精品解析：四川省达州市万源市第四中学2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学测试题

四川省达州市万源市第四中学2025年春季学期初一年级第三次月考数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件中，是必然事件的为（ ） A. 守株待兔 B. 水涨船高 C. 画饼充饥 D. 拔苗助长 3. 中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代纳米技术取得了突破性进展，并于年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 不确定 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ） A. B. C. D. 8. 小明在草坪上放风筝．如图，记录了在某一段60秒时间内风筝的高度（米）与时间（秒）之间的数量关系．下列结论错误的是（ ） A. 风筝距水平地面的最高高度为米 B. 当秒时，米 C. 当时，随的增大而减小 D. 当米时，秒 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 计算：__________． 10. 如图，为等腰直角三角形，，延长至点D，连接，，则________． 11. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 12. 某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是__________米． 13. 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上画出点P， 使得的值最小． 17. 如图，在中，都是的角平分线，相交于点O，且． （1）求证； （2）若，求的度数． 18. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______________． 20. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 21. 已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得__________． 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为___． 23. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分） 24. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题： 数量（个） 1 2 3 4 … 高度 6.2 8.6 … （1）求出表格中、的值； （2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）若这摞碗的高度为，求的值． 25. 问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 26. 在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接． （1）如图1，点D在线段上，，求的度数； （2）射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H． ①如图2，点D在线段上，求证：； ②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市万源市第四中学2025年春季学期初一年级第三次月考数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（对称轴）对称是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，A是轴对称图形，符合题意； B、C、D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列成语所描述的事件中，是必然事件的为（ ） A. 守株待兔 B. 水涨船高 C. 画饼充饥 D. 拔苗助长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一区别各类事件即可得答案． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B、水涨船高是必然事件，故该选项符合题意； C、画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意； D、拔苗助长是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：B． 3. 中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代纳米技术取得了突破性进展，并于年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直尺两边平行，得到，根据含有角的直角三角板顶角为，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由直尺两边平行，得到， 由含有角的直角三角板顶角为，即， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度问题，数形结合，利用平行线性质及互余定义求解是解决问题的关键． 5. 一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，理解三角形三边关系，等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以分两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10＋10＋5＝25； ②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时，不满足三角形的三边关系，不合题意． 综上所述，该等腰三角形的周长为25． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方公式分别验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据整式乘法运算法则，，该选项错误，不符合题意； B、根据积的乘方运算法则，，该选项错误，不符合题意； C、根据单项式乘以多项式的运算法则，，该选项错误，不符合题意； D、根据完全平方和公式，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式运算，涉及整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方和公式，熟记相关公式及整式运算法则是解决问题的关键． 7. 如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．作于，由平分，得到，由，，求出，得到，即可求出点到的距离． 【详解】解：如图，作于， ， ， 平分， ， ，， ， ， 点到的距离等于． 故选：B． 8. 小明在草坪上放风筝．如图，记录了在某一段60秒时间内风筝的高度（米）与时间（秒）之间的数量关系．下列结论错误的是（ ） A. 风筝距水平地面的最高高度为米 B. 当秒时，米 C. 当时，随的增大而减小 D. 当米时，秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象中的数据逐项判断即可，理解题意，正确从图象中获取有效信息作答是解题的关键． 【详解】、风筝距水平地面的最高高度为米，结论正确，不符合题意； 、当时，，结论正确，不符合题意； 、当时，h随t的增大而减小，结论正确，不符合题意； 、当米时，的值有个，不只等于，结论错误，符合题意， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由恒等变形计算即可得到答案，熟记积的乘方的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 如图，为等腰直角三角形，，延长至点D，连接，，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．先由等腰三角形的性质得，然后由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ， ， 解得：或， 故答案为： 或． 12. 某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是__________米． 【答案】10.2 【解析】 【分析】证明，得米即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， （米）， 故答案为：10.2． 13. 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为____． 【答案】13 【解析】 【详解】试题分析：因为等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13． 考点：1．等腰三角形的性质；2．垂直平分线的性质． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、整式乘法公式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、零次幂、负整数次幂、有理数乘方的知识化简，然后再进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当，时，原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上画出点P， 使得的值最小． 【答案】（1） 如图1，即为所求； （2） 如图1，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质等知识．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质作图即可； （2）如图1，连接交于，连接，则，由，可知当三点共线时，最小，点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，最小，点即为所作． 17. 如图，在中，都是的角平分线，相交于点O，且． （1）求证； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由（1）知，可得，再根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵都是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明： 证明：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用：见解析； 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 【解析】 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明：略 模型应用：略 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答． 【详解】， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记并能够正向和反向运用同底数幂的计算公式． 20. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可． 【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块， ∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ， 故答案为：． 【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 21. 已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c分别为三角形的三边长， ，， ，， ． 故答案为：． 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为___． 【答案】2 【解析】 【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=6，即可算出AF的长． 【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°， ∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠C， ∵∠2=∠3， ∴∠3=∠C， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴FD=CD，AD=BD， ∵CD=6，BD=8， ∴AD=8，DF=6， ∴AF=8-6=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分） 24. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题： 数量（个） 1 2 3 4 … 高度 6.2 8.6 … （1）求出表格中、的值； （2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）若这摞碗的高度为，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用表格表示变量之间的关系，正确求出每增加一个碗，碗总高度增加是解此题的关键． （1）先求出每增加一个碗，碗总高度增加多少，即可得出、的值； （2）由（1）可得每增加一个碗，碗总高度增加，即可得出答案； （3）当时，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：每增加一个碗，碗总高度增加：， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）可得每增加一个碗，碗总高度增加， ∴整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式为； 【小问3详解】 解：当时，． 解得：． 25. 问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 26. 在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接． （1）如图1，点D在线段上，，求的度数； （2）射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H． ①如图2，点D在线段上，求证：； ②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）15° （2） ①是等边三角形， ，． ∵， ，． ． 是等边三角形． ．             ． 点B关于直线AD的对称点为E， ，设． 是等边三角形， ，． ，． ．      ． ． 在中，． ，，． 点B关于直线AD的对称点为E， ，．        ． ， ． ． ．              ． 在和中， ． ②，理由如下： 由①可得． ．        在中，，． ， ． ∴是等边三角形． ．        ．     【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质可得、，再运用等边三角形的性质可得、，进而得到、，由三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答； （2）①先说明是等边三角形可得，再证，再根据轴对称的性质、等量代换等知识点证明结论；②由①可知，利用全等三角形的性质可得，再说明是等边三角形可得，最后根据即可解答． 【小问1详解】 解：点B关于直线AD的对称点为E， ，， 是等边三角形， ，． ∴ ∵ ，． ． ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $