22.1 二次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是 （ ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为 C．图象的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　　） A． B． C． D． 4．当时，二次函数的最小值为6，则的值为（    ） A．或3 B． C．或1 D．1 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　） A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24 8．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③为任意实数，则；④当时，．其中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为 ． 10．下面是三位同学对某个二次函数图象的描述.甲：该二次函数图象的形状、开口方向与的图象相同；乙：图象的顶点在轴上；丙：图象的对称轴是直线.请你写出这个二次函数的表达式：____________________. 11．若点和在二次函数的图象上，则____.（填“ ”“ ”或“”） 12．已知三个二次函数的图象如图所示，那么,,的大小关系是____________________.（请用“ ”连接） （第3题图） 13．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________. 14．如图，边长为2的正方形的中心为平面直角坐标系的原点，轴，以为顶点且过,两点的抛物线与以为顶点且过,两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是______. 15．如图，在平面直角坐标系中有，两点，若抛物线与线段没有公共点，则的取值范围是________________________. 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 17．如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 19．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 20．如图，二次函数y＝-x2+（k-1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设△ABC的面积为S，试求出S的最大值． 21．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）； (3)若对于时，总有，求m的取值范围． 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据二次函数的定义进行判定求解． 【详解】解：、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意； 、自变量在分母上，它不是整式，故它不是二次函数，此项不符合题意； 、自变量的次数是次，且不在分母上，故它是二次函数，此项符合题意； 、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意． 故选． 2．【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为， 故选项C不正确，符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意. 故此题答案为C． 3．【答案】C 【分析】根据抛物线平移的特征：左加右减，上加下减法则解题． 【详解】把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是. 故此题答案为C． 4．【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点式，可得出顶点坐标，再求出时x的值，然后根据抛物线的增减性判断即可． 【详解】二次函数， ∴抛物线的开口向上，当时，y有最小值2. 当时，， 解得． 当时，函数值y随着x的增大而减小， 当时，二次函数则最小值是6， 所以． 故此题答案为B． 5．【答案】D 【分析】根据两个函数的图象确定出a，c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意， 故此题答案为D． 6．【答案】C 【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2． ∵函数图象开口向下， ∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小， ∴． 故此题答案为C． 7．【答案】D 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理． 【详解】抛物线的对称轴为直线， 而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方， ， 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的上方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方； 故此题答案为D． 8．【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时y的值判定②，由抛物线图象和性质判定④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴对称轴为直线， 则， 即， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又， ∴，即，故②错误； ∵对称轴为直线，， ∴当时，的最小值， ∴当为任意实数，则， 即，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴当时，．故④正确. 综上，①④正确. 故此题答案为B． 9．【答案】m＞1 【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案． 【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点， ∴m－1＞0， 解得：m＞1． 10．【答案】 【解析】根据题意设二次函数的表达式为.根据题意得，,， 这个二次函数的表达式是，故答案为. 11．【答案】 【解析】 二次函数的表达式为， 该抛物线开口向下，对称轴为轴，在轴的左侧随的增大而增大. 点和在二次函数的图象上，，.故答案为 . 12．【答案】 【解析】中二次项系数与图象的关系： 综上所述，.故答案为. 13．【答案】 【解析】由题意得函数图象的对称轴为直线，图象开口向下， 在对称轴的右侧，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小，. 14．【答案】2 【解析】根据题图及抛物线、正方形的性质，可知．故答案为2． 15．【答案】或 【解析】点在抛物线上时，将代入，得，时，抛物线开口变小，与线段无交点，符合题意；点在抛物线上时，将代入，得，解得，时，抛物线开口变大，与线段无交点，符合题意.综上，或.故答案为或. 16．【答案】 【分析】根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 17．【答案】（1） （2）3 【分析】（1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴的面积． 18．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，转化成顶点式即可求解； （2）分和两种情况，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：把代入得， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线的对称轴是直线，分两种情况： ①当时，和都在对称轴右侧，此时随的增大而增大， ， ， 此时， ， 又 ∵， ； ②当时，在对称轴右侧，在对称轴左侧， 此时，与矛盾，故不符合题意， 综上，． 19．【答案】（1）； （2）。 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点，关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点，关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 20．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝． 【分析】（1）由题意易得点B的坐标为（0，3），则有点A的坐标为（﹣3，0），然后代入函数解析式即可求解； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，设直线AB的解析式为y＝kx+b，然后把点A、B坐标代入可得直线AB的解析式为y＝x+3，设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），进而根据割补法及二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3， ∴当x＝0，y＝3， 即点B的坐标为（0，3）， ∵OA＝OB， ∴OA＝3， 即点A的坐标为（﹣3，0）， 把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得， ﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示： 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把点A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝kx+b得， ， 解得k＝1，b＝3， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， 设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， ∴S＝S△ACE+S△BCE＝CE（AD+BF）＝ [（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3＝， ∴当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝． 21．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标； （2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系； （3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∴， 故答案为：． （3）解：将代入，得， ∴， 将代入，解得， ∴， 当时，由题意知，当时，随的增大而减小， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当时，由题意知，当时，随的增大而减小， 点关于直线的对称点为， ∵对于时，总有， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的取值范围为． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$