专题3.1 函数的概念及其表示知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.1 函数的概念及其表示 高中数学辅导资料 专题 3.1 函数的概念及其表示 一、知识归纳： 1．函数的有关概念 （1）函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是___________，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域 函数值 与___________相对应的y值 值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 （2）同一个函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． （3）函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 2．函数的表示法 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 4．复合函数的概念 一般地，已知函数与，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称有意义，且称为函数 与 的复合函数，其中 称为中间变量． 5．常见函数的定义域和值域 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 定义域 值域 6．设a，b是两个实数，且a<b，则 集合表示 区间表示 数轴表示 称为 ，，，称为 ，，，，称为 ． 通常，闭区间、开区间、半开半闭区间统称为区间．这里的实数a，b分别称为区间的端点． 7．求函数定义域的常用结论 （1）分式函数中分母 ；（2）偶次根式函数被开方式 8．平移变换 （1） ． （2） ． 自查自纠： 1．非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 定义域  对应关系 2．数学表达式 图象 表格 3．取值区间 对应方式 4． u 5． 6． 闭区间 开区间 半开半闭区间 7．不为0 大于等于0 8． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·重庆·阶段）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C． D． 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 5．（2022·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·浙江台州·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 7．（23-24高一上·重庆璧山·阶段）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广西玉林·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·吉林长春·阶段）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．     C．   D．   10．（24-25高一上·吉林长春·阶段）下列各组函数中，与表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列各组函数表示不同函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段）设函数，则 ． 14．已知，则 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若函数，则（　　） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段）已知函数，则（    ） A．5 B．0 C． D． 3．（24-25高一上·广西玉林·阶段）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西宜春·阶段）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·江西·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 7．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（24-25高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（   ） A．若函数的定义域是，则函数的定义域是 B．函数的值域为 C．已知函数，则 D．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 13．（22-23高一上·河南周口·阶段练习）已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是 ． 14．（22-23高一上·河南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题3.1 函数的概念及其表示 高中数学辅导资料 专题 3.1 函数的概念及其表示 一、知识归纳： 1．函数的有关概念 （1）函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是___________，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域 函数值 与___________相对应的y值 值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 （2）同一个函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． （3）函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 2．函数的表示法 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 4．复合函数的概念 一般地，已知函数与，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称有意义，且称为函数 与 的复合函数，其中 称为中间变量． 5．常见函数的定义域和值域 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 定义域 值域 6．设a，b是两个实数，且a<b，则 集合表示 区间表示 数轴表示 称为 ，，，称为 ，，，，称为 ． 通常，闭区间、开区间、半开半闭区间统称为区间．这里的实数a，b分别称为区间的端点． 7．求函数定义域的常用结论 （1）分式函数中分母 ；（2）偶次根式函数被开方式 8．平移变换 （1） ． （2） ． 自查自纠： 1．非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 定义域  对应关系 2．数学表达式 图象 表格 3．取值区间 对应方式 4． u 5． 6． 闭区间 开区间 半开半闭区间 7．不为0 大于等于0 8． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，，当时，，且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数；B选项，，当时，，且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数；C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数；D选项，，当时，，且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数；故选：C 2．（22-23高一上·重庆·阶段）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为时，.故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，.故选：A 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，即函数的定义域是，故选：B. 5．（2022·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以函数的值域为.故选：D. 6．（22-23高一上·浙江台州·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，令，当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，综上：.故选：A 7．（23-24高一上·重庆璧山·阶段）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数的定义域为，故，解得，即函数的定义域为.故选：A. 8．（23-24高一上·广西玉林·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】A选项：定义域为，定义域为R，故A错；B选项：定义域为R，定义域为，故B错；C选项：，故C错；D选项：，所以与定义域和对应法则相同，故D正确.故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·吉林长春·阶段）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】BD 【详解】对于选项A：显然当时，在集合中，没有与之对应的实数，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；对于选项B：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意；对于选项C：显然当时，在集合中有两个数与之对应，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；对于选项D：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意，故选：BD 10．（24-25高一上·吉林长春·阶段）下列各组函数中，与表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对于选项A，，，定义域都为，解析式相同，是同一函数，故A正确；对于选项B，的定义域为，，则，故的定义域为，所以不是同一函数，故B错误；对于选项C，的定义域都为，且，所以是同一函数，故C正确；对于选项D，由，解得，的定义域为，由，解得或，定义域不同，所以不是同一函数，故D错误，故选：AC. 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列各组函数表示不同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，的定义域为R，，解得，所以的定义域为，两函数的定义域不同，表示不同函数，A正确；B选项，的定义域为R，的定义域为， 两函数的定义域不同，表示不同函数，B正确；C选项，，两函数为同一函数，C错误；D选项，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，表示不同函数，D正确.故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由已知定义域为，由幂函数的性质可知值域为：.故答案为： 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段）设函数，则 ． 【答案】/4.75 【详解】函数，则．故答案为：． 14．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若函数，则（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】∵，∴.故选：A. 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段）已知函数，则（    ） A．5 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B. 3．（24-25高一上·广西玉林·阶段）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域是，则在中，，解得， 所以的定义域是.故选：A 4．（24-25高一上·江西宜春·阶段）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，解得且，故函数的定义域为，故选C 5．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数，所以的解析式是.故选：B 6．（22-23高三上·江西·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为①，所以②，由得， 所以，当且仅当，即时，取等号，以的最小值为.故选：D. 7．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是R上的增函数，则，解得.所以实数的取值范围为.故选：D. 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，当时，不等式，即，解得，又，则；当时，不等式，即，解得或，又，则；当时，不等式，即，解得，又，则；综上，实数的取值范围是．故选：D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD. 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【详解】A选项，的定义域为，的定义域是，所以两个函数不是同一函数，所以A选项错误.B选项，，，所以两个函数不是同一函数，所以B选项错误. C选项，对于，，所以的定义域为，且，对于，，所以的定义域为，所以两个函数是同一函数，所以C选项正确.D选项，，，两个函数的定义域为，对应关系相同，是同一函数，所以D选项正确.故选：CD 11．（24-25高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（   ） A．若函数的定义域是，则函数的定义域是 B．函数的值域为 C．已知函数，则 D．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对A：对，由；对，由， 所以函数的定义域为，故A错误；对B：因为为增函数，且，，所以函数的值域为，故B正确；对C：设，则，所以，所以，，所以，故C正确；对D：因为关于的不等式对任意实数都成立，所以，解得：，故D正确.故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】∵,∴或，故答案为：． 13．（22-23高一上·河南周口·阶段练习）已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得：对恒成立，则有：当时，则符合题意，成立；当时，则，解得，综上所述：m的取值范围为. 故答案为：. 14．（22-23高一上·河南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为当时，，要使的值域为，必须满足当时，单调递增，故．当时，，故当时，，当时，，不等式恒成立；当时，，解得，即.综上所述：实数的取值范围为.故答案为： 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$