第五章一元函数的导数及其应用 专题复习卷-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

选必二第五章《一元函数的导数及其应用》参考答案 一、单选题 1. 【答案】C 【详解】根据题意，，则，由导数的定义知，． 2.【答案】A 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为1， 即，所以． 3.【答案】A 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 4.【答案】B 【详解】因为，所以， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示， 0 + 0 - 单调递增 2 单调递减 因此，当时，有极大值，并且极大值为， 又由于， 所以函数在区间上的最小值是-2. 5.【答案】D 【详解】由，得， 由题意可知：，，得到，解得或， 当时，，所以不是极值点， 当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以则在处取极小值10，符合题意. 所以，所以. 6.【答案】D 【详解】解：因为所以，又因为是函数的极小值点，所以，解得，所以，，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以在处取极大值，在处取极小值， 所以的取极大值为. 7．【答案】B 【详解】由题意杯子的底面面积， 则杯中溶液上升高度， 则， 当时，， 即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为. 8.【答案】D 【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：。 9.【答案】B 【详解】设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，，中最大.又，所以，. 10．【答案】D 【详解】令，由偶函数知， 当时，， 故为奇函数， 当时， 则为减函数， 由奇函数知，在上为减函数， 而， 所以， 即， 二、多选题 11. 【答案】CD 【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；对于B选项：，所以B选项错误；对于C选项：由公式得，所以C选项正确； 对于D选项：，所以D选项正确； 12． 【答案】B 【详解】由图知，当时，， 单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故AC错误，D正确 在处取得最大值，所以曲线在处的切线斜率取得最大值，故B正确。 13.【答案】BC 【详解】函数，定义域为，， ，解得，，解得， 在上单调递减，在上单调递增，B选项正确； 有极小值，无极大值，A选项错误； 由，，曲线在处的切点为，切线斜率为1，切线方程为，C选项正确； ，即，函数与的图像在上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误. 三、填空题 14.【答案】/ 【详解】因为， 所以 15.【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 16.【答案】1或 【详解】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或． 四、简答题 17.【详解】（1）解：函数的定义域为，依据题意可知， 令得或，所以，的增区间为，. （2）解：令，得（舍），，列表如下： x 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，， 对任意的，恒成立，则. 18．【详解】（1），则，又，所求切线方程为：，即. （2），令，得；令，得，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的极小值为，无极大值. 19.．【详解】（1）函数，求导得，依题意，，解得， 当时，，，则函数的图象在点处的切线方程为，符合题意， 所以. （2）函数的定义域为R，而中，恒成立， 当时，，因此函数在R上单调递增； 当时，在R上单调递增，由得：， 当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递增； 当时，函数的递减区间是，递增区间是. 20．【详解】（1）∵，由题意得，解得， 所以，，令，解得或； 令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取到极大值，在处取到极小值，故符合题意，. （2）令，则，原题意等价于与有三个交点， 由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取到极大值，在处取到极小值， 故，解得，所以的取值范围为． 21.【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 22.【详解】（1）若，则，其定义域为， ， 令，解得或，令，解得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）当，时，，则有， 故只需证明当时，， 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，取得最小值， 所以， 综上，当时，. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选必二第五章《一元函数的导数及其应用》复习卷 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A．-1 B．3 C．8 D．16 2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 3． 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数， 则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若函数在处有极值10，则（    ） A． B． C．6 D． 6．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 9．已知，，（其中e为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 10．已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B．曲线在处的切线斜率取得最大值 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 13．已知函数，下列说法正确的有（ ） A．的极大值为 B．的单调递减区间为 C．曲线在处的切线方程为 D．方程有两个不同的解 三、填空题 14．若函数的导函数为，则 ． 15．若直线是曲线的切线，则 . 16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________. 四、简答题 17．设函数． (1)求的增区间； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 19．已知函数，． (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值； (2)根据的取值，讨论函数的单调性． 20．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 21．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 22．已知函数 (1)若，求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$