5.7三角函数的应用 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学讲义 2025～2026学年上学期高一数学讲义 教材：人教A版高中数学必修第一册 章节：5.7三角函数的应用 part1 知识清单 知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. Part2 教材重点例题与习题 1. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数． 求这一天时的最大温差 写出这段曲线的函数解析式． 【答案】解：由图可知，这段时间的最大温差是． 由图可以看出，从时的图象是函数的半个周期的图象，所以 ，． 因为，所以． 将，，，，代入式，可得． 综上，所求解析式为 ，．  2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报． 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值精确到． 一条货船的吃水深度船底与水面的距离为，安全条例规定至少要有的安全间隙船底与洋底的距离，该船这一天何时能进入港口在港口能呆多久 某船的吃水深度为，安全间隙为，该船这一天在开始卸货，吃水深度以的速度减少，如果这条船停止卸货后需才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域 【答案】以时间单位：为横坐标，水深单位：为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图： 根据图像可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 从数据和图像可以得出：，，， 由，得． 这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述 货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港． 令，． 由计算器可得： ． 如图，在区间内，函数的图象与直线有两个交点，，因此 ，或． 解得 ，． 由函数的周期性易得： ， ． 因此，货船可以在零时分左右进港，早晨时分左右出港或在下午时左右进港，下午 时左右出港每次可以在港口停留小时左右． 设在时货船的安全水深为，那么在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在时之间两个函数图象有一个交点借助计算工具，用二分法可以求得点的坐标约为，因此为了安全，货船最好在时之前停止卸货，将船驶向较深的水域． 3.如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少 写出这个简谐运动的函数解析式． 【答案】解：由题意可知振幅是，周期，频率， 设函数解析式为，， 设， 依题意可得，，则， ， 函数图象经过， ，解得， 这个简谐运动的函数解析式为．  4.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压单位：关于时间单位：的函数解析式． 【答案】解：设，则， 函数的周期，则， 即， 当，， ， 即， 则，， 即， 则．  5.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题： 小球在开始振动即时的位置在哪里 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少 经过多少时间小球往复运动一次 每秒钟小球能往复振动多少次 【答案】解：由题意可得的图象， 由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在， 由解析式可得振幅， 故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为厘米； 可得函数的周期为，故小球往复运动一次需， 可得频率为，即每秒钟小球能往复振动次。  6.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度最大偏角后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动若线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移单位：与时间单位：的函数关系是 ， 当时，求该沙漏的最大偏角精确到 已知，要使沙漏摆动的周期是，线的长度应当是多少精确到 【答案】解：， 可得的最大值为， 设偏角为， 可得最大偏角满足， 根据计算器计算结果可得； 根据的最小正周期计算公式为， ，即， ， 解得． 即线的长度应当是．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则下列不正确的是(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为 2.已知是半径为的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系，若，则点到轴的距离关于时间单位：的函数关系为(    ) A. B. C. D. 3.如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时指针尖的轨迹为表盘边沿，若个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为     A. B. C. D. 4.如图，一个大风车的半径长为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从点处按逆时针方向开始旋转，已知点离地面，则该翼片的端点第一次离地面的距离为的时间是  (    ) A. B. C. D. 5.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(    ) A. B. C. D. 6.一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面即长，巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转动一圈．若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为，则等于  (    ) A. B. C. D. 7.唐代数学家、天文学家一行，利用“九服晷影算法”建立了从到的晷影长与太阳天顶距的对应数表已知晷影长、表高与太阳天顶距满足，当晷影长为时，太阳天顶距为，则当太阳天顶距为时，晷影长约为参考数据：(    ) A. B. C. D. 8.如图，单摆的摆球离开平衡位置的位移厘米和时间秒的函数关系是，则摆球往复摆动一次所需的时间是(    ) A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 9.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 10.如图，摩天轮的半径为米，摩天轮的轴点距离地面的高度为米，摩天轮匀速逆时针旋转，每分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有(    ) A. 经过分钟，点首次到达最低点 B. 第分钟和第分钟点距离地面一样高 C. 从第分钟至第分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低 D. 摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米 11.一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每分钟逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点距离水面的高度不低于米 C. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为 D. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米． 12.多选题如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图像，则下列说法正确的是(    ) A. 该弹簧振子的振幅为 B. 该弹簧振子的振动周期为 C. 该弹簧振子在和时的振动速度最大 D. 该弹簧振子在和时的位移为零 三、填空题 13.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离单位：和时间单位：的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为          ． 14.如图，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为已知一个半径为的筒车按照逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为，则          ． 15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图若一半径为米的筒车水轮圆心距离水面米图，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有_______    关于的函数解析式为 点第一次到达最高点需用时秒 当点运动秒时，距水面的高度为米 再次接触水面需用时秒 16.已知某种交流电电流随时间的变化规律可以用函数，表示，则这种交流电电流在内往复运行了          次． 17.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是，每经过小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移与振动时间的关系式可以是          ． 18.若点在单位圆上从点出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每运动一周，则关于时间的函数解析式是          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为米，轮上最低点与地面的距离为米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布个座舱，标号分别为可视为点，在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． 求号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； 若只考虑前分钟， 求号座舱与地面的距离为米时的值； 记号座舱与号座舱高度之差的绝对值为米，求的最大值和当取得最大值时的值． 20.某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为米，轮上最低点与地面的距离为米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟在圆周上均匀分布个座舱，标号分别为可视为点，在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型即其中，，，现从图示位置，即号座舱可视为点位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． 求旋转分钟后号座舱点离地面的距离 求号座舱点与地面的距离与时间的函数关系的解析式写出定域 在前分钟内，求号座舱点与地面的距离为米时的值． 21.如图，某公园摩天轮的半径为，其中心距地面的高度为，该摩天轮按顺时针做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． 已知在时刻单位：时，点距离地面的高度单位：，求时，点距离地面的高度 当离地面的高度大于时，可以看到公园的全貌，求摩天轮转动一圈过程中，有多少时间可以看到公园全貌． 22.一个观览车示意图如下所示，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面的距离为． 求与之间的函数解析式． 设从开始转动，经过到达，求与之间的函数解析式． 23.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移随时间的变化规律为， 用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： 小球在开始振动时的位移是多少？ 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ 经过多长时间小球往复振动一次？ 24.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：分钟之间的关系为． 求，，，的值； 求盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ 某时刻单位：分钟时，盛水筒在过点的竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，盛水筒是否在水中？ Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】解：设点距离水面的高度米与秒的函数解析式为 依题意可知的最大值为，最小为， ，，解得，． ，解得． ， 当时，，得，，， 故所求的函数关系式为 ， D错误， 令 ， 可得：， ，解得． 点第一次到达最高点要时间．A正确， ，B正确； ，C正确． 故选D． 2.【答案】  【详解】经过秒后，点在角的终边上，由三角函数定义可知，点到轴的距离． 故选： 3.【答案】  【解答】 解：如图所示：    由题意得：外圆的半径为  ，内圆的半径为  ，  ， 所以  ， 则此时指针尖到地面的高度约为：  ， 故选： 4.【答案】  【解答】 解：根据题意，设，  因为大风车每旋转一周，所以最小正周期，   所以  易知函数的最小值为，最大值为，   所以解得  所以， 由题意可知，函数过点，所以，即， 不妨取，则 ． 令，即，即， 得， 得， 故该翼片的端点第一次离地面的距离为的时间是， 故选A． 5.【答案】  【解答】 解：由，， 知函数的增区间为， 当时，， 而， 故选C． 6.【答案】  【解答】 解：过点作地面的平行线作为轴，过点作轴的垂线作为轴，过点作轴的垂线交轴于点，如图，点在圆上逆时针运动的角速度是， 所以分钟转过的弧度数为 设，当时，， ， 当时，上述关系式也适合． 故． 故选：． 7.【答案】  【解答】解：依题意，，故，当太阳天顶距为时，晷影长，故选A． 8.【答案】  【解答】 解：摆球往复摆动一次所需要的时间为函数的最小正周期， 根据正弦函数的性质得出． 故选C． 9.【答案】  【解答】 解：在中，． 由正弦定理得． 所以． 在中，． 故选A． 10.【答案】  【解答】 解：以为原点，过且平行于地面的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 圆为摩天轮，为圆上的动点，设到地面的高为． 由题设有， 故，其中 对于，令，则，解得，， 故点首次到达最低点所需的时间为分钟，故A正确 对于，当时，， 当时，， 因为，故，故B正确 对于，当，， 由的性质可知，在内单调递减，在内单调递增， 而， 所以在上是先递减后递增的，故C错 对于，考虑时不等式的解， 故，解得或， 故摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米，故D正确． 故选ABD． 11.【答案】  【解答】 解：由题意可设点距离水面的高度米与秒的函数解析式为  ，， 依题意可知的最大值为，最小为， ，， 解得，． 又，解得． ， 当时，，得，又，因此， 故所求的函数解析式为 ，选项正确． 令，可得：， 点第一次到达最高点，，解得． 因此点第一次到达最高点要秒，选项错．  ； 在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点距离水面的高度不低于米，选项正确． 时， ，选项正确． 故选BCD． 12.【答案】  【解答】 解：由图像及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为， 振动周期为， 当或时，振动速度为零，该弹簧振子在和时的位移为零． 故选ABD． 13.【答案】  【解答】 解：函数关系式为， 则， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为． 故答案为． 14.【答案】，  【解析】解：依题意，半径为的筒车按照逆时针方向每分钟转圈， 所以振幅，角速度， 又筒车的轴心距离水面的高度为，所以， 因为以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间， 所以当时，， 得：，即， 而，所以， 因此，，， 故答案为：，． 15.【答案】  【解析】解：由题可设函数  ， 其中  ，所以  ，  时，  ，解得  ，因为  ，所以  ， 所以  ，正确； 由可知点第一次到达最高点需用时  秒，正确； 由题意知，点再次接触水面需用时  秒，正确； 当  时，  ，点距水面的高度为米，错误． 16.【答案】  【解答】 解：周期， 频率为每秒次， 往复运行次． 故答案为． 17.【答案】，答案不唯一  【解答】 解：不妨设，， 由题知，， 所以． 当时，，且小球开始向上运动， 即， 所以有或，， 不妨取 ， 故所求关系式可以为 故答案为，答案不唯一 18.【答案】  【解答】 解：由题意可设，， 函数的最小正周期为，， 则，， 所以． 故答案为． 19.【答案】解：设号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为 ， 则，， 所以， 依题意，所以，即， 当时，，所以， 所以； 号座舱与地面的距离为米，即，即， 所以， 又因为，所以， 所以或，解得或， 所以当或时，号座舱与地面的距离为米； 依题意可知号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为， 号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为， 所以： ， 当，即时，， 所以当或时，取得最大值． 20.【答案】解：因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱点离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱点离地面的距离米； 依题意号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为其中， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． 令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，号座舱与地面的距离为米． 21.【答案】解：依题意，，，，则， 由于点的起始位置在最低点处，则可取， 摩天轮按顺时针做匀速转动，则点旋转所得的角为， 因此，， 于是， 所以时点距离地面的高度为． 由知，，令， 即，整理得， 则有，，解得，，． 显然， 所以转动一圈过程中，有时间可以看到公园全貌． 22.【答案】解：过点作地面平行线，交圆于点，过点作的垂线，交于点， 当时，， ， 当或时，上述解析式也适合． 综上所述， 点在圆上逆时针运动的角速度是， 所以转过的弧度数为， 因此，．  23.【答案】解：图像如下： 描点、连线，图像如图所示．   将代入，得， 小球在开始振动时的位移是． 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是和． 震动的周期为， 小球往复振动一次所用的时间为．  24.【答案】解：由题意，， 由图可知的最大值为，最小值为，即，解得，， 每分钟转圈， 函数的周期为，可得，可得， 依题意，可知当时，，即，可得， 由，可得． 由可得， 令，得，取，解得， 故经过分钟后盛水筒出水后就可到达最高点． 由题意，， 可得，可得，或舍去， 所以， 所以再经过分钟，可得， 故盛水筒不在水中．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$