2.4圆周角课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

2.4圆周角课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．小明想平分的面积，小亮给出了4个尺规作图的做法，观察下列尺规作图的痕迹，一定平分面积的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、、C在上，且．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A．2 B． C． D．4 9．如图，若A，B，C是上三点，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 12．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 13．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b交于点B，夹角，则点B到x轴的最大距离为 ． 14．如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则 ． 15．如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长 16．如图，在中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段长度的最小值是 ． 三、解答题 17．尺规作图：如图，已知等腰和直线，其中，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图1中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） (2)在图2中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 18．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．如图，为的直径，点为上一点，为的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连结、． (1)求证：≌． (2)若，求的长． 20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 21．如图，点A是射线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．平分，点是上一点，分别连接和． (1)如图，求证：； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ①如图，当时，猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图，当时，问①中与的位置关系是否仍然成立？请说明理由； ③在值变化过程中，当点落在射线上时，若，且，求的面积． 22．如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.4圆周角课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B C B C C C 1．C 【分析】本题考查了尺规作角平分线，中线，垂线的方法，直径所对的圆周角是直角等，掌握尺规作图的方法是关键． 根据各选项图形的作图方法判定是否为中线，进而结合三角形中线平分面积即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹可得，，不符合题意； B、根据作图痕迹可得，平分，不符合题意； C、根据作图痕迹可得，是的中线，根据中线平分面积，符合题意； D、根据作图痕迹可得，，不符合题意； 故选：C ． 2．B 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，先根据等弧对等圆心角得到，则，再根据圆周角定理得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，含度角的直角三角形的性质， 勾股定理．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，由是的直径得到，进而得到，由点是弧的中点，得到，即可得到，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形性质求出，进而得到，再根据圆周角定理求出． 先连接，利用等腰三角形性质求出，进而得出，最后根据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上两个定理． 利用直径定理得出，利用直角三角形的性质求出，最后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴, 故选：B． 8．C 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．如图，过点A作于E，则，先证明和是等腰直角三角形，是的直径，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于E，则， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是的直径，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴（负值舍）， ∴的半径是； 故选：C． 9．C 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理．根据等边对等角与三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 10．C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 先等边对等角，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，然后利用三角形外角的性质得出，适当变形即可求解． 【详解】解：∵弦， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， 又， 的度数为，的度数为， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 11． 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 12． 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 13． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，以为边，在x轴上方作等边，连接，过点C作轴于D，则，，由勾股定理可得；再证明B在以点C为圆心，的长为半径的圆上运动， 则，由垂线段最短可得点B到x轴的距离小于等于的长，再由，可得当点C在上时，有最大值，即此时点B到x轴的距离有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，以为边，在x轴上方作等边，连接，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵是等边三角形，轴， ∴，， ∴； ∵， ∴B在以点C为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴， 由垂线段最短可得点B到x轴的距离小于等于的长， 又∵， ∴当点C在上时，有最大值，即此时点B到x轴的距离有最大值，最大值为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了等边三角形的性质，圆的性质． 连接：、、，证明O、N、C、M四点共圆，求得，再根据等边三角形的性质可得． 【详解】解；连接：、、． ∴, ∵N是的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴O、N、C、M四点共圆． ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． 故答案为：． 16． 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，，，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，，当最小时，的值最小，当时，即的值，此时的值最小，即的值最小，根据，可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最小， 当时，即的值，此时的值最小，即的值最小， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、圆周角定理、等边对等角，根据三角形外接圆的性质作图是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，利用圆周角定理可得，则点即为所求； （2）在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等得到，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 18．(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据垂径定理解得，结合为的直径，，可证明，再由，可证; （2）连接交于点，证明是的中位线，进而在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点． ∵为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点G和K，连接，，，则四边形是正方形，连结，，与交于点Q，可知，取与中间格线的交点P，则，作直线，则直线是的垂直平分线，与的垂直平分线交于点O，则为点O为圆心；直线与交于点E，则点E为的中点；取格点T，此时四边形是平行四边形，射线交于点F，连结，根据夹在两平行线间的弧相等，可得； （2）取格点，连接，此时且，连接并延长交于点H，连接并延长交水平格线于点N，连接，则线段即为所作． 【详解】（1）解：如图所示就是所求作的图形； （2）解：如图，线段即为所作． 【点睛】本题考查了作圆的圆心，作图旋转图形，正方形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．(1)见解析 (2)①，见解析，②与的位置关系仍然成立，见解析，③ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． ()利用即可求证; ()①连接，可得点三点共圆，圆心为点 ，即得，又由等腰直角三角形的性质得，即得 ，即可求证; ② 同理①求证即可; ③ 由()可知，利用勾股定理求出 BD即可求解． 【详解】（1）解：证明：是线段绕点逆时针旋转得到的， ， 平分，点是上一点， ， ， ； （2）①与的位置关系． 证明如下： 如图，连接， 由（）可知，， 是线段绕点逆时针旋转得到的，， ， ∴点三点共圆，圆心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； ②仍然成立，理由如下： 如图，连接AB， 由（）可知， 是线段绕点逆时针旋转得到的，， ， ∴点三点共圆，圆心为点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴； ③如图， 由()可知， ∵， ∴，， ∵， ∴． 22．(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）圆周角定理得到，证明，得，证明，最后根据勾股定理可得结论； （2）如图2，延长交于E，连接，证明，得，最后根据勾股定理可得结论； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，连接，证明，最后根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图2，延长交于E，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$