精品解析：2025年河北省唐山市第五中学九年级中考第三次模拟考试数学试卷

2025年河北中考数学三模 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（ ） A. 表示的点 B. 表示的点 C. 表示的点 D. 表示的点 4. 下列数中，能使的值为负数的为（ ） A. B. C. D. 5. 节肢动物是种类最多的动物类群，目前已命名的种类有120万种，占所有已知动物种类的左右，则所有已知动物的种类数用科学记数法表示为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的回答正确 B. 只有淇淇的回答正确 C. 两人的回答都正确 D. 两人的回答都不正确 7. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（ ） A. B. C. D. 57° 8. A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 0或2 9. 一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（ ） A. 点在边的垂直平分线上 B. 点为的外心 C. 平分 D. 直线与的外接圆相切 11. 如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（ ） A. B. C. D. 12. 题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 两人答案合在一起才完整 D. 两人答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 14. 计算：_____． 15. 有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填_____． 16. 如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 18. 某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． （1）请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 20. 圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图，是拱门外轮廓所在的圆，其圆心为，半径为，拱门最下端的弦（在地面上）宽． （1）尺规作图：在图的上，作出拱门的最高点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）求（1）中所作的最高点到地面的距离； （3）现要往房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？ 21. 如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作 如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究 （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） 22. 国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． （1）求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； （2）受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 23. 如图1和图2，矩形中，，，点是边的中点，连接．点是边上的一点（可与点，重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角三角形，其中． （1）点与点的最小距离为_____； （2）当点不与点重合时，求证：； （3）当点落在上时，如图2，求的长； （4）当点在矩形的内部（不含边界）时，直接写出四边形面积的最大值． 24. 如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． （1）求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； （2）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北中考数学三模 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多重符号，负整数指数幂，零指数幂． 先分别计算多重符号，负整数指数幂，零指数幂，进而判断即可． 【详解】解：A． ，与不相等，不符合题意； B． ，与不相等，不符合题意； C． ，与不相等，不符合题意； D． ，与相等，符合题意； 故选：D． 2. 图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平角的定义，平角为，已知的度数，用平角减去的度数得到的度数．本题主要考查了平角的定义，熟练掌握平角为是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 3. 如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（ ） A. 表示的点 B. 表示的点 C. 表示的点 D. 表示的点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列数中，能使的值为负数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 5. 节肢动物是种类最多的动物类群，目前已命名的种类有120万种，占所有已知动物种类的左右，则所有已知动物的种类数用科学记数法表示为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴所有已知动物的种类数为万种， 万， 故选：C． 6. 四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的回答正确 B. 只有淇淇的回答正确 C. 两人的回答都正确 D. 两人的回答都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先找出图中相等的量，可得，再分别对嘉嘉和淇淇添加的条件进行逐一分析判定即可． 【详解】观察图形可得，，，， ∴， 嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加时，有，不能得到四边形是平行四边形，因此嘉嘉的回答不正确； 淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．有，利用一组对边平行且相等，可得四边形是平行四边形，因此淇淇的回答是正确的． 故选：B. 7. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（ ） A. B. C. D. 57° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、等腰三角形性质（等边对等角）及三角形内角和定理．解题关键是通过旋转性质建立边与角的等量关系，再结合等腰三角形和角的和差关系推导目标角度．利用旋转的性质得到对应边、角相等，结合直角三角形内角和求出，再通过等腰三角形性质和角的和差关系计算 【详解】解：中，， ， 绕点B逆时针旋转得到， ，，， 又可知，是等腰三角形，顶角为（旋转角等于原角）， 底角， ， 故选：B． 8. A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义得，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， A，B是数轴上不同的两点， ， ， 故选：C． 9. 一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据一个正方体相对两面的整式之积均相等得到，即可求解． 【详解】解： 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∵一个正方体相对两面的整式之积均相等， ∴ 解得， 故选：D 10. 如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（ ） A. 点在边的垂直平分线上 B. 点为的外心 C. 平分 D. 直线与的外接圆相切 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可． 【详解】解：∵点为的外心， ∴， ∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点为的外心， 故选项B正确，不符合题意， ∵， ∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径， ∵， ∴直线与的外接圆相切， 故选项D正确，不符合题意， 不一定平分，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 11. 如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 12. 题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 两人答案合在一起才完整 D. 两人答案合在一起也不完整 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两点都在同一反比例函数图象上得到关于的方程：，解方程求出的值，通过作直线和求出线段和的中点坐标，再根据线段与轴有交点时，，或线段与轴有交点时，，即可确定的取值范围． 【详解】解：根据题意作出点和点关于直线的对称点：点和点．直线交轴于点，交轴于点，如图： 点和点在同一个反比例函数图象上， ，即：， 解得：， 点坐标为，点坐标为， 过点作直线交于点，过点作交于点， 根据点的坐标可得，点在直线上；根据点的坐标可知点在直线上， 由求解出点的坐标为， 由求解出点的坐标为， 根据轴对称的性质，点是线段的中点，点是线段的中点， ，， 则，， 同理可得：，， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， ，整数的值为2，3，4，5，6． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，一元一次不等式组，求出两点关于直线的对称点坐标是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率，选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个， ∴嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为， 故答案为：． 14. 计算：_____． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：42． 15. 有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子因式分解． 先由和可求出A，B，C，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数． ∴，，， ∴． 故答案为： ． 16. 如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． （1）请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】（1）， 说明如下： ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为； 【小问2详解】 解：由题意， 得， 解得． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 【答案】（1） ①补全折线统计图如下： ②中位数为次，众数为次 （2） 选择嘉嘉的说法，由折线统计图可知，甲同学数据的波动较小，方差小，测试成绩较为稳定，所以选择甲同学； 选择淇淇的说法，由于乙同学的中位数是次，众数也是次，获胜的可能性较大，而甲同学的中位数是次，众数也是次，均低于次，所以选择乙同学； （3） 【解析】 【分析】（）①根据平均数的定义求出乙同学第次测试成绩，进而补全折线统计图即可；②根据中位数和众数的定义解答即可； （）根据方差、中位数和众数的意义说理即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了折线统计图，平均数、方差、中位数和众数，掌握平均数、方差、中位数和众数的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①设乙同学第次测试成绩为， 由题意得，， 解得， ∴乙同学第次测试成绩为次， 图如答案所示； ②乙同学次引体向上测试成绩由低到高排列为，，，，， ∴中位数为，众数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵乙同学前次的成绩排列为，，，，，要使中位数不变，则排名第和排名第的成绩应均为， ∴第次成绩的可为或， ∴第次成绩的最小值为， 故答案为：． 20. 圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图，是拱门外轮廓所在的圆，其圆心为，半径为，拱门最下端的弦（在地面上）宽． （1）尺规作图：在图的上，作出拱门的最高点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）求（1）中所作的最高点到地面的距离； （3）现要往房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？ 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） （3）抬高米 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，圆的垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）过圆心作弦的垂线，与圆的交点即为最高点； （2）设与交于点，连接，然后利用勾股定理即可求解； （3）设弦，且于点，连接，然后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点，连接， ， ， 在中，， ， ， 最高点到地面的距离为； 【小问3详解】 解：如图，设弦，且于点，连接， ， ， ， ， 工人需将桌面至少抬高，才能使圆桌面通过拱门． 21. 如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作 如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究 （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） 【答案】（1）；（2）钳口和之间的距离减少了． 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由螺丝帽是正六边形得每个外角的度数，再得出每个内角的度数，然后求出，最后根据平行线的性质即可； （2）过点作于点，连接，求得，得到，求出，，再求出，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：（1）连接，如图： 六边形为正六边形， ， 根据对称性，平分和， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，连接，如图： ，， ， ， 在中，，， ， ， 由（1）可知，， 在中，， ， 由题意可知，和之间的距离由的长变成的长， ， 即经上述操作后，钳口和之间的距离减少了． 22. 国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． （1）求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； （2）受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】（1）每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 （2）①；②10860元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； 【小问2详解】 解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 23. 如图1和图2，矩形中，，，点是边的中点，连接．点是边上的一点（可与点，重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角三角形，其中． （1）点与点的最小距离为_____； （2）当点不与点重合时，求证：； （3）当点落在上时，如图2，求的长； （4）当点在矩形的内部（不含边界）时，直接写出四边形面积的最大值． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用二次函数求线段的最值等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用等腰直角三角形斜边中线定理即可求解； （2）利用矩形的性质和全等三角形的判定定理进行证明即可； （3）利用全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解； （4）过点作于点，过点作于点，证明出，得到对应边相等，，表示出相关的线段，利用四边形的面积，列出二次函数，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ， 当取值最小时，值最小， 最小值为的长，即， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ，  三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点， ，即，， ， ， 又， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴，四边形为矩形， 由（3）得，且， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点， ， ∴， 设， ， ，， ∴, ∴四边形的面积 ，  点在矩形内部， ， 解得， ，  当时，四边形的面积有最大值． 24. 如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． （1）求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； （2）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴抛物线与x轴一定有两个交点； 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； （2）①；② （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系即可证得结论； （2）①利用待定系数法求得抛物线的表达式，运用配方法求得顶点坐标即可；②利用二次函数的性质即可求得答案； （3）①根据抛物线的平移规律即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， ∴结合图象得，． 【小问3详解】 解：①由（2）知：抛物线的表达式为，顶点为， 又∵抛物线的表达式为，顶点为， ∴抛物线是由抛物线L1向右平移2个单位向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， 当时，若点P在直线上，则， ∴， 解得： （舍去），， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方，四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线l与交于点L，则， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上，点M的横坐标m的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，矩形性质等，运用数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $