专题04 二次根式重难点题型专训（9个知识点+18大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题04 二次根式重难点题型专训 （9个知识点+18大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的乘法 题型七 二次根式的除法 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 最简二次根式的判断 题型十 已知最简二次根式求参数 题型十一 同类二次根式 题型十二 二次根式的加减运算 题型十三 二次根式的混合运算 题型十四 分母有理化 题型十五 已知字母的值化简求值 题型十六 已知条件式化简求值 题型十七 比较二次根式的大小 题型十八 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的新定义运算 拓展训练二 分母有理化比较大小 拓展训练三 复合二次根式的运算 拓展训练四 二次根式的混合运算 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 3．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若式子有意义，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若有意义，则 ． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简： ． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： ． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 11．（24-25八年级下·陕西渭南·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 13．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·山东威海·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 3．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 3．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． (1)化简：_______，_______． (2)化简：； (3)利用上面的规律，比较和的大小． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 1．（25-26八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【经典例题六 二次根式的乘法】 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【经典例题七 二次根式的除法】 【例7】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，，用含的式子表示 ． 2．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 1．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）计算：． 2．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ． 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题九 最简二次根式的判断】 【例9】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 3．（25-26八年级·全国·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【经典例题十 已知最简二次根式求参数】 【例10】（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【经典例题十一 同类二次根式】 【例11】（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 3．（25-26八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【经典例题十二 二次根式的加减运算】 【例12】（25-26八年级上·广东河源·期中）已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 1．（2025·河北秦皇岛·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）计算：． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算下列各题： (1) (2) 【经典例题十三 二次根式的混合运算】 【例13】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 【经典例题十四 分母有理化】 【例14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）【类比思想】解决问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请根据小明的分析过程，解答以下问题： (1)计算：； (2)计算： (3)若，求的值． 1．（24-25八年级下·内蒙古乌海·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 2．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． (2)化简：；（保留过程） (3)猜想：的值．（直接写出结果） 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 【经典例题十五 已知字母的值化简求值】 【例15】（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 3．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【经典例题十六 已知条件式化简求值】 【例16】（25-26八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 2．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【经典例题十七 比较二次根式的大小】 【例17】（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 3．（24-25九年级下·山东淄博·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 【经典例题十八 比较二次根式的大小】 【例18】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【拓展训练一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如， 则：（1） ； （2）若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 2．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【拓展训练二 分母有理化比较大小】 【例2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 2．（24-25八年级下·全国·期中）材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)化简：； (3)比较与的大小，并说明理由． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【拓展训练三 复合二次根式的运算】 【例3】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【拓展训练四 二次根式的混合运算】 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 (1)； (2)（）． 3．（25-26八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖北黄石·阶段练习）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）已知：，且，则与x最接近的整数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D．10 8．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 10．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 12．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为 ． 13．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 14．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）观察下列分母有理化． ； ； ； … 从计算结果中找出规律： ． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1) ； (2) ． 17．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读，再解答∶ 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：      ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______．化去式子分母中的根号：______．（直接写结果） (2)利用你发现的规律计算下列式子的值： (3)比较与的大小，并写出过程． 18．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 20．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如：； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式重难点题型专训 （9个知识点+18大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的乘法 题型七 二次根式的除法 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 最简二次根式的判断 题型十 已知最简二次根式求参数 题型十一 同类二次根式 题型十二 二次根式的加减运算 题型十三 二次根式的混合运算 题型十四 分母有理化 题型十五 已知字母的值化简求值 题型十六 已知条件式化简求值 题型十七 比较二次根式的大小 题型十八 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的新定义运算 拓展训练二 分母有理化比较大小 拓展训练三 复合二次根式的运算 拓展训练四 二次根式的混合运算 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念求解即可． 【详解】①：不是二次根式， ②：是二次根式． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式， 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 3．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若式子有意义，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 即， ∴的最小值是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若有意义，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．根据二次根式有意义的条件可得，且，得出，再代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【答案】28 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据乘法分配律进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 11．（24-25八年级下·陕西渭南·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 13．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，进行计算，即可． （1）先化简，去绝对值，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可； （2）先化简，然后根据二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解： 原式 ． 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： （2）解： 16．（24-25八年级下·山东威海·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3-2 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，再化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后根据二次根式的除法法则运算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】51 【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， ∴n的最小值为：51， 故答案为：51． 【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【答案】正整数m的所有可取的值为1和8． 【分析】本题考查了方程的整数解问题．令从而使得用y表示m的代数式不含根式，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，必为整数， 设，则， 则． ∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除， ∴y的值为1，2，5，10， ∴对应的m的值为8，1，，． ∵m为正整数， ∴m的值为1，8， ∴正整数m的所有可取的值为1和8． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内，然后化简即可． 【详解】解：由二次根式的意义可知， ∴，故D正确． 故选：D． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的性质列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 本题作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，如图所示： ， 在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：； 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答本题的关键．先利用二次根式化简，然后分、和，两种情况解答即可． 【详解】解： ， ， 当，时，原式； 当，时，原式； 即． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． (1)化简：_______，_______． (2)化简：； (3)利用上面的规律，比较和的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化计算，正确掌握计算法则及确定分母有理化的因式是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将各式子分母有理化，然后根据二次根式的加减法则计算即可； （3）先求出分别求出和的倒数，再进行比较即可． 【详解】（1）解∶；， 故答案为∶； ； （2）解： ； （3）解：∵，，， ∴． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 1．（25-26八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 二次根式的乘法】 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算解答即可； （2）运用二次根式的乘法运算解题； （3）运用二次根式的除法法则运算解答； （4）运用二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、绝对值、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用二次根式的性质、二次根式的乘法运算以及绝对值进行化简，然后再进行运算即可； （2）直接运用平方差公式和二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律，二次根式的乘法运算法则即可求出答案； （）根据平方差公式，二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 【经典例题七 二次根式的除法】 【例7】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，，用含的式子表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 2．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键； （1）先将二次根式化简，然后去括号计算乘法，再算加减，即可求解； （2）先计算二次根式的除法并将二次根式化简，再算加减，然后即可求解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 1．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式乘除，根据二次根式的性质化简，然后进行合并即可，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质，二次根式减法法法则计算，最后合并即可； （）先由二次根式有意义的条件得出，，然后根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【经典例题九 最简二次根式的判断】 【例9】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 1．（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 3．（25-26八年级·全国·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2 【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案. 【详解】解： =，=，=，=，=，=，=， ∴，是最简二次根式， 故答案为：2. 【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式. 【经典例题十 已知最简二次根式求参数】 【例10】（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 2．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 【经典例题十一 同类二次根式】 【例11】（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【经典例题十二 二次根式的加减运算】 【例12】（25-26八年级上·广东河源·期中）已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 【答案】143或187 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意可得，由x、y是正整数，可设，不妨设，且a、b都是正整数，则可推出，可解得，或，，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是正整数， ∴可设，不妨设，且a、b都是正整数， ∴， ∴， ∴，或，， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为：143或187． 1．（2025·河北秦皇岛·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简及加减法，解题的关键是将每个二次根式都化成最简二次根式后再合并同类二次根式． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）先进行开根号运算，然后进行加减运算即可； （2）先进行开根号运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查的是根式的加减混合运算，正确化简根式是解题的关键． 【经典例题十三 二次根式的混合运算】 【例13】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算后，去括号后合并即可求解； （3）根据二次根式的乘除运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及立方根、零指数幂、算术平方根、绝对值、二次根式乘除及完全平方公式等知识点，熟练掌握各知识点的运算法则和性质是解题关键． （1）分别根据立方根、零指数幂、算术平方根、绝对值的性质化简各项，再进行加减运算． （2）先根据二次根式乘除法则计算前两项，再用完全平方公式展开最后一项，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义，二次根式乘法，二次根式化简，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用有理化因式得到，由于当时，有最小值，所以有最大值． 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的有理化因式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为； 故答案为：． 【经典例题十四 分母有理化】 【例14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）【类比思想】解决问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请根据小明的分析过程，解答以下问题： (1)计算：； (2)计算： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化和整体代入思想是解题的关键； （1）利用分母有理化，平方差公式计算即可； （2）利用分母有理化，平方差公式计算即可； （3）利用分母有理化求，整体代入计算即可 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式． （3）因为， 所以，所以， 即，所以， 所以． 1．（24-25八年级下·内蒙古乌海·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义． （1）直接分母有理化； （2）将分母有理化，利用平方差公式进行运算； （3）先将各部分分母有理化，再提出，然后作加减． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 2．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． (2)化简：；（保留过程） (3)猜想：的值．（直接写出结果） 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用、二次根式的加减以及裂项相消法求和．熟练掌握分母有理化的方法（利用平方差公式将分母中的根式转化为有理数），以及识别式子的规律用裂项相消简化计算是解题的关键． （1）①参照方法一利用平方差公式，给分子分母同乘，实现分母有理化即可．②参照方法二，将分子变形为，再利用平方差公式因式分解，然后约分化简． （2）先分别用分母有理化的方法化简每一项，再去括号进行加减运算． （3）先将每一项进行分母有理化，然后观察式子规律，通过裂项相消法计算． 【详解】（1）解：① ； （1）② ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，数字规律，完全平方公式变形求值； （1）各式分母有理化，计算即可求出值； （2）分母有理化，计算即可求出值； （3）根据规律化简原式各项后，计算即可求出值； （4）原式利用完全平方公式化简后，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ， ∴，， 则． 【经典例题十五 已知字母的值化简求值】 【例15】（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 【经典例题十六 已知条件式化简求值】 【例16】（25-26八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 2．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【经典例题十七 比较二次根式的大小】 【例17】（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·山东淄博·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小，二次根式的加减计算，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）分母有理化得到，，利用作差法可得，则； （3）分母有理化得到，再把所求式子的每一项按照此方法分母有理化，并计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． ， ， ， ． ， ； （3）解： ， ∴原式 ． 【经典例题十八 比较二次根式的大小】 【例18】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【答案】(1) (2)当时，此时三角形周长的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的加减．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则． （1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：依题意，该三角形的周长为： ； （2）当时，， ∴这个三角形的周长为（答案不唯一）． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)1350.7元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 【拓展训练一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如， 则：（1） ； （2）若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）由定义得到代数式，根据有理数的要求推出的范围，进而求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）∵， 要使该式为有理数，则要为平方数， 当取最小正整数时，，在此范围内的最小平方数为， ∴，解得：． 故答案为： ． 2．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 【拓展训练二 分母有理化比较大小】 【例2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【答案】(1) (2)> (3) 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，将转化为，将转化为，比较大小即可； （2）先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 2．（24-25八年级下·全国·期中）材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)化简：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据分母有理化的概念进行解答即可； （2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可； （3）先求出各个数的倒数，比较倒数的大小，从而比较与的大小即可． 【详解】（1）∵， ∴的有理化因式为：， 故答案为：； （2）原式 （3），理由如下： ， 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 【拓展训练三 复合二次根式的运算】 【例3】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 【答案】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【拓展训练四 二次根式的混合运算】 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． （1）把被开方数化为完全平方的形式即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（25-26八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算； （4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算，然后化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】解：A、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； B、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 4．（25-26八年级下·湖北黄石·阶段练习）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．首先由正方形的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： 所以这个小正方形的周长为：． 故选：D． 5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：A． 6．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）已知：，且，则与x最接近的整数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先将方程两边同乘可得，从而得到，进而得到，再由解答即可． 【详解】解：将方程两边同乘得， ， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴与x最接近的整数是4， 故选：A． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，二次根式的性质，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 首先得到，如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：∵ ∴如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则， ∴在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 8．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 11．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 12．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长，进而求出长方形的长和宽，再根据长方形纸片的对角线的平方等于长方形的长的平方加上宽的平方列式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴长方形的长为，长方形的宽为， ∴原长方形纸片的对角线为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）观察下列分母有理化． ； ； ； … 从计算结果中找出规律： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，先分母有理化，然后合并同类二次根式后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：2024． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式进行求解，解题的关键是熟练掌握二次根式各运算法则． （1）利用二次根式乘法法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用乘法对加法的分配律进行计算即可； （4）先进行二次根式的除法运算，再进行化简，加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键． （1）先计算括号里，再计算除法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式，再相加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读，再解答∶ 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：      ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______．化去式子分母中的根号：______．（直接写结果） (2)利用你发现的规律计算下列式子的值： (3)比较与的大小，并写出过程． 【答案】(1)， (2)2022 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法与加减法、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据和有理化因式的定义即可得；将的分子分母同乘以，由此即可得； （2）将括号内的每一项进行分母有理化，再计算括号内加减法，最后计算二次根式的乘法即可得； （3）将的分母看作为1，再将其分子分母同乘以，的分母看作为1，再将其分子分母同乘以，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是． ， 故答案为：，． （2）解： ． （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 【答案】(1)这个长方体的长、宽、高分别、、 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为、、x，根据底面积为列方程即可； （2）过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于点B，该点表示的数为；过数轴上点B作垂线，然后再以B这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点C，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为、、x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：这个长方体的长、宽、高分别、、． （2）解：如图所示， ∵， ∴点即为所求； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，在数轴上表示无理数，二次根式的化简，求长方体的对角线，设出长方体的长、宽、高，根据底面积列出方程，是解题的关键． 20．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如：； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；；． (2) (3)2 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，然后将其代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ． 故答案为：；；． （2）解： ， ， ∴，解得：， ∴． （3）解：， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$