第13章三角形 单元测试卷 2025～2026学年人教版八年级上册数学

第13章三角形 单元测试卷 2025~2026学年人教版2024 八年级上册数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 2．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 4．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 9．将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是 ． 12．中，如果是的3倍，且比大，那么是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 13．将两个含的直角三角板按如图所示方式叠放，其中与重合，，则的度数为 ． 14．已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为 ． 15．如图， 度． 16．如图，三角形的面积为16，与交于点E，且，，图中阴影部分的面积和 ． 三、解答题 17．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 18．如图，平分，，，求的度数． 19．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 20．如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 21．如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 22．已知． （1）若，求的度数． （2）若，求证：． 23．已知，点和点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数(结果用含的式子表示)； (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形 单元测试卷 2025~2026学年人教版2024 八年级上册数学 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D B B C D B C 1．A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了三角形的中线定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据三角形的中线定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴是的中线，故选项A不符合题意； B、∵， ∴是的中线，故选项B不符合题意； C、∵， ∴D为的中点，故选项C不符合题意； D、在中，是的对边，故选项D符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间的关系 ． 根据三角形三边之间的关系，逐项验证即可． 【详解】解：对于每组线段，只需验证最长边是否小于另外两边之和： ．，，：最长边，，不满足任意两边之和大于第三边的条件，不能构成三角形，选项不符合题意； ．，，：最长边，，不满足任意两边之和大于第三边的条件，不能构成三角形，选项不符合题意； ．，，：最长边，，不满足任意两边之和大于第三边的条件，不能构成三角形，选项不符合题意； ．，，：最长边，，满足条件；同时，，均成立，能构成三角形，选项符合题意． 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和性质，根据平行线的性质可得出，再根据三角形的内角和性质可得出，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 7．C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 8．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线、构造平行线和三角形成为解题的关键． 如图：延长交于点G，由平行线的性质可得，再根据等量代换以及三角形的知识可得，然后再根据等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 9．B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，先根据三角形的外角得出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和定理得出答案即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．C 【分析】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键． 11． 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 12．直角 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】 解：设， ∵是的3倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 13． 【分析】本题考查了三角形内角和定理及对顶角相等的性质，解题关键在于找出．通过三角板的特殊角度，结合对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． 设点，根据题意可得，再由的面积为6，可得，即可求解． 【详解】解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 15． 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 16．6 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， 设 ， ， ，即， ， 阴影部分的面积和为6． 故答案为：6． 17． 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 18． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义知识，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键．根据角平分线定义求出，根据三角形的外角性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：4． 20．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 22．（1）50°；（2）见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠1+∠EBD=180°，代入求解即可； （2）根据平行线的性质得到∠3=∠EBD，根据三角形外角的性质和已知可推出∠1=∠DEB，即可证明ED∥AC． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）证明：， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质的应用，能正确利用定理进行推理是解此题的关键． 23．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）由（1）知：，进而根据三角形内角定理，根据进行求解即可； （3）根据已知得出，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作， ， ， ，， ， ， ； （2），， ，， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ； （3），， ， (Ⅰ)如图3，当时， 设，则，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得， ；                                      (Ⅱ)如图4，当时， 设，则，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 综上，的度数为或．                         答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$