＝∠F， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF﹣AD＝CE﹣BC， ∴BE＝DF； （2）解：连接CF， ∵EF⊥AC，AO＝CO， ∴EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△FDC的周长为16， ∴DF+CF+CD＝16，即2+AD+2+CD＝16， ∴AD+CD＝12， ∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝24． 六、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 【答案】D 【解析】∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠3， ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵点M是AC的中点， ∴MA＝MC， 在△MAD和△MCB中， ， ∴△MAD≌△MCB（ASA）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA， 故选：D． 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】DO＝BO 【解析】添加条件DO＝BO， 证明如下：∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：DO＝BO． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 6.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 7.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AD＝4，OA＝OC＝5，∠ADB＝90°， ∴DO3， ∵BD＝6， ∴DO＝OB＝3， ∴四边形ABCD为平行四边形． 七、平行四边形性质的综合应用 1.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 【答案】D 【解析】∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分， ∴平行四边形不一定具有的性质是D选项． 故选：D． 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（　　） A.ABCD B.OB＝OD C.AB＝AD D.∠ABC＝∠ADC 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC， 故A正确、B正确、D正确； ∵任意平行四边形的邻边不一定相等， ∴AB与AD不一定相等， 故C错误， 故选：C． 3.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【解析】添加辅助线AC， ∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC＝∠ACB，∠DCA＝∠BAC， 又∵AC＝CA， ∴△DAC≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠B， 故选：B． 4.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 【答案】8 【解析】设平行四边形的面积为S， ∵阴影部分面积是▱ABCD面积的， ∴SSSS， ∴n＝8， 经检验，n＝8是方程的解， 故答案为：8． 5.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 【答案】4 【解析】∵S＝ah，S＝12，h＝3， ∴a＝4． ∴△ABE的平移距离为4． 故答案为：4． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 八、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 【答案】C 【解析】在平行四边形ABCD中， 2（AD+CD）＝36， ∴AD+CD＝18， 易证△AOE≌△COF， ∴AE＝CF，OE＝OF＝3， ∴EF＝6， ∴CF+CD+ED+EF ＝AE+ED+EF+CD ＝AD+CD+EF ＝18+6 ＝24， 故选：C． 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD 【答案】B 【解析】A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意； B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意； C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意； D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意； 故选：B． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　） A.OA＝OB B.OA⊥OB C.OA＝OC D.∠OBA＝∠OBC 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， 故选：C． 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16， ∴BD﹣AC＝16﹣10＝6， ∴2OB﹣2OA＝6， ∴OB﹣OA＝3． 故答案为：3． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴OB＝OD，OA＝OC． 又∵E，F分别是OA、OC的中点， ∴OEOA，OFOC， ∴OE＝OF． ∵在△BEO与△DFO中，， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a与c相交 B.c∥b C.a∥b D.a与b相交 【答案】A 【解析】反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时， 应假设a与c相交， 故选：A． 2.用反证法证明“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设（　　） A.∠B≠90° B.AB≠AC C.∠B＞90° D.∠B≥90° 【答案】D 【解析】用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时， 第一步应假设：∠B≥90°， 故选：D． 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，得第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 4.已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，其中，第一步应假设 　　　　　　　　． 【答案】这五个正数都小于1 【解析】已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1， 第一步应假设这五个正数都小于1， 故答案为：这五个正数都小于1． 5.对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 　　　　　　　　． 【答案】四边形ABCD是平行四边形 【解析】用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD 是平行四边形， 故答案为：四边形ABCD是平行四边形． 6.试证明：两直线相交有且只有一个交点． 【答案】解：已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P． 证明如下：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′， 则点P和点P′在直线a上又在直线b上， 那么经过P和P′的直线就有两条， 这与“两点决定一条直线”相矛盾， 因此假设不成立， 所以两条直线相交只有一个交点． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 【答案】③④①② 【解析】假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B， ∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ∴假设不成立，原命题成立， 故答案为：③④①②． 学科网（北京）股份有限公司 $$