第13章 三角形 综合测试卷 2025～2026学年人教版八年级上册数学

第13章三角形 综合测试卷 2025~2026学年 人教版2024八年级上册数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 2．下列每组三条线段的长度，能用它们组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 6．如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 7．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 9．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，，照这样的规律搭下去，搭2025个三角形需要小木棒的根数为（    ） A．4050 B．6060 C．4051 D．6045 评卷人 得分 二、填空题 11．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是 ． 12．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 13．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，n边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ． 14．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 15．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 16．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．在中，是高，是角平分线，已知，，求的度数． 18．如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 19．已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． (1)求证：； (2)若比大．求的度数． 20．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 21．已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． (1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标 ； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动（不与点C、H重合），请直接写出，，之间的数量关系． 23．如图1，过直线外一点C作，连接，，的平分线与交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接． (1)求的度数； (2)若，求证：； (3)如图2，的平分线与交于点F，连接，若，，，（），请问之间有何等量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形 综合测试卷 2025~2026学年 人教版2024八年级上册数学 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D D B A C C 1．B 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，对四组数分别作了分析，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，不能用它们组成三角形，故A不符合； ∵， ∴，，能用它们组成三角形，故B符合； ∵， ∴，，不能用它们组成三角形，故C不符合； ∵， ∴，，不能用它们组成三角形，故D不符合， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 4．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和性质，根据平行线的性质可得出，再根据三角形的内角和性质可得出，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意； B、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意． D、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，则可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 7．B 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的性质可得，，再结合，可得，可判断①；根据平行线的性质可得，可判断②；根据题中的条件无法确定的度数，可判断③；根据平行线的性质可得，从而得到，可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 根据题中的条件无法确定的度数，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法确定是否等于，故④错误； 故选：B 8．A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质可得，，相加可得结果． 【详解】解：∵点、、、分别是、、、的中点， 是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ， 同理可得：， 四边形的面积为：． 故选：A． 9．C 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，二元一次方程组的求解，首先利用加减消元法求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：方程组 ，整理得：， 解得：， 的两边分别为4，6， 设第三边长为a，则， 第三边能被3整除， 或6或9， 所以这样的三角形有3个． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了图形规律探索，正确理解图形中小木棒的摆放规律是解题的关键．找出图形中小木棒的根数与序号之间的关系即可． 【详解】解：因为搭1个三角形需3根小木棒，， 搭2个三角形需5根小木棒，， 搭3个三角形需7根小木棒，， ， 所以搭n个三角形需小木棒的根数为， 所以搭2025个三角形需小木棒的根数为． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 12．/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分成个三角形，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答． 【详解】解：四边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 五边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 六边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， ； 边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 故答案为：． 14．或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 15．8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 16．/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．的度数为或 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义．分点E在线段上和点E在线段上，两种情况讨论，利用三角形的外角性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，当点E在线段上时， ∵为的外角， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 如图，当点E在线段上时， 在中，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 18．(1) (2)4 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 即平移的距离的长为． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质与角平分线的定义推出．再由，得到，则． （2）设，则，．由平行线的性质得到．由角平分线的定义得到，则．进而得到，解方程求得x值，再结合三角形内角和定理进行求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵比大， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 20． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ， ． ， ． 平分， ． ，， ． 21．(1) (2)不变， 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律． （1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导． （2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴． 22．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求出，即可得解； （2）先求出三角形面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点B的坐标是，， ∴， 设点， ∵三角形的面积等于三角形面积的， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：如图，当点在点的上方且在的下方时，设交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在点的上方且在的上方时， ， 同理可证得：； 如图，当点在线段上（不与、重合）时，作， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 23．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质，进行求解即可； （2）由平分得到，从而，再根据等角的余角相等即可得证； （3）分两种情况讨论求解：①点在线段的左侧，②点在线段的右侧． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：①当点在线段的左侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点在线段的右侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上，之间的等量关系为：或 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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