专题02 平方根重难点题型专训（4个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题02 平方根重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 求代数式的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 平方根的应用 题型十 利用平方根解方程 拓展训练一 平方根的新定义问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）下列各数中没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根即可得出答案． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键 先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴这个正数的两个平方根分别是， ∴这个正数是1 故选：A 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则的平方根是（  ） A．9 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义、非负数的性质，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为0时，各自必须为0，由此可解出和的值，再求的平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：D． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念及运算，由平方根及算术平方根的计算方法逐一验证各选项的正确性即可得到答案．熟记平方根和算术平方根的概念及运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、平方根表示正负两个根，应为，而等式右边仅写，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； B、被开方数为，的算术平方根应为，但等式结果为，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； C、平方与求平方根互为逆运算，（），故，等式成立，选项计算正确，符合题意； D、左边，右边，显然，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 5．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如果x，y为实数，且满足，那么的值是（    ） A．6 B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键是求出字母的值． 先根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求出字母的值，再代入代数式中求值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， ∴， 故选：B． 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可； （2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④． （2）解：依据题意可知： 是和两个数中的一个，              当时，解得， ，     这个数为； 当时，解得：，      （不合题意，舍去）；         综上可得：这个数为． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到，再由非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，先根据被开方数大于等于0列式求出，然后去掉绝对值号，整理后根据非负数的性质列式求出m、n的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，变为， ∴， ∴或， 解得， ∵ ∴ ∴不符合题意，舍去， 当时， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 综上，． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知实数、、满足，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，先将原方程化为，进而求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 1．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴． 故答案为：． 2．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【详解】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义及其小数点变化规律是解题的关键，根据表格中n与的对应关系，逐一分析选项的正误即可． 【详解】解：A中，由表格可知，，故A错误； B中，当时，，而，因此，故B错误； C中，由表格，，，满足的正整数需满足，即，共3个，故C正确； D中，表格中，则，故，故D错误； 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）化简下列各数：，， 解：∵， ， ， ∴，，． 请利用上述给出的解题方式，化简下列各题： 　　　，　　　　， 　　　　． 请从以上的解题过程中，总结出其中的规律： 　　　　． 【答案】6667；66667；666667； 【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的算术平方根，数字类的规律探索，仿照题意求出三个数的算术平方根，进而得到规律求解即可. 【详解】解： ， ∴； ， ∴； ， ∴； 以此类推可知，； 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 1．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根，通过变量替换简化方程，求出中间变量后求解平方根． 【详解】解：设，则，．代入原方程得： 展开并整理： 解得，即，故． 当时，； 当时，实数范围内无平方根． 因此，的平方根为， 故选A． 2．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，由，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 【经典例题七 求代数式的平方根】 【例7】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，平方根等定义，掌握完全平方公式的特征是解题关键．根据完全平方公式，结合，可得，再构造完全平方式，得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根与偶次幂的非负性可求x、y的值，然后代入求解平方根即可． 【详解】解：根据题意得，，3y﹣1＝0，解得，， ， 所以，的平方根是． 【点睛】本题主要考查算术平方根与偶次幂的非负性及平方根，熟练掌握算术平方根与偶次幂的非负性及平方根是解题的关键． 【经典例题八 已知一个数的平方根，求这个数】 【例8】（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（　　） A．7 B．3 C．49 D．49或 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，理解已知一个数的平方根求这个数的方法是解答关键． 根据一个正数的平方根有两个且互为相反数，求出，再求出这个正数的平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和， ， 解得， 一个正数的两个平方根是和， 这个正数是． 故选：C． 1（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 2．（24-25七年级下·湖北随州·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，求平方根的方法解方程，熟知平方根的定义是解题的关键． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出a的值即可得到答案； （2）根据（1）所求先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4后开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数的值为9； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差 s． 【答案】 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间即可解答． 【详解】解：由题意将和， 代入公式，可得：或， 化简得：或， ∵表示物体下落的时间， ∴或， 则它们落到地面时间相差． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 2．（24-25七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 【答案】(1)1，1 (2) 【分析】（1）根据图1中每个直角三角形的面积是正方形面积的可得每个直角三角形的面积，图2中内部缺口正方形的边长为直角三角形的两直角边的差； （2）利用大正方形的面积等于小正方形加4个三角形面积列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形面积的面积为， 图1中每个直角三角形的面积是， 图2中内部缺口正方形的边长为； 故答案为：1，1； （2）解：由图形可得， ， ∴大正方形的边长为：． 【点睛】本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2) 或． 【分析】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解正数的平方根有两个． （）先把方程转化为，再求解即可； （）把看成整体，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ，    即或 ∴或； （2）解：， ，    ， 或 ， ∴ 或． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）求下列式子中的x的值： (1) (2)． 【答案】(1)4或 (2)4或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）原方程化为，进而利用平方根定义求解即可； （2）原方程化为，然后利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ∴， 故x的值为4或； （2）解：原方程化为， ∴， ∴或， 故x值为4或． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，利用平方根解方程，掌握类比思路是解题的关键． （1）根据类比思路，即可解答； （2）根据类比思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴这个数是， 即． （2）由得 ∵， ∴这个数是， 即． 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 【拓展训练一 平方根的新定义问题】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【答案】 是 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 【答案】 【分析】根据新定义得出a，b的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵min{，a}=，min{，b}=b， ∴＜a，b＜， 又∵a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=4， 则a+b=9的平方根为：±3． 故答案为±3． 【点睛】此题主要考查了平方根和实数运算，正确得出a，b的值是解题关键． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：类比探索：（1），，； 表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：； ②16的四次方根：； ③0的四次方根是：0； ④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①±1；②±2；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）， 故答案为：； （2）∵，，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，根据非负性求得a、b的值成为解题的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选C． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）已知，的平方根是，，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、代数式求值，理解平方根的定义，由算术平方根的非负性求得c值是解答的关键．根据平方根和算术平方根的定义求得a、b、c值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得； ∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 4、（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，绝对值的化简，根据算术平方根的双重非负性求得的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．结合已知条件求得的取值范围是解题的关键． 【详解】解：实数满足， ， ， ， 原式化为， 整理得：， 两边同时平方得：， 则． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 【例3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了平方根的应用．设长为，则宽为．根据面积为列方程，利用平方根的意义解方程，比较后即可得到结论． 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得 ， 或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了平方根的实际应用，列代数式． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：方法一：运用大正方形的面积减去四个矩形的面积得到阴影部分的面积， 方法二：阴影部分的正方形的边长等于，得到阴影部分的面积， 故答案为：；； （2）解：由（1）得代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得． 或． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 3．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）将一个正方形纸片如图1所示摆放在平面直角坐标系中，使正方形纸片的四个顶点恰好都落在坐标轴上，其中落在轴正半轴上的顶点坐标为，经探究可以发现，若把正方形纸片沿轴和轴剪开，可拼成如图2所示的两个小正方形． （1）当时，正方形的边长是__________． （2）当时，是否能用正方形纸片，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长与宽的比是？如果能，求出长方形的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析． 【分析】（1）根据勾股定理解题； （2）先用勾股定理解得AB的长，再设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积为，列方程，解得长方形的长为，最后与AB的长作比较即可解题． 【详解】解：（1），由正方形的性质得， 中， 故答案为： （2）∵， ∴， 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长方形的长为， ∵， ∴， 即长方形的长超过了正方形的边长， 故不能裁出符合要求的长方形． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，涉及求算术平方根等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1、（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 1．（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根的定义，属于基本知识点，夹逼法的应用是解本题的关键． 根据夹逼法解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2.2和2.3之间， 故选：B． 2．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由绝对值是非负数，算术平方根也是非负数，两个非负数的和为，那么这两个非负数分别为，由此列出方程求出、的值，再代入计算 ．本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数分别等于是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 根据上表，求的值，若结果四舍五入到整数位，则值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，结合表格计算即可得解，理解表格是解此题的关键． 【详解】解：结合表格可得，， 故选：D． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 8．（24-25七年级下·福建福州·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形的边长的取值范围，据此判断即可． 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 9．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 10．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ……， 依此类推可知，第n个等式为：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】化成，后利用非负数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式，实数的非负性，平方根，熟练掌握公式和非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 故的平方根是， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为时，则x的值为 ． 1   …… 1   1   …… 1  2   1   …… 1  3  3   1   …… 【答案】1或5/5或1 【分析】本题考查了多项式的乘法中的规律、利用平方根解方程，解题关键是掌握多项式的乘法计算方法． 先根据系数规律得，再令，得到，然后根据代数式的值为，求出x的值即可． 【详解】解：根据系数规律得， 令，则， 当代数式的值为时， 则， 所以， 解得：或， 故答案为：1或5． 14．（24-25七年级下·广西桂林·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握利用平方根解方程是解题关键．设，则可得，利用平方根解方程可得或，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， 又∵， ∴， 即， 故答案为：9． 15．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求平方根，先根据非负数的性质求出，，再代入所求代数式，最后根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正数m的两个平方根分别是和，n的算术平方根是2， p的相反数是． 求的值． 【答案】的值为或 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和相反数，熟练掌握平方根，算术平方根和相反数的定义是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出的值，进而求出的值，根据算术平方根定义求出n，根据相反数的定义求出p，继而相加计算即可． 【详解】解：正数m的两个平方根分别是和， ， 整理得， 解得或， 当时，； 当时，； n的算术平方根是2， ， p的相反数是， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 17．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的应用； （1）设铁桶的底面边长，根据容器中倒出的水的体积等于铁桶中水的体积，列出方程，利用算术平方根求解即可； （2）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：设铁桶的底面边长， 根据题意，得， 解得（负值已舍去）， 答：铁桶的底面边长； （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴铁棍最少还有露出水面． 18．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)A (2)等腰 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，即可解答； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又 ∵， ， ∴值总是正数， 故选：A． （2）解：， ， 即， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1）；；（2）2，2；（3）；（4）纸的宽约为，则长约为． 【分析】本题主要考查正方形面积公式、无理数的估算、折叠的性质、算术平方根的应用，等面积转换等知识点；掌握这些和数形结合思想是解决本题的关键． （1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长的2倍； （3）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （4）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是， 故答案为：； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长2倍； 故答案为：2，2； （3）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （4）解：由（3）可知：纸的长与宽之比是 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平方根重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 求代数式的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 平方根的应用 题型十 利用平方根解方程 拓展训练一 平方根的新定义问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）下列各数中没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则的平方根是（  ） A．9 B． C．3 D． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 5．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如果x，y为实数，且满足，那么的值是（    ） A．6 B． C．0 D．5 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 3．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，则 ． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知实数、、满足，求的值． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 2．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）化简下列各数：，， 解：∵， ， ， ∴，，． 请利用上述给出的解题方式，化简下列各题： 　　　，　　　　， 　　　　． 请从以上的解题过程中，总结出其中的规律： 　　　　． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 1．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 2．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【经典例题七 求代数式的平方根】 【例7】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根． 【经典例题八 已知一个数的平方根，求这个数】 【例8】（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（　　） A．7 B．3 C．49 D．49或 1（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 2．（24-25七年级下·湖北随州·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差 s． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 2．（24-25七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： (1)； (2)． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）求下列式子中的x的值： (1) (2)． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【拓展训练一 平方根的新定义问题】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 3．（24-25七年级下·吉林·期末）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）已知，的平方根是，，求的平方根． 4、（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 【例3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 3．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）将一个正方形纸片如图1所示摆放在平面直角坐标系中，使正方形纸片的四个顶点恰好都落在坐标轴上，其中落在轴正半轴上的顶点坐标为，经探究可以发现，若把正方形纸片沿轴和轴剪开，可拼成如图2所示的两个小正方形． （1）当时，正方形的边长是__________． （2）当时，是否能用正方形纸片，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长与宽的比是？如果能，求出长方形的长和宽；如果不能，请说明理由． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1、（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 4．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 1．（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 2．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 根据上表，求的值，若结果四舍五入到整数位，则值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 6．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 8．（24-25七年级下·福建福州·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 9．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 10．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 11．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 12．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知实数满足，那么的平方根是 ． 13．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为时，则x的值为 ． 1   …… 1   1   …… 1  2   1   …… 1  3  3   1   …… 14．（24-25七年级下·广西桂林·期中）已知实数满足，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正数m的两个平方根分别是和，n的算术平方根是2， p的相反数是． 求的值． 17．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． 18．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 20．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$