3. 2　平面直角坐标系 学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2　平面直角坐标系 第1课时 课时目标 　认识并能画出平面直角坐标系,在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.(空间观念、模型观念、抽象能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.平面直角坐标系的三要素 (1)在平面内;　(2) 数轴;　(3)互相 且有 .  2.坐标与象限 特别说明:坐标轴上的点 任何一个象限内.  3.点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有 的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.  1.下列坐标点在第四象限内的是( ) A.(1,2) 　 B.(-1,-2) C.(-1,2) 　D.(1,-2) 2.已知点P的坐标为(4,7),则点P到x轴的距离是( ) A.4 　 B.7 C.5 　 D.11 3.写出一个不在第一、三象限的点: .  重点　典例研析　启思凝智 重点1　用平面直角坐标系确定点的位置(模型观念) 【典例1】(教材再开发·P60随堂练习T1拓展)请你在图中建立平面直角坐标系,使汽车店的坐标为(3,1),水果店的坐标为(0,3),并写出儿童公园、医院和学校的坐标. 举一反三 1.(2025·济南质检)如图,若在象棋盘上规定“马”位于点(2,2),“炮”位于点(-1,2),则“兵”位于点( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-3,2) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(3,-2) 2.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为 .  3.这是某单位的平面示意图,已知大门的坐标为(-3,0),花坛的坐标为(0,-2). (1)根据上述条件建立平面直角坐标系; (2)建筑物A的坐标为(3,1),请在图中标出A点的位置. 技法点拨 构建平面直角坐标系确定点的位置 (1)根据已知条件找坐标原点; (2)依据坐标原点建坐标系; (3)根据坐标系确定点的位置,即确定坐标. 重点2　点的坐标与象限的关系(模型观念、运算能力) 【典例2】若点P在第四象限,到x轴的距离是3,到y轴的距离是4,则点P的坐标是( ) A.(3,4)　　　　　 B.(-4,3) C.(4,-3) D.(3,-4) 举一反三 1.老师写出第二象限的一点的坐标(-2,☆),小明不小心把纵坐标给弄脏看不清了,则☆挡住的纵坐标可能是( ) A.-1 B.-2 C.0 D.2 2.(2025·上海质检)设点P(-a,b-a)在第四象限,则点Q(a,b)到x轴的距离为( ) A.b B.-b C.a D.-a 技法点拨 准确掌握各象限内点的坐标特征 点P(a,b)在第一象限,则a>0,b>0; 点P(a,b)在第二象限,则a<0,b>0; 点P(a,b)在第三象限,则a<0,b<0; 点P(a,b)在第四象限,则a>0,b<0. 素养　思维提升　入境深探 趣味数学 我们可以建立平面直角坐标系解决很多生活中的实际问题. 小明和小芳在玩“寻宝”游戏,他们已经找到了两个标志点A(3,2)和B(3,-2),并且知道藏宝地点C的坐标是(4,3),除此之外,没有其他信息. (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”?请你想想办法,并在图1的方格纸中画出这个平面直角坐标系. (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,在图2的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系,并写出此时“宝藏”C点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　平面直角坐标系 第2课时 课时目标 1.理解并掌握平面内特殊直线上点的坐标特征.(抽象能力、推理能力) 2.能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置.(空间观念、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 平面内特殊直线上点的坐标特征 点M(x,y)所处的位置 坐标特征 坐标轴上 x轴上 正半轴 (+,0) 负半轴 (-,0) y轴上 正半轴 (0,+) 负半轴 (0,-) 象限角 平分线上 第一、三象限角平分线上 x= 第二、四象限角平分线上 x= 两点连线 与坐标 轴平行 MN∥x轴(MN⊥y轴) M,N两点 相等  MN∥y轴(MN⊥x轴) M,N两点 相等  1.已知过A(a,-1),B(2,-2)两点的直线平行于y轴,则a的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.已知点A(-1,-3)和点B(3,m),且AB平行于x轴,则点B坐标为( ) A.(3,-3) B.(3,3) C.(3,1) D.(3,-1) 3.在平面直角坐标系中,点P(2m+3,3m-1)在第一、三象限角平分线上,则点P的坐标为( ) A.(4,4) B.(3,3) C.(11,11) D.(-11,-11) 4.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则m的值是 .  重点　典例研析　启思凝智 重点1　特殊直线上的点的坐标(空间观念、推理能力) 【典例1】已知点P(-3a-4,2+a),解答下列各题. (1)若点P在x轴上,则点P的坐标为_____ ;  (2)若Q(5,8),且PQ∥y轴,则点P的坐标为__________;  (3)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求a2 024+2 025的值. 举一反三 1.(2025·天津质检)点A(m-3,-m+1)在第一、三象限的角平分线上,则点A的坐标为( ) A.(-1,-1) B.(-2,-2) C.(-2,2) D.(2,2) 2.(2025·济南质检)已知点P的坐标为(1+a,a-3),且点P为x轴上的一点,则点P的坐标是 .  技法点拨 特殊直线上点的坐标的确定 1.画出坐标系与直线. 2.描出已知点,标出坐标. 3.确定求解点的坐标. 重点2　构建坐标系表示图形的顶点坐标(模型观念、应用意识) 【典例2】(教材再开发·P63例4强化)建立适当的坐标系,表示底边为6,腰为5的等腰三角形的各个顶点的坐标. 举一反三 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行,如图是本届亚冬会的会徽“超越”,将其放在平面直角坐标系中,若A,C的坐标分别为(2,1),(0,2),则点B的坐标为 .  技法点拨 在几何图形中建立适当坐标系的一般方法 1.使图形中尽量多的点在坐标轴上; 2.以某些特殊线段所在的直线为x轴或y轴; 3.若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同,则可以将此直线作为x轴或y轴; 4.以某已知点为原点,使它的坐标为(0,0). 素养　思维提升　入境深探 阅读理解 两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点A(x1,y1),B(x2,y2),那么两点的距离AB= ,则AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2. 例如:若点A(4,1),B(3,2),则AB==. 若点A(a,1),B(3,2),且AB=,则()2=(a-3)2+(1-2)2. (1)已知A(3,5),B(-2,-1),则A,B两点间的距离为__________;  (2)已知A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,则A,B两点间的距离为__________;  (3)已知A,B在平行于x轴的直线上,点A的横坐标为5.且A,B两点间的距离为3,则点B的横坐标为_______________;  (4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6),B(-3,2),C(3,2),请判定此三角形的形状,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　平面直角坐标系 第2课时 课时目标 1.理解并掌握平面内特殊直线上点的坐标特征.(抽象能力、推理能力) 2.能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置.(空间观念、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 平面内特殊直线上点的坐标特征 点M(x,y)所处的位置 坐标特征 坐标轴上 x轴上 正半轴 (+,0) 负半轴 (-,0) y轴上 正半轴 (0,+) 负半轴 (0,-) 象限角 平分线上 第一、三象限角平分线上 x=　y　  第二、四象限角平分线上 x=　-y　  两点连线 与坐标 轴平行 MN∥x轴(MN⊥y轴) M,N两点 　纵坐标　相等  MN∥y轴(MN⊥x轴) M,N两点 　横坐标　相等  1.已知过A(a,-1),B(2,-2)两点的直线平行于y轴,则a的值为(C) A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.已知点A(-1,-3)和点B(3,m),且AB平行于x轴,则点B坐标为(A) A.(3,-3) B.(3,3) C.(3,1) D.(3,-1) 3.在平面直角坐标系中,点P(2m+3,3m-1)在第一、三象限角平分线上,则点P的坐标为(C) A.(4,4) B.(3,3) C.(11,11) D.(-11,-11) 4.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则m的值是　2　.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　特殊直线上的点的坐标(空间观念、推理能力) 【典例1】已知点P(-3a-4,2+a),解答下列各题. (1)若点P在x轴上,则点P的坐标为_____　;  (2)若Q(5,8),且PQ∥y轴,则点P的坐标为__________;  (3)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求a2 024+2 025的值. 【自主解答】(1)由题意可得,2+a=0,解得a=-2,-3a-4=6-4=2,所以点P的坐标为(2,0). 答案:(2,0) (2)根据题意可得,-3a-4=5,解得a=-3,2+a=-1, 所以点P的坐标为(5,-1). 答案:(5,-1) (3)根据题意可得,-3a-4=-2-a, 解得a=-1,则-3a-4=-1,2+a=1,因为点P在第二象限,所以点P的坐标为(-1,1),把a=-1代入a2 024+2 025=2 026. 举一反三 1.(2025·天津质检)点A(m-3,-m+1)在第一、三象限的角平分线上,则点A的坐标为(A) A.(-1,-1) B.(-2,-2) C.(-2,2) D.(2,2) 2.(2025·济南质检)已知点P的坐标为(1+a,a-3),且点P为x轴上的一点,则点P的坐标是　(4,0)　.  技法点拨 特殊直线上点的坐标的确定 1.画出坐标系与直线. 2.描出已知点,标出坐标. 3.确定求解点的坐标. 重点2　构建坐标系表示图形的顶点坐标(模型观念、应用意识) 【典例2】(教材再开发·P63例4强化)建立适当的坐标系,表示底边为6,腰为5的等腰三角形的各个顶点的坐标. 【自主解答】答案不唯一.如图,以AB所在的直线为x轴,以AB边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系, 等腰三角形ABC的腰长为5,底边长为6, 所以AO=BO=3, 所以点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0), 因为CO===4, 所以点C的坐标为(0,4). 举一反三 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行,如图是本届亚冬会的会徽“超越”,将其放在平面直角坐标系中,若A,C的坐标分别为(2,1),(0,2),则点B的坐标为　(-1,-2)　.  技法点拨 在几何图形中建立适当坐标系的一般方法 1.使图形中尽量多的点在坐标轴上; 2.以某些特殊线段所在的直线为x轴或y轴; 3.若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同,则可以将此直线作为x轴或y轴; 4.以某已知点为原点,使它的坐标为(0,0). 素养　思维提升　入境深探 阅读理解 两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点A(x1,y1),B(x2,y2),那么两点的距离AB= ,则AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2. 例如:若点A(4,1),B(3,2),则AB==. 若点A(a,1),B(3,2),且AB=,则()2=(a-3)2+(1-2)2. (1)已知A(3,5),B(-2,-1),则A,B两点间的距离为__________;  (2)已知A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,则A,B两点间的距离为__________;  (3)已知A,B在平行于x轴的直线上,点A的横坐标为5.且A,B两点间的距离为3,则点B的横坐标为_______________;  (4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6),B(-3,2),C(3,2),请判定此三角形的形状,并说明理由. 【解析】(1)　(2)6　(3)8或2 (4)△ABC为等腰三角形.理由如下: 由两点间距离公式可得: AB==5, BC==6, AC==5,所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十六” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　平面直角坐标系 第1课时 课时目标 　认识并能画出平面直角坐标系,在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.(空间观念、模型观念、抽象能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.平面直角坐标系的三要素 (1)在平面内;　(2)　两条　数轴;　(3)互相　垂直　且有　公共原点　.  2.坐标与象限 特别说明:坐标轴上的点　不在　任何一个象限内.  3.点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有　唯一　的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.  1.下列坐标点在第四象限内的是(D) A.(1,2) 　 B.(-1,-2) C.(-1,2) 　D.(1,-2) 2.已知点P的坐标为(4,7),则点P到x轴的距离是(B) A.4 　 B.7 C.5 　 D.11 3.写出一个不在第一、三象限的点:　(2,-4)(答案不唯一)　.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　用平面直角坐标系确定点的位置(模型观念) 【典例1】(教材再开发·P60随堂练习T1拓展)请你在图中建立平面直角坐标系,使汽车店的坐标为(3,1),水果店的坐标为(0,3),并写出儿童公园、医院和学校的坐标. 【自主解答】如图所示: 儿童公园(-2,-1),医院(2,-1),学校(3,5). 举一反三 1.(2025·济南质检)如图,若在象棋盘上规定“马”位于点(2,2),“炮”位于点(-1,2),则“兵”位于点(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-3,2) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(3,-2) 2.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为　(3,2)　.  3.这是某单位的平面示意图,已知大门的坐标为(-3,0),花坛的坐标为(0,-2). (1)根据上述条件建立平面直角坐标系; (2)建筑物A的坐标为(3,1),请在图中标出A点的位置. 【解析】(1)以花坛向上2个单位长度的点为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示; (2)如图所示,点A即为所求, 技法点拨 构建平面直角坐标系确定点的位置 (1)根据已知条件找坐标原点; (2)依据坐标原点建坐标系; (3)根据坐标系确定点的位置,即确定坐标. 重点2　点的坐标与象限的关系(模型观念、运算能力) 【典例2】若点P在第四象限,到x轴的距离是3,到y轴的距离是4,则点P的坐标是(C) A.(3,4)　　　　　 B.(-4,3) C.(4,-3) D.(3,-4) 举一反三 1.老师写出第二象限的一点的坐标(-2,☆),小明不小心把纵坐标给弄脏看不清了,则☆挡住的纵坐标可能是(D) A.-1 B.-2 C.0 D.2 2.(2025·上海质检)设点P(-a,b-a)在第四象限,则点Q(a,b)到x轴的距离为(B) A.b B.-b C.a D.-a 技法点拨 准确掌握各象限内点的坐标特征 点P(a,b)在第一象限,则a>0,b>0; 点P(a,b)在第二象限,则a<0,b>0; 点P(a,b)在第三象限,则a<0,b<0; 点P(a,b)在第四象限,则a>0,b<0. 素养　思维提升　入境深探 趣味数学 我们可以建立平面直角坐标系解决很多生活中的实际问题. 小明和小芳在玩“寻宝”游戏,他们已经找到了两个标志点A(3,2)和B(3,-2),并且知道藏宝地点C的坐标是(4,3),除此之外,没有其他信息. (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”?请你想想办法,并在图1的方格纸中画出这个平面直角坐标系. (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,在图2的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系,并写出此时“宝藏”C点的坐标. 【解析】(1)确定的平面直角坐标系如图所示. (2)确定的平面直角坐标系如图所示,此时“宝藏”C点的坐标为(-1,5). 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十五” 学科网（北京）股份有限公司 $$