第二章 实数 重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

第二章 实数（压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，表示的数一定相同的是（   ） A．4的平方根与 B．与 C．与 D．与6 3．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ， ，则 （结果精确到小数点后两位）． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为 ． 14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 ； 15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 16．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知满足，则代数式的值是 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）设，，求的值． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 20．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分． (1)_______，_______，_______； (2)求的立方根； (3)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 22．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 23．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 24．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 25．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，表示的数一定相同的是（   ） A．4的平方根与 B．与 C．与 D．与6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根的含义，把能够化简的数线化简，再进一步判断即可． 【详解】A．4的平方根是，，4的平方根与不相同，故本选项不符合题意； B．，，和不相同，故本选项不符合题意； C．，与不相同，故本选项不符合题意； D．，与6相同，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足被开方数不含分母且因数不含平方数，据此求解即可； 【详解】解：，，，都是最简二次根式， 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可． 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 9．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 综上所述：正确的有②④⑤⑥． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义；先根据平方根的定义求出这个自然数，再根据平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵一个自然数的平方根为， ∴这个自然数为9， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ， ，则 （结果精确到小数点后两位）． 【答案】0.47 【分析】本题考查了实数的运算，先根据条件得到，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，   ∴， ∴． 故答案为：0.47． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 ； 【答案】 【分析】本题考查数字规律型，根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根，且每一行的个数分别为2、4、6、8⋯， ∴前10行的总个数为， 即第10行最后一个数是， ∴第10行倒数第二个数是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可； （2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知满足，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解． 此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用． 【详解】解：由得， 而， 故， 解得， 故时， 又， ，，， ， 故， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）设，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，首先求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 20．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分． (1)_______，_______，_______； (2)求的立方根； (3)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)是有理数，理由见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根和立方根，正确得出，，的值是解答本题的关键． （1）利用平方根和立方根的定义，先求出，的值，再利用，估算出，从而确定出的值； （2）由（1）知，，的值，代入，求出的值，最后利用立方根的定义求出最后结果即可； （3）由（1）知，，的值，代入，求出的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴的立方根为； （3）解：是有理数，理由如下： 由（1）知，，， ∴， ∴是有理数． 21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 22．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)3 【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （3）根据“两倍数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：． （3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”． 理由如下： ∵，， ∴ ． ∴与是关于整数3的一组“两倍数”． 23．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用、二次根式乘法运算等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式，最后算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 24．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 25．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$