江苏省连云港市灌南县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

灌南县第二中学2024-2025学年度第一学期第一次阶段性检测 高二数学试卷答案 一．选择题（共7小题） 1．直线的倾斜角为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率k＝﹣，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小． 【解答】解：∵直线的斜率k＝﹣ ∴直线的倾斜角α满足tanα＝﹣， 结合0°≤α＜180°，可得α＝120° 故选：B． 【点评】本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题． 2．已知A（﹣2，4），B（2，3），C（6，a）三点共线，则a＝（　　） A．﹣36 B．36 C．﹣2 D．2 【分析】直接利用向量的共线和向量坐标运算的应用求出结果． 【解答】解：因为A，B，C三点共线， 所以， 又因为，， 所以4（a﹣4）＝﹣8，解得a＝2． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的共线的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 3．已知直线l1：（a﹣2）x+5y﹣3＝0，l2：（a﹣2）x+ay﹣5＝0，则“l1∥l2”是“a＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由l1∥l2可求出a的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可． 【解答】解：若l1∥l2， 则a（a﹣2）﹣5（a﹣2）＝0，且3a﹣25≠0，所以a＝5，或a＝2， 所以“l1∥l2”是“a＝2”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 4．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞） 【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件，可得关于m的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆， 则有（﹣2）2+m2﹣4m＞0，m2﹣4m+4＝（m﹣2）2＞0，解可得m≠2， 即m的取值范围为（﹣∞，2）∪（2，+∞）； 故选：D． 【点评】本题考查二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程，属于基础题． 5．已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则m2+n2＝（　　） A．21 B．19 C．13 D．11 【分析】由已知可得，即可解得m2、n2，进而求出m2+n2． 【解答】解：由题意， 解得， 所以m2+n2＝19． 故选：B． 【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 6．记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B（2，1），则|AF|+|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由抛物线的定义即可求解． 【解答】解：过点A作x＝﹣1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|， 则|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥3，如图所示． 所以|AF|+|AB|的最小值为3． 故选：B． 7．已知双曲线C：，直线l：x﹣y+1＝0．双曲线C上的点P到直线l的距离最小，则点P的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】设与直线l平行，与双曲线C相切的直线方程为x﹣y+m＝0，与双曲线方程联立，由Δ＝0，可得m的值，由图象确定m的取值，从而解方程可得所求值． 【解答】解：设与直线l平行，与双曲线C相切的直线方程为x﹣y+m＝0， 联立，消去x整理得3x2+8mx+4m2+4＝0， Δ＝64m2﹣12（4m2+4）＝0， 解得m＝±， 由图可得m＝时，符合题意， 所以3x2+8x+16＝0， 解得x＝﹣， 即双曲线C上的点P到直线l的距离最小，则点P的横坐标为﹣． 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF2|＝|F1F2|且，则b＝（　　） A． B． C．2 D． 【分析】画出图形，根据椭圆的定义和性质及余弦定理的应用求解即可． 【解答】解：由题意知该椭圆的焦点在x轴上，如图所示： 由题意|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＝6﹣2c， 由余弦定理得：， 即， 即c2﹣5c+6＝0， 由， 则c＝2， 由a2﹣b2＝c2， 所以b2＝5， 即． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的定义和性质，重点考查了余弦定理的应用，属中档题． 二．多选题（共3小题） 9．已知三条直线：直线l1：ax+y﹣3＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x﹣y﹣5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数a的值． 【解答】解：若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形， 若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1； 若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝﹣2； 联立l2，l3可得，可知l2，l3的交点为（2，﹣1）， 若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2． 故选：ABC． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 10．若方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A．F＝4 B．圆关于直线y＝﹣2x对称 C．圆与y轴相切 D．的最大值为9 【分析】把圆的一般方程和标准方程作对比，可得D、E、F的值，再利用两点间的距离公式，得出结论． 【解答】解：方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆， 故它的标准方程为（x﹣2）2+（y+4）2＝16，故D＝﹣4，E＝8，（16+64﹣4F）＝16，∴F＝4， 故A正确； 由于圆心（2，﹣4）在直线y＝﹣2x上，故圆关于直线y＝﹣2x对称，故B正确； 由于圆心（2，﹣4）到y轴的距离为2，小于半径4，故圆和y轴相交，故C错误， 结合圆心（2，﹣4）到点（2，1）的距离为5， 而表示圆上的点（x，y）到点（2，1）的距离， 故的最大值为5+4＝9，故D正确， 故选：ABD． 【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，两点间的距离公式，属于中档题． 11．已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则（　　） A．|F1F2|＝1 B．|PQ|≤4 C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8 D．设点P到直线x＝﹣4的距离为d，则d＝2|PF1| 【分析】由题意，根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义即可判断选项A，B，C；设 P（x0，y0），结合两点间距离公式和点在椭圆上即可判断选项D． 【解答】解：对于选项A：因为a＝2，， 所以， 则|F1F2|＝2c＝2，故选项A错误； 对于选项B：因为PQ为椭圆C的焦点弦， 所以|PQ|≤2a＝4，故选项B正确； 对于选项C：因为|PF1|+|PF2|＝|QF1|+|QF2|＝2a＝4， 所以△F2PQ的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|＝|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|＝8，故选项C正确； 对于选项D：作PM垂直于直线x＝﹣4，垂足为M， 设P（x0，y0）， 此时d＝|PM|＝|x0+4|， 因为F1（﹣1，0）， 所以＝， 可得2|PF1|＝|x0+4|， 则d＝2|PF1|，故选项D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查椭圆的定义和焦点弦性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 三．填空题（共3小题） 12．过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 　x+y﹣2＝0或x+3y＝0　． 【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝k，把点（3，﹣1）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论． 【解答】解：当直线过原点时，方程为y＝﹣x，即x+3y＝0． 当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝k，把点（3，﹣1）代入直线的方程可得k＝2， 故直线方程是x+y﹣2＝0． 综上，所求的直线方程为x+y﹣2＝0或x+3y＝0． 故答案为：x+y﹣2＝0或x+3y＝0． 【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题． 13．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx﹣y﹣2m+1＝0（m∈R）过定点 　（2，1）　，以点（0，1）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 　x2+（y﹣1）2＝4　． 【分析】根据题意，将直线l的方程变形可得m（x﹣2）＝y﹣1，进而联立，解可得x、y的值，即可得定点的坐标，结合直线与圆的位置关系分析可得点（0，1）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径r，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l：mx﹣y﹣2m+1＝0，即m（x﹣2）＝y﹣1， 则有，解可得，即直线l经过点（2，1）； 设M为（2，1），C（0，1）， 则， 以点（0，1）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径r＝|MC|＝2， 故半径最大的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝4． 故答案为：（2，1），x2+（y﹣1）2＝4． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥F1F2，H是线段PF1上靠近F1的三等分点，且，则C的离心率为 　　． 【分析】根据题意可得，，，再结合三角形相似可得，代入分析求解即可． 【解答】解：由题意，不妨设点P在第一象限，如图． 因为PF2⊥F1F2，则，，． 因为，则OH⊥PF1，可知△PF1F2∽△OF1H， 则，即，整理得． 由得，解得或（舍去）， 所以C的离心率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，离心率的求法，属于中档题． 4． 解答题（共3小题） 15．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0． （1）过点P（3，5）作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为3x+y﹣8＝0与圆C相交于A、B两点，求|AB|． 【分析】（1）求得圆心与半径，分斜率是否存在两情况可求切线l的方程； （2）利用弦长公式可求|AB|． 【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1， 则圆心C（2，3），半径为1， 由（3﹣2）2+（5﹣3）2＞1，可得点P在圆外， ①当过点P的直线斜率不存在时，l的方程为x＝3，此时l与圆C相切， ②当过点P的直线斜率存在时，设1的方程为y＝k（x﹣3）+5，即kx﹣y+5﹣3k＝0， 则圆心C1到直线l的距离为，解得， ∴l的方程为，即3x﹣4y+11＝0， ∴l的方程为3x﹣4y+11＝0或x＝3． （2）直线AB方程为3x+y﹣8＝0， 则圆心C到直线AB的距离， ∴． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 16 17．已知过点M（2，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且当l的斜率为1时，M恰为AB中点． （1）求p的值； （2）当l经过抛物线C的焦点时，求△OAB的面积． 【分析】（1）由题意，结合题目所给信息得到直线l的方程，设出交点坐标，代入抛物线方程中即可求解； （2）结合（1）中所得信息得到直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可． 【解答】解：（1）当l斜率为1时， 可得直线l的方程为y＝x﹣2+2＝x， 此时直线l恰好经过坐标原点， 不妨设A（0，0）， 则B（4，4）为抛物线上的点， 所以42＝2p×4， 解得p＝2； （2）由（1）可知抛物线的焦点F（0，1）， 当直线l经过F时， 直线l的方程为， 联立，消去y并整理得x2﹣2x﹣4＝0， 不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4， 则△OAB的面积． 18．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），圆C的半径为r，且圆心在直线l：y＝3x﹣1上． （1）若半径r＝2，圆心C也在直线x+2y+2＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若半径r＝，圆C上存在点M，使|MO|＝|MA|，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【分析】（1）求得两直线的交点，可得圆心坐标，进而分斜率是否存在求得切线的方程； （2）由已知可得M的轨迹方程，又圆C的圆心C（a，3a﹣1），由已知可得，求解即可． 【解答】解：（1）因为圆心C同在直线y＝3x﹣1和直线x+2y+2＝0上， 所以，解得，所以C（0，﹣1）， ①若过点A（2，0）的直线斜率不存在，此时x＝2恰为圆C的切线； ②若过点A（2，0）的直线斜率存在， 设直线方程为：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0， 因为直线与圆C相切，所以，解得：， 所以切线方程为：，即3x+4y﹣6＝0， 综上可知：点A圆C的切线方程为：x＝2与3x+4y﹣6＝0． （2）因为|MO|＝|MA|，所以（x﹣3）2+y2＝3， 所以点M轨迹是以（3，0）为圆心，为半径的圆， 要使得圆C上存在符合条件的点M，则圆C与圆B必有公共点， 又圆C的圆心C（a，3a﹣1），半径为， ≤2， 即5a2﹣6a﹣1≤0，解得：≤a≤， 所以圆心C的横坐标a的取值范围为[，]． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 19．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，圆O：x2+y2＝a2，过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为． （1）求C的标准方程； （2）若直线l：y＝kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值． 【分析】（1）由已知分别求出a、b即可得到C的标准方程； （2）通过直曲联立，求出|AB|弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用不等式求出△OAB面积的最大值． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0）， 因为过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为， 所以， 又， 解得， 则C的标准方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣16kx+4＝0， 此时Δ＝16（12k2﹣3）＞0， 解得， 由韦达定理得， 所以， 又原点到直线AB的距离， 所以． 令， 可得4k2＝1+t2， 则≤＝， 当且仅当t＝2，即时，等号成立． 故△OAB的面积取得最大值． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/23 19:44:35；用户：方长标；邮箱：15240310257；学号：48473108 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 灌南县第二中学2024-2025学年度第一学期第一次阶段性检测 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 2．已知A（﹣2，4），B（2，3），C（6，a）三点共线，则a＝（　　） A．﹣36 B．36 C．﹣2 D．2 3．已知直线l1：（a﹣2）x+5y﹣3＝0，l2：（a﹣2）x+ay﹣5＝0，则“l1∥l2”是“a＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞） 5．已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则m2+n2＝（　　） A．21 B．19 C．13 D．11 6．记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B（2，1），则|AF|+|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知双曲线C：，直线l：x﹣y+1＝0．双曲线C上的点P到直线l的距离最小，则点P的横坐标为（　　） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF2|＝|F1F2|且，则b＝（　　） A． B． C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求（多选） 9．已知三条直线：直线l1：ax+y﹣3＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x﹣y﹣5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 10．若方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A．F＝4 B．圆关于直线y＝﹣2x对称 C．圆与y轴相切 D．的最大值为9 11．已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则（　　） A．|F1F2|＝1 B．|PQ|≤4 C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8 D．设点P到直线x＝﹣4的距离为d，则d＝2|PF1| 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 　 　． 13．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx﹣y﹣2m+1＝0，以点（0，1）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 　 　． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥F1F2，H是线段PF1上靠近F1的三等分点，且，则C的离心率为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题分已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0． （1）过点P（3，5）作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为3x+y﹣8＝0与圆C相交于A、B两点，求|AB|． 、 16本小题分已知双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F1作斜率为2 的弦 AB.求:(1) AB的长; (2) △F2AB的周长. 17．本小题分已知过点M（2，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且当l的斜率为1时，M恰为AB中点． （1）求p的值； （2）当l经过抛物线C的焦点时，求△OAB的面积． 18．本小题分在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），圆C的半径为r，且圆心在直线l：y＝3x﹣1上． （1）若半径r＝2，圆心C也在直线x+2y+2＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若半径r＝，圆C上存在点M，使|MO|＝|MA|，求圆心C的横坐标a的取值范围． 19． 本小题分已知椭圆的离心率为，右焦点为F，圆O：x2+y2＝a2，过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为． （1）求C的标准方程； （2）若直线l：y＝kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$