4.1 比例线段 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

4.1 比例线段 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知，则的值为                                                           (    ) A. B. C. D. 3.下列四组线段中，不能成比例的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4.如果是线段一点，并且，，那么的长度为时，点是线段的黄金分割点． A. B. C. D. 5.在比例尺是：的南京市城区地图上，太平南路的长度约为，它的实际长度约为(    ) A. B. C. D. 6.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.已知：：：：，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知 都不等于，那么下列式子中一定成立的是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知，则． 10.在一张比例尺为的地图上量得、两地的图上距离是，则、两地的实际距离为_________． 11.已知，，，是成比例线段，其中 ， ， ，则____． 12.如果，那么____________． 13.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为__________． 14.杭州湾跨海大桥南起宁波慈溪，北至嘉兴海盐，全长，是世界上最长的跨海大桥，也是世界上建造难度最大的跨海大桥之一．在一幅交通地图上，量得大桥图上距离为，这幅交通图的比例尺是________________． 15.如果，则______． 16.已知，则______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 有四组线段，每组长度如下： ，，， ，，， ，，， ，，，． 其中哪些组能组成比例线段哪些不能对于能组成比例线段的组，各写一个比例式． 18.本小题分 已知． 求的值． 如果，求的值． 19.本小题分 如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值． 20.本小题分 若，且试求． 21.本小题分 如图所示，在线段上取，两点，已知，，且线段，，，是成比例线段，求线段的长． 22.本小题分 取长为的定线段为边，作正方形，为的中点，在的延长线上取点，使，以为边作正方形，点落在上，如图所示。 求，的长 点是线段的黄金分割点吗？请说明理由。 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 可设，， ， 故选：． 依据，可设，，代入分式计算化简即可． 本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利用设法． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查比例的性质，根据已知得出、的关系，进而代入求出即可． 【解答】 解：， ， ． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．  【解答】 解：，能成比例； B.，能成比例； C.，不能成比例； D.，能成比例． 故选C． 4.【答案】  【解析】分析 根据黄金比值是计算即可求解． 详解 解：是线段的黄金分割点，， ． 故选：． 点睛 本题考查了黄金分割的概念，掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 首先设它的实际长度是，然后根据比例尺的定义，即可得方程：，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【详解】 设它的实际长度是， 根据题意得：， 解得：， ， 它的实际长度为． 故选：． 【点睛】 此题考查了比例线段此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位． 6.【答案】  【解析】【分析】 依据，即可得出，进而得到的值． 【详解】 解：， ， ， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 7.【答案】  【解析】解：：：：：， ，， ， ． 故选：． 先利用：：：：，，，然后消去与得到关于的一元一次方程，再解一次方程即可． 本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键根据比例的性质，可得答案． 【解答】 解：不一定等于，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确； 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了比例的性质和分式的化简求值，解答此题根据比例的值为，将用含的代数式表示，用含的代数式表示，然后代入化简即可． 【解答】 解：， ，， ， 又， ， 故答案为． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了比例尺的性质．比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．首先设，两地的实际距离为，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【解答】 解：设，两地的实际距离为， 根据题意得：， 解得：， ， ，两地的实际距离是． 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 由比例线段的定义可知：，即，然后根据两内项之积等于两外项之积进行变形，从而可求得的值． 【详解】 ，，，是成比例线段， ， ， 解得：故答案为：． 【点睛】 本题考查了比例线段的定义，根据题意得到是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比例的性质．根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案． 【解答】 解：由，得， ， 故答案为． 13.【答案】  【解析】分析先利用黄金分割的定义计算出，然后计算即得到的长． 详解 解：为的黄金分割点， ， ． 故答案为 点晴 本题考查了黄金分割． 14.【答案】；．  【解析】【分析】 本题考查比例尺的应用． 比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．【解答】 解：公里厘米，根据比例尺． 故答案为；． 15.【答案】  【解析】解：， ，， ； 故答案为：． 根据比例的性质，可用表示，用表示，根据分式的性质，可得答案． 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：， ， 等式两边都除以得：， 故答案为：． 移项得出，再等式两边都除以即可． 本题考查了等式的性质和比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 17.【答案】解：能组成比例线段，可以写成 能组成比例线段，可以写成 能组成比例线段，可以写成 不能组成比例线段．  【解析】【分析】本题考查了比例线段的问题，较简便的方法是检查较小的两个数据的比与较大的两个数据的比是否相等分别对四组线段进行比较即可． 18.【答案】；或．  【解析】【分析】设则，，，分别代入、求解即可． 【详解】 令，则，，， ． 由可得，， 解得或， ， 且或时，故能满足， 经检验可取或， 或． 【点睛】本题关键在于利用，，之间的关系，即另． 19.【答案】解：如图，设， 点是正方形的边边上的黄金分割点，且， ， ， ：： ： ． 故答案为：．  【解析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，进行计算即可． 本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 20.【答案】．  【解析】试题分析：首先设等式为，然后分别将、、用含的代数式来进行表示，根据求出的值，从而得出、、的值，最后求出比值． 试题解析：令，则，，， ，，，     ， ，    即，解得， ，，，       ． 21.【答案】解：设， 则， ，，，是成比例线段， ， 即，解得或． 经检验，和是的根，且符合题意． 故线段的长是或．   【解析】【分析】本题考查比例线段的定义和分式方程的解法，关键是设，即可表示出，然后根据成比例线段的定义即可得到一个关于的方程，解方程即可解答． 22.【答案】解：在中，，， 由勾股定理知， ， ． ， ， ， 点是线段的黄金分割点．   【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，黄金分割，根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明． 要求的长，即是求的长，只需求得的长，根据勾股定理进行计算的长就可；要求的长，只需就可； 根据黄金分割点的定义，只需证明． 第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$