精品解析：2025年浙江省杭州市西湖区中考数学模拟预测题（一）

2025年浙江省杭州市中考模拟试题 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义． 利用轴对称图形的定义，即在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图形是轴对称图形，符合题意； C. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　） A. 0.202×1010 B. 2.02×109 C. 20.2×108 D. 2.02×108 【答案】B 【解析】 【分析】先将原数表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为把原数变成a时，小数点向左移动的位数． 【详解】解：2020000000＝2.02×109， 故答案为B． 【点睛】本题考查了科学记数法，即将原数表示成形式为a×10n的形式时，确定a和n的值是解答本题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除法运算法则计算出各项结果，逐项判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，故此选项不符合题意； B.，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C.，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D.计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5. 如图，由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 【详解】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形， 故选：A． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h． 7. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（ ） A. 16个 B. 17个 C. 18个 D. 19个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化找出规律． 根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案． 【详解】解：图1有1个棋子； 图2有4个棋子，比图1多了3个； 图3有7个棋子，比图1多了个； 图4有10个棋子，比图1多了个； …… 则图7有个棋子； 故选：D． 8. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C. 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质. 9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案． 【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 10. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果． 【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线； 中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线； 从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线； 结合四个选项，B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可. 【详解】解： = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法. 13. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系；根据路程=速度×时间，利用路程相等列出关系式即可解决问题． 【详解】解：由题意， 即， 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】用红球个数除以所有球的个数得到概率． 【详解】解：任意摸出一个球是红球的概率是：． 故答案是：． 【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握计算概率的方法． 15. 如图，在中，，以的中点为圆心，分别与，相切于两点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，先根据切线性质和正方形的判定证明四边形是正方形，得到，，，再根据平行线分线段成比例得到，然后利用勾股定理求得，进而得到，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ∵分别与，相切于两点， ∴，又，， ∴四边形是正方形， ∴，，，又为的中点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式、切线性质、平行线分线段成比例、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线性质，证得是解答的关键． 16. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 故答案为：． 17. 某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件25元涨到每件36元，则平均每次涨价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次涨价的百分率为，利用经过两次涨价后的价格原价平均每次涨价的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的值为， 即平均每次涨价的百分率为， 故答案为：． 18. 对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 19. △ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°则△ABC的面积是 ． 【答案】21或15． 【解析】 【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D， 在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°， ∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6， 在Rt△ACD中，CD==， ∴BC=BD+CD=6+=7， 则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21； ②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D， 由①知，AD=6、BD=6、CD=， 则BC=BD﹣CD=5， ∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15， 故答案为21或15． 考点：解直角三角形． 20. 如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质以及垂直的定义得出，构造辅助线延长至点G，使，连接，由“”证明，利用全等三角形的性质以及角平分线的性质进行倒角得到，即，由勾股定理得到的长，即的长，最后由线段之间和差关系得到长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，． ， ． ． 延长至点G，使，连接． ，， ． ． 平分， ． 设． 则，． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理．掌握这些判定与性质进行角与边的推导代换是解题的关键． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的分母分解因式，约分，相加，然后求出特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 ． 22. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标. 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）P（0，2）． 【解析】 【详解】分析：（1）根据A，C两点的坐标即可建立平面直角坐标系. （2）分别作各点关于x轴的对称点，依次连接即可. （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，即为所求. 详解：（1）略 （2）略 （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，则点P即为所求． 设直线B1C′的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B1（﹣2，-2），C′（1，4）， ∴，解得：， ∴直线AB2的解析式为：y=2x+2， ∴当x=0时，y=2，∴P（0，2）． 点睛：本题主要考查轴对称图形的绘制和轴对称的应用. 23. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分学生，对这部分学生的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？ 【答案】（1）100名 （2） 补条形统计图如图； （3）240名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体， （1）根据喜欢篮球的人数有25人，除以占总人数的即可得出总人数； （2）根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可； （3）总人数乘以喜欢跳绳的人数占总人数的即可得出结论． 【小问1详解】 解： （名）． 答：学校这次调查共抽取了100名学生； 【小问2详解】 解：喜欢羽毛球的人数为（名）， 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该校有240名学生喜欢跳绳． 24. 如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【答案】 （1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴DE=EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）6． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【详解】（1）略 （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6． 25. 小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块． （1）两种型号的地砖各采购了多少块？ （2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？ 【答案】（1）彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；（2）彩色地砖最多能采购20块． 【解析】 【分析】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据题意列方程组，解出方程组即可； （2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60－a）块，由题意得80a+40（60－a）≤3200，解得a≤20，所以彩色地砖最多能采购20块. 【详解】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块， 由题意得：， 解得：． 答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块； （2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60－a）块， 由题意得：80a+40（60－a）≤3200， 解得：a≤20． 故彩色地砖最多能采购20块． 【点睛】本题关键在于设出未知数，根据题意列出相应的方程组、不等式解题. 26. 已知内接于，为直径，连接，且平分． （1）如图l，求证：； （2）如图2，过点N作交于点E，交于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，连接交于点G，连接交于点K，连接，且，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ． ，， ． ， ． （2） 证明：连接，延长至点U，连接，使． ，． ，， ． ． ． 又， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，利用等腰三角形的性质可得结论； （2）连接，延长至点U，连接，使．证明得，再证明，即可得出结论； （3）连接，设与交点为T，连接，过M作于R，过T作于P，在上取点Q，连接，使．则． （3#）设，，得，，得，设得，结合勾股定理得方程，求出的值，求得，四边形为平行四边形．四边形为矩形，证明，根据相似三角形的性质进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，设与交点为T，连接，过M作于R，过T作于P，在上取点Q，连接，使．则． ， 设，， ． ， ． ， ． ， ． ． ． ． ，． ，． ，． ， ． ． ． ． 设． ． ， ． ， ． ． ，（舍去）． ，． ． ． ． ． ， ． ， 在中，， ． 为直径， ． ，． 四边形为平行四边形． ，． ， 四边形为矩形． ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． ． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）如图1，求a的值； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，即，推出，再利用待定系数法求解即可； （2）过P作轴于M，设与y轴交点为N，得到，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T，设，求得，证明四边形是平行四边形，证明，得到，，推出，得到，求得，过P作轴于点H，则，，利用三角函数的定义求得，再计算得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ， 过， ， ， 当时，， ， ， 过， ， ； 【小问2详解】 解：过P作轴于M，设与y轴交点为N， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T， 设， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 或（舍去）， ，， 过P作轴于点H，则，，， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的图象和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省杭州市中考模拟试题 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　） A. 0.202×1010 B. 2.02×109 C. 20.2×108 D. 2.02×108 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（ ） A. 16个 B. 17个 C. 18个 D. 19个 8. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 10. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 13. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 14. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为___． 15. 如图，在中，，以的中点为圆心，分别与，相切于两点，则的长为________． 16. 不等式组的解集是_______． 17. 某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件25元涨到每件36元，则平均每次涨价的百分率为_____． 18. 对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是________． 19. △ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°则△ABC的面积是 ． 20. 如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为_______． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标. 23. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分学生，对这部分学生的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？ 24. 如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 25. 小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块． （1）两种型号的地砖各采购了多少块？ （2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？ 26. 已知内接于，为直径，连接，且平分． （1）如图l，求证：； （2）如图2，过点N作交于点E，交于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，连接交于点G，连接交于点K，连接，且，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）如图1，求a的值； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $